Antennák és hullámterjedés - 02. előadás - 2006 forrásának megtekintése

{{Vissza|Antennák és hullámterjedés}}

==Hullámterjedés==
Az egyszerűség kedvéért az időfüggést nem írjuk ki, alapértelmezettnek vesszük, hogy az <math> e^{j\omega t} </math> alakú.

Jelöljük az elektromos teret '''E(r)''' alakban, ahol ez a függvény egy vektorváltozós komplex-vektor értékű függvény. Argumentuma tehát egy helyvektor, melynek koordinátái valósak, de a függvény <math> E_x, E_y, E_z </math> koordinátái már komplex mennyiségek. Az '''E(r)''' függvény komplex csúcsértéket reprezentál (ellentétben a háréval, ott általában komplex effektív értékekkel számoltunk). 

Az '''E(r)''' függvényt az alábbi alakokban szokás megadni:

<math>
\mathbf E (\mathbf r) = E_{\vartheta} \cdot \overline{e_\vartheta} + E_{\varphi} \cdot \overline{e_\varphi} = E_0 (\mathbf r) \cdot \mathbf p (\mathbf r).
</math>

Ahol
* <math> \overline{e_\vartheta} </math> és <math> \overline{e_\varphi} </math> a polárkoordináta rendszer egységvektorai,
* <math> E_{\vartheta} </math> és <math> E_{\varphi} </math> a komplex csúcsértékek,
* <math> E_0 = \sqrt{E\cdot E^*} </math> és <math> \mathbf p = p_\vartheta \cdot \overline{e_\vartheta} + p_\varphi \cdot \overline{e_\varphi} </math> és <math> |\mathbf p|=1 </math>, tehát egységvektor, a polarizáció vektora,
* <math> p_\vartheta = \displaystyle{\frac{E_{\vartheta}}{E_0}} </math> és <math> p_\varphi = \displaystyle{\frac{E_{\varphi}}{E_0}} </math>, így <math> |\mathbf p|^2 = \mathbf p \cdot \mathbf p^* = 1 </math>,
* <math> \mathbf p = p_n \cdot \overline{e_n} + p_x \cdot \overline{e_x} </math>, ahol <math> p_n </math> a főpolarizációs, <math> p_x </math> pedig a keresztpolarizációs komponens.

A sugárirányú komponenst azért nem írtuk fel, mert csak a távoli térbeli komponensek érdekelnek, ott pedig azok nincsenek (az elektromos tér orthogonális a mágneses térre, és ez a kettő orthogonális a terjedési irányra). 

A parabolaantennáknál a polarizációs sík "megcsúszik", a primer antennában polarizációs veszteségként (a keresztpolarizáció miatt) jelentkezik.

Mi hozza létre az elektromágneses teret? A gyorsuló töltés! Például egy egyenletes sebességgel körpályán mozgó elektron is létrehoz EM-teret, mivel van sugárirányú gyorsulása. Emiatt a ciklotron (részecskegyorsító) használata korlátokba ütközik, mivel a részecskét szakaszonként gyorsítják, és amikor nagyon felgyorsítják, akkor ugyanannyi energiát sugároz ki, mint amit a gyorsítótól kap, tehát eredőben nem tudják növelni a sebességét. Ekkor használnak lineáris gyorsítókat, amihez viszont nagyon hosszú földterület kell (a Stanford egyetemnek van ilyenje).

Az antenna térerősségének *r* -től való függése:

<math>
\frac{e^{-j\beta r}}{r}
</math>

Az időbeli leírás pedig <math> e^{j\omega t} </math>-vel szorozva

<math>
\frac{e^{-j\beta r}\cdot e^{j\omega t}}{r} = \frac{e^{j(\omega t -\beta r)}}{r} = \frac{e^{j\omega(t - \frac{\beta}{\omega} r)}}{r}
</math>

Mi ennek a jelentése? Bármilyen <math> f(t\mp r/v) </math> alakú függvény egy _v_ sebességgel haladó hullámot ír le <math> -r/v </math> esetén pozitív irányba, <math> +r/v </math> esetén pedig negatív irányba a választott koordináta-rendszerhez viszonyítva. Tehát %REFLATEX{eqn:antenna_tererossege_idovel}% egy pozitív irányba haladó hullámot ír le, vegyük észre, hogy <math> v = \frac{\omega}{\beta} </math>. Egy antennánál az a természetes, hogy kifele sugároz, de nagyon nehézkesen és trükkösen meg lehet oldani, hogy befele sugározzon.

A haladó hullámot leírhatjuk ''szeparált'' alakban:
<math>
\mathbf E(\mathbf r, \vartheta, \varphi) = \frac{e^{-j\beta r}}{r} \cdot U_0 (\vartheta, \varphi) \cdot \mathbf p (\vartheta, \varphi) \ \left[\frac{1}{m}\right] \cdot [V] = \left[\frac{V}{m}\right],
</math>
ahol <math> \beta = \displaystyle{\frac{\omega}{c}} = \displaystyle{\frac{2\pi}{\lambda}} = k</math>, _k_ -t szabadtéri fázistényezőnek hívják.

%REFLATEX{eqn:halado_hullam}% alapján felírhatjuk a kisugárzott teljesítmény sűrűséget is
<math>
S = \frac{1}{2} \mathbf E \times \mathbf H^* = \frac{|U_0(\vartheta, \varphi)|^2}{240\pi R^2} \left[\frac{W}{m^2}\right]
</math>

Az egyfrekvenciás sugárzást az optikából átvéve ''monokromatikus'' sugárzásnak nevezzük.

==Iránykarakterisztikák==
Az iránykarakterisztikákat a normált kisugárzott teljesítmények alapján adják meg. A normálást egyszerűen úgy lehet megcsinálni, hogy a kisugárzott teljesíténysűrűséget elosztjuk a maximális kisugárzott teljesítménysűrűséggel:

<math>
S_{max}(r) = \frac{|U_0(\vartheta, \varphi)|^2\Big|_{max}}{240\pi R^2},
</math>
valamint
<math>
P(\vartheta, \varphi) = \frac{S(r,\vartheta, \varphi)}{S_{max}(r)}.
</math>
Sokszor nem a fenti képletet használják, hanem egy térerősség-intenzitás (amplitudó) iránykarakterisztikát definálnak,
<math>
F(\vartheta, \varphi) = \sqrt{P(\vartheta, \varphi)}.
</math>

Ezalapján felírhatjuk, hogy 
<math>
\mathbf E(\mathbf r, \vartheta, \varphi) = U_{max}\cdot \frac{e^{-j\beta r}}{r} \cdot F(\vartheta, \varphi)\cdot \mathbf p (\vartheta, \varphi) \ \left[\frac{1}{m}\right] \cdot [V] = \left[\frac{V}{m}\right],
U^2_{max} = S_{max}\cdot 240 \pi r^2
</math>

===Karakterisztikák ábrázolása===
Ide ábrákat kéne tenni, de nincs szkennerem. Az előadáson volt 4 különböző felírási mód:
* síkra terített -180° és 180° között
* térbeli projekciós síkra vetítve
* térbeli projekciós két metszete - az E és H terekkel
* <math> F(\vartheta) </math> ábrázolása, ezen definiálják a ''nyalábszélességet'', az *x* tengely mentén <math> \vartheta </math> általában lineáris, az *y* tengely mentén viszont F-et néha logaritmikus skálán (dB) ábrázolják, ekkor a sugárzás 0 helyének ábrázolása problémás

'''nyalábszélesség:''' az a <math> \vartheta </math> szögtartomány, amelyen belül F egy adott dB érték fölött van - ez általában 3dB, néha 10dB.

'''tűnyaláb:''' olyan karakterisztikájú antenna sugároz tűnyalábban, amelynek nyalábszélessége nagyon keskeny (erősen irányított antenna)

'''izotróp antenna:''' matematikai modell, fizikailag kivitelezhetetlen (elviekben is!), mivel gyorsuló töltést kell létrehozni, de oszcilláltatni nem tudunk, kell forrás és nyelő (dipól). Az izotróp antenna lehetőségét a folytonossági egyenlet is elveti.
Elvi dipólantenna a Herz-dipól, ez hengerdipól, tehát körsugárzó (<math> F(\vartheta) = \sin (\vartheta) </math>). Ilyesmi karakterisztikájuk van az egyenes antennáknak is, ezeket műsorszórásra használják.

Még egy fajta antennatípus a ''koszekáns'' vagy ''hódfarok'' antenna, amelyet radarlokációs célokkal használnak (lapos, széles, jó a letapogatáshoz).


==Ismétlés (órán kívül)==
Az alábbi rész nem volt órán, csak utalások voltak. Konkrétan a közeli és távoli térről lesz szó.

Az tér meghatározása a gerjesztésekből inhomogén hullámegyenletből származtathatók:
<math>
\Delta \mathbf A - \varepsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} = - \mu \mathbf J
</math>
a vektorpotenciálra. A skalárpotenciálra vonatkozó differenciálegyenlet pedig
<math>
\Delta \varphi - \varepsilon \mu \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} = - \frac{1}{\varepsilon} \rho,
</math>
feltételezve végig, hogy <math> \mu, \rho, \varepsilon </math> állandók (legalább térrészenként). Ha az időbeli változás kicsi, akkor az idő szerinti második deriváltakat elhanyagolhatjuk, és visszakapjuk a vektoriális és skaláris Poisson-egyenleteket:
<math>
\Delta \mathbf A = - \mu \mathbf J
</math>
<math>
\Delta \varphi = - \frac{\rho}{\varepsilon},
</math>

===Retardált potenciálok===
Igazából a végeredménynek van szemléletes jelentése, ezek pedig

<math>
\varphi (\mathbf r,t) = \frac{1}{4\pi\varepsilon} \int\limits_{V}\frac{1}{R} \cdot \rho(\mathbf r', t-\frac{R}{v}) dV'
\mathbf A (\mathbf r,t) = \frac{1}{4\pi} \int\limits_{V}\frac{1}{R} \cdot \mathbf J(\mathbf r', t-\frac{R}{v}) dV',
</math>
ahol <math> R = |r'-r| </math> és <math> v = \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu}}} = \displaystyle{\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r \mu_r}}} </math>. Tanulságként levonhatjuk, hogy az áram _t_ időpillanatbeli értékéből csak a vezető kis környezetében kapunk helyes potenciál értékeket, egyébként a potenciálok _t_ pillanatbeli értékét a vezetőn folyt áram ''t-R/v'' időpillanatbeli, tehát ''R/v'' -vel korábbi értéke határozza meg.

===Általánosított Biot-Savart törvény===
A retardált potenciálokból azt várnánk, hogy a *H* mágneses tér hasonló formájú lesz (legalábbis egyenletekben kifejezve), mint az *A* vektorpotenciál, de ekkor tévednénk. A helyzet tehát a következő: keressük az áramjárta vezetőtől R távolságra lévő pont mágneses terét. A levezetés eredményei:
<math>
H (\mathbf r,t) = \frac{1}{4\pi} \int\limits_{l}\frac{\mathrm d \mathbf l' \times \mathbf R^0}{R^2} \cdot I(\mathbf r', t-\frac{R}{v}) + \frac{1}{4\pi v} \int\limits_{l}\frac{\mathrm d \mathbf l' \times \mathbf R^0}{R^2} \cdot \frac{\partial I(\mathbf r', t-\frac{R}{v})}{\partial t},
</math>
ahol <math> \mathbf R^0 = \displaystyle{\frac{\mathbf{r'-r}}{|\mathbf{r'-r}|}} </math>. A kifejezés első tagja a várt eredményt hozza, viszont a második tagja új! Az első tag az árammal arányos, viszont <math> 1/R^2 </math>-tel csökken (közeli tér), a második tag viszont <math> 1/R </math>-rel (távoli tér), tehát kevésbé meredeken csökken, viszont az áram idő szerinti deriváltjától, tehát a töltések második deriváltjával (gyorsulásával) arányos.

===Hertz-dipólus===

A Biot-Savart törvényből megkapjuk, hogy a rövid, l hosszúságú antenna mágneses tere 

<math>
H(r,t) = \mathrm{Re} 
\Big\{ \frac{1}{4\pi} I_m e^{j(\omega t-R/v)} \frac{l \times R^0}{R^2} + \frac{1}{4\pi v} I_m j\omega e^{j(\omega t-R/v)} \frac{l \times R^0}{R^2} \Big\} ,
</math>
vagyis a mágneses térerősségnek csak <math> \varphi </math> irányú rendezője van <math> l \times R^0 = l \sin(\vartheta) </math> miatt. Mivel forgásszimmetrikus lesz a tér, a <math> \varphi </math> irányú rendező viszont független lesz <math> \varphi </math> -től.

<math>
H_R (R,\vartheta) = 0
</math>

<math>
H_\vartheta (R,\vartheta) = 0
</math>

<math>
H_\varphi (R,\vartheta) = \frac{l}{4\pi} I_m \left[ \frac{1}{R^2} + \frac{j\omega}{vR} \right] \sin(\vartheta) e^{-j\omega R/v} ,
</math>
valamint <math> \mathrm{rot} H = j\omega \varepsilon E </math> -ből számítva

<math>
E_R (R,\vartheta) = \frac{l}{4\pi\varepsilon} I_m \left[ \frac{2}{j\omega R^3} + \frac{2}{vR^2} \right] \cos(\vartheta) e^{-j\omega R/v}
</math>

<math>
E_\vartheta (R,\vartheta) = \frac{l}{4\pi\varepsilon} I_m \left[ \frac{1}{j R^3} + \frac{1}{vR^2} + \frac{j\omega}{v^2R} \right] \sin(\vartheta) e^{-j\omega R/v}
</math>

<math>
E_\varphi (R,\vartheta) = 0 ,
</math>

%REFLATEX{eqn:Hertz_dipol_H}% és %REFLATEX{eqn:Hertz_dipol_E}% egyenletekből látható, hogy az elektromos és a mágneses tér egymásra merőleges. A <math> H_{\varphi} </math> és <math> E_{\vartheta} </math> komponensek tartalmaznak távoli összetevőt (<math> 1/R </math> szerint gyengül), mindegyik összetevő tartalmaz közeli összetevőt (<math> 1/R^2 </math> szerint gyengül), <math> E_R </math> és <math> E_\vartheta </math> tartalmaz még közelebbi (<math> 1/R^3 </math> szerint gyengülő) össztevőt is.

A sugárzott teljesítménnyel kapcsolatban az <math> S = 1/2 E \times H^* </math> komplex Poynting vektorról a következők állapíthatók meg:
* távoli térre *E* és *H* fázisban vannak, szorzatuk valós, ez hatásos teljesítmény áramlását jelenti, <math> 1/R^2 </math> szerint csökken
* a közeli összetevők közt 90°-os fáziseltérés van, szorzatuk tehát képzetes, ez meddő teljesítmény áramlását jelenti, <math> 1/R^3 </math> szerint csökken
* a *H* távoli, és *E* nagyon közeli összetevők szintén fázisban vannak, szorzatuk megint csak valós, hatásos teljesítmény áramlik, de <math> 1/R^4 </math> szerint csökken
* a *H* közeli, és *E* nagyon közeli összetevők 90°-os eltérésben vannak, szorzatuk képzetes, meddő teljesítmény áramlik, és <math> 1/R^5 </math> szerint csökken

Csak a közeli tér Poynting vektorának van radiális összetevője.

==Távoli tér==
A távoli teret leíró egyenletek komplex amplitudója 

<math>
H_\varphi (R,\vartheta) = \frac{l}{4\pi} I_m \left[ \frac{1}{R^2} + \frac{j\omega}{vR} \right] \sin(\vartheta) e^{-j\omega R/v} ,
</math>

<math>
E_\vartheta (R,\vartheta) = \frac{l}{4\pi\varepsilon} I_m \left[ \frac{1}{j R^3} + \frac{1}{vR^2} + \frac{j\omega}{v^2R} \right] \sin(\vartheta) e^{-j\omega R/v}
</math>

A fentiekből definiálhatunk egy ''hullámellenállást'', mégpedig

<math>
\frac{E_\vartheta(R,\vartheta)}{H_\varphi (R,\vartheta)} = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}.
</math>

Vákuumban vagy levegőben

<math>
\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}.\approx 377,0\Omega \approx (120 \pi) \Omega.
</math>
A távoli tér önmagában nem létezik, mivel önmagukban ellentmondanak a Maxwell-egyenleteknek, ezért erővonalképét nem szokás megadni, lokálisan síkhullámnak tekinthető. A távoli tér komplex Poynting vektora csak radiális összetevőt tartalmaz, mégpedig

<math>
S_R (R,\vartheta) = \frac{1}{2} E_\vartheta (R,\vartheta) H_\varphi^* (R,\vartheta) = \frac{1}{8} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \left( \frac{l}{\lambda}\right)^2 I_m^2 \frac{\sin^2(\vartheta)}{R^2}
</math>

A %REFLATEX{eqn:tavoli_ter_poynting_vektora}% kifejezés egy *A* zárt felületen vett felületi integrálja megadja a kisugárzott teljesítményt:

<math>
\oint\limits_A S\ dA = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \left( \frac{l}{\lambda} \right)^2 \cdot I_m^2 = \frac{1}{2}\cdot R_s \cdot I_m^2,
</math>
bevezetve <math> R_s </math> ''sugárzási ellenállást'', mely a fenti definíció alapján

<math>
R_s = \frac{2\pi}{3} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \left( \frac{l}{\lambda} \right)^2.
</math>
A Poynting-vektor kifejezéséből %REFLATEX{eqn:tavoli_ter_poynting_vektora}% alapján látható, hogy a teljesítmény döntő részét a <math> \sin^2 (\vartheta) </math> tag miatt döntő részben a tengelyre merőlegesen sugározza (<math> \vartheta \in [45^\circ,135^\circ] </math> esetén majdnem 90%).

[[Kategória:Villamosmérnök MSc]]