Antennák és hullámterjedés - 02. előadás - 2006

← Vissza az előző oldalra – Antennák és hullámterjedés

Hullámterjedés

Az egyszerűség kedvéért az időfüggést nem írjuk ki, alapértelmezettnek vesszük, hogy az $e^{j\omega t}$ alakú.

Jelöljük az elektromos teret E(r) alakban, ahol ez a függvény egy vektorváltozós komplex-vektor értékű függvény. Argumentuma tehát egy helyvektor, melynek koordinátái valósak, de a függvény $E_{x},E_{y},E_{z}$ koordinátái már komplex mennyiségek. Az E(r) függvény komplex csúcsértéket reprezentál (ellentétben a háréval, ott általában komplex effektív értékekkel számoltunk).

Az E(r) függvényt az alábbi alakokban szokás megadni:

$\mathbf {E} (\mathbf {r} )=E_{\vartheta }\cdot {\overline {e_{\vartheta }}}+E_{\varphi }\cdot {\overline {e_{\varphi }}}=E_{0}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {p} (\mathbf {r} ).$

Ahol

• ${\overline {e_{\vartheta }}}$ és ${\overline {e_{\varphi }}}$ a polárkoordináta rendszer egységvektorai,
• $E_{\vartheta }$ és $E_{\varphi }$ a komplex csúcsértékek,
• $E_{0}={\sqrt {E\cdot E^{*}}}$ és $\mathbf {p} =p_{\vartheta }\cdot {\overline {e_{\vartheta }}}+p_{\varphi }\cdot {\overline {e_{\varphi }}}$ és $|\mathbf {p} |=1$, tehát egységvektor, a polarizáció vektora,
• $p_{\vartheta }=\displaystyle {\frac {E_{\vartheta }}{E_{0}}}$ és $p_{\varphi }=\displaystyle {\frac {E_{\varphi }}{E_{0}}}$, így $|\mathbf {p} |^{2}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} ^{*}=1$,
• $\mathbf {p} =p_{n}\cdot {\overline {e_{n}}}+p_{x}\cdot {\overline {e_{x}}}$, ahol $p_{n}$ a főpolarizációs, $p_{x}$ pedig a keresztpolarizációs komponens.

A sugárirányú komponenst azért nem írtuk fel, mert csak a távoli térbeli komponensek érdekelnek, ott pedig azok nincsenek (az elektromos tér orthogonális a mágneses térre, és ez a kettő orthogonális a terjedési irányra).

A parabolaantennáknál a polarizációs sík "megcsúszik", a primer antennában polarizációs veszteségként (a keresztpolarizáció miatt) jelentkezik.

Mi hozza létre az elektromágneses teret? A gyorsuló töltés! Például egy egyenletes sebességgel körpályán mozgó elektron is létrehoz EM-teret, mivel van sugárirányú gyorsulása. Emiatt a ciklotron (részecskegyorsító) használata korlátokba ütközik, mivel a részecskét szakaszonként gyorsítják, és amikor nagyon felgyorsítják, akkor ugyanannyi energiát sugároz ki, mint amit a gyorsítótól kap, tehát eredőben nem tudják növelni a sebességét. Ekkor használnak lineáris gyorsítókat, amihez viszont nagyon hosszú földterület kell (a Stanford egyetemnek van ilyenje).

Az antenna térerősségének *r* -től való függése:

${\frac {e^{-j\beta r}}{r}}$

Az időbeli leírás pedig $e^{j\omega t}$-vel szorozva

${\frac {e^{-j\beta r}\cdot e^{j\omega t}}{r}}={\frac {e^{j(\omega t-\beta r)}}{r}}={\frac {e^{j\omega (t-{\frac {\beta }{\omega }}r)}}{r}}$

Mi ennek a jelentése? Bármilyen $f(t\mp r/v)$ alakú függvény egy _v_ sebességgel haladó hullámot ír le $-r/v$ esetén pozitív irányba, $+r/v$ esetén pedig negatív irányba a választott koordináta-rendszerhez viszonyítva. Tehát %REFLATEX{eqn:antenna_tererossege_idovel}% egy pozitív irányba haladó hullámot ír le, vegyük észre, hogy $v={\frac {\omega }{\beta }}$. Egy antennánál az a természetes, hogy kifele sugároz, de nagyon nehézkesen és trükkösen meg lehet oldani, hogy befele sugározzon.

A haladó hullámot leírhatjuk szeparált alakban: $\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\vartheta ,\varphi )={\frac {e^{-j\beta r}}{r}}\cdot U_{0}(\vartheta ,\varphi )\cdot \mathbf {p} (\vartheta ,\varphi )\ \left[{\frac {1}{m}}\right]\cdot [V]=\left[{\frac {V}{m}}\right],$ ahol $\beta =\displaystyle {\frac {\omega }{c}}=\displaystyle {\frac {2\pi }{\lambda }}=k$, _k_ -t szabadtéri fázistényezőnek hívják.

%REFLATEX{eqn:halado_hullam}% alapján felírhatjuk a kisugárzott teljesítmény sűrűséget is $S={\frac {1}{2}}\mathbf {E} \times \mathbf {H} ^{*}={\frac {|U_{0}(\vartheta ,\varphi )|^{2}}{240\pi R^{2}}}\left[{\frac {W}{m^{2}}}\right]$

Az egyfrekvenciás sugárzást az optikából átvéve monokromatikus sugárzásnak nevezzük.

Iránykarakterisztikák

Az iránykarakterisztikákat a normált kisugárzott teljesítmények alapján adják meg. A normálást egyszerűen úgy lehet megcsinálni, hogy a kisugárzott teljesíténysűrűséget elosztjuk a maximális kisugárzott teljesítménysűrűséggel:

$S_{max}(r)={\frac {|U_{0}(\vartheta ,\varphi )|^{2}{\Big |}_{max}}{240\pi R^{2}}},$ valamint $P(\vartheta ,\varphi )={\frac {S(r,\vartheta ,\varphi )}{S_{max}(r)}}.$ Sokszor nem a fenti képletet használják, hanem egy térerősség-intenzitás (amplitudó) iránykarakterisztikát definálnak, $F(\vartheta ,\varphi )={\sqrt {P(\vartheta ,\varphi )}}.$

Ezalapján felírhatjuk, hogy $\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\vartheta ,\varphi )=U_{max}\cdot {\frac {e^{-j\beta r}}{r}}\cdot F(\vartheta ,\varphi )\cdot \mathbf {p} (\vartheta ,\varphi )\ \left[{\frac {1}{m}}\right]\cdot [V]=\left[{\frac {V}{m}}\right],U_{max}^{2}=S_{max}\cdot 240\pi r^{2}$

Karakterisztikák ábrázolása

Ide ábrákat kéne tenni, de nincs szkennerem. Az előadáson volt 4 különböző felírási mód:

• síkra terített -180° és 180° között
• térbeli projekciós síkra vetítve
• térbeli projekciós két metszete - az E és H terekkel
• $F(\vartheta )$ ábrázolása, ezen definiálják a nyalábszélességet, az *x* tengely mentén $\vartheta$ általában lineáris, az *y* tengely mentén viszont F-et néha logaritmikus skálán (dB) ábrázolják, ekkor a sugárzás 0 helyének ábrázolása problémás

nyalábszélesség: az a $\vartheta$ szögtartomány, amelyen belül F egy adott dB érték fölött van - ez általában 3dB, néha 10dB.

tűnyaláb: olyan karakterisztikájú antenna sugároz tűnyalábban, amelynek nyalábszélessége nagyon keskeny (erősen irányított antenna)

izotróp antenna: matematikai modell, fizikailag kivitelezhetetlen (elviekben is!), mivel gyorsuló töltést kell létrehozni, de oszcilláltatni nem tudunk, kell forrás és nyelő (dipól). Az izotróp antenna lehetőségét a folytonossági egyenlet is elveti. Elvi dipólantenna a Herz-dipól, ez hengerdipól, tehát körsugárzó ($F(\vartheta )=\sin(\vartheta )$). Ilyesmi karakterisztikájuk van az egyenes antennáknak is, ezeket műsorszórásra használják.

Még egy fajta antennatípus a koszekáns vagy hódfarok antenna, amelyet radarlokációs célokkal használnak (lapos, széles, jó a letapogatáshoz).

Ismétlés (órán kívül)

Az alábbi rész nem volt órán, csak utalások voltak. Konkrétan a közeli és távoli térről lesz szó.

Az tér meghatározása a gerjesztésekből inhomogén hullámegyenletből származtathatók: $\Delta \mathbf {A} -\varepsilon \mu {\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu \mathbf {J}$ a vektorpotenciálra. A skalárpotenciálra vonatkozó differenciálegyenlet pedig $\Delta \varphi -\varepsilon \mu {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {1}{\varepsilon }}\rho ,$ feltételezve végig, hogy $\mu ,\rho ,\varepsilon$ állandók (legalább térrészenként). Ha az időbeli változás kicsi, akkor az idő szerinti második deriváltakat elhanyagolhatjuk, és visszakapjuk a vektoriális és skaláris Poisson-egyenleteket: $\Delta \mathbf {A} =-\mu \mathbf {J}$ $\Delta \varphi =-{\frac {\rho }{\varepsilon }},$

Retardált potenciálok

Igazából a végeredménynek van szemléletes jelentése, ezek pedig

$\varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\int \limits _{V}{\frac {1}{R}}\cdot \rho (\mathbf {r} ',t-{\frac {R}{v}})dV'\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi }}\int \limits _{V}{\frac {1}{R}}\cdot \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t-{\frac {R}{v}})dV',$ ahol $R=|r'-r|$ és $v=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}=\displaystyle {\frac {c}{\sqrt {\varepsilon _{r}\mu _{r}}}}$. Tanulságként levonhatjuk, hogy az áram _t_ időpillanatbeli értékéből csak a vezető kis környezetében kapunk helyes potenciál értékeket, egyébként a potenciálok _t_ pillanatbeli értékét a vezetőn folyt áram t-R/v időpillanatbeli, tehát R/v -vel korábbi értéke határozza meg.

Általánosított Biot-Savart törvény

A retardált potenciálokból azt várnánk, hogy a *H* mágneses tér hasonló formájú lesz (legalábbis egyenletekben kifejezve), mint az *A* vektorpotenciál, de ekkor tévednénk. A helyzet tehát a következő: keressük az áramjárta vezetőtől R távolságra lévő pont mágneses terét. A levezetés eredményei: $H(\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi }}\int \limits _{l}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {l} '\times \mathbf {R} ^{0}}{R^{2}}}\cdot I(\mathbf {r} ',t-{\frac {R}{v}})+{\frac {1}{4\pi v}}\int \limits _{l}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {l} '\times \mathbf {R} ^{0}}{R^{2}}}\cdot {\frac {\partial I(\mathbf {r} ',t-{\frac {R}{v}})}{\partial t}},$ ahol $\mathbf {R} ^{0}=\displaystyle {\frac {\mathbf {r'-r} }{|\mathbf {r'-r} |}}$. A kifejezés első tagja a várt eredményt hozza, viszont a második tagja új! Az első tag az árammal arányos, viszont $1/R^{2}$-tel csökken (közeli tér), a második tag viszont $1/R$-rel (távoli tér), tehát kevésbé meredeken csökken, viszont az áram idő szerinti deriváltjától, tehát a töltések második deriváltjával (gyorsulásával) arányos.

Hertz-dipólus

A Biot-Savart törvényből megkapjuk, hogy a rövid, l hosszúságú antenna mágneses tere

$H(r,t)=\mathrm {Re} {\Big \{}{\frac {1}{4\pi }}I_{m}e^{j(\omega t-R/v)}{\frac {l\times R^{0}}{R^{2}}}+{\frac {1}{4\pi v}}I_{m}j\omega e^{j(\omega t-R/v)}{\frac {l\times R^{0}}{R^{2}}}{\Big \}},$ vagyis a mágneses térerősségnek csak $\varphi$ irányú rendezője van $l\times R^{0}=l\sin(\vartheta )$ miatt. Mivel forgásszimmetrikus lesz a tér, a $\varphi$ irányú rendező viszont független lesz $\varphi$ -től.

$H_{R}(R,\vartheta )=0$

$H_{\vartheta }(R,\vartheta )=0$

$H_{\varphi }(R,\vartheta )={\frac {l}{4\pi }}I_{m}\left[{\frac {1}{R^{2}}}+{\frac {j\omega }{vR}}\right]\sin(\vartheta )e^{-j\omega R/v},$ valamint $\mathrm {rot} H=j\omega \varepsilon E$ -ből számítva

$E_{R}(R,\vartheta )={\frac {l}{4\pi \varepsilon }}I_{m}\left[{\frac {2}{j\omega R^{3}}}+{\frac {2}{vR^{2}}}\right]\cos(\vartheta )e^{-j\omega R/v}$

$E_{\vartheta }(R,\vartheta )={\frac {l}{4\pi \varepsilon }}I_{m}\left[{\frac {1}{jR^{3}}}+{\frac {1}{vR^{2}}}+{\frac {j\omega }{v^{2}R}}\right]\sin(\vartheta )e^{-j\omega R/v}$

$E_{\varphi }(R,\vartheta )=0,$

%REFLATEX{eqn:Hertz_dipol_H}% és %REFLATEX{eqn:Hertz_dipol_E}% egyenletekből látható, hogy az elektromos és a mágneses tér egymásra merőleges. A $H_{\varphi }$ és $E_{\vartheta }$ komponensek tartalmaznak távoli összetevőt ($1/R$ szerint gyengül), mindegyik összetevő tartalmaz közeli összetevőt ($1/R^{2}$ szerint gyengül), $E_{R}$ és $E_{\vartheta }$ tartalmaz még közelebbi ($1/R^{3}$ szerint gyengülő) össztevőt is.

A sugárzott teljesítménnyel kapcsolatban az $S=1/2E\times H^{*}$ komplex Poynting vektorról a következők állapíthatók meg:

• távoli térre *E* és *H* fázisban vannak, szorzatuk valós, ez hatásos teljesítmény áramlását jelenti, $1/R^{2}$ szerint csökken
• a közeli összetevők közt 90°-os fáziseltérés van, szorzatuk tehát képzetes, ez meddő teljesítmény áramlását jelenti, $1/R^{3}$ szerint csökken
• a *H* távoli, és *E* nagyon közeli összetevők szintén fázisban vannak, szorzatuk megint csak valós, hatásos teljesítmény áramlik, de $1/R^{4}$ szerint csökken
• a *H* közeli, és *E* nagyon közeli összetevők 90°-os eltérésben vannak, szorzatuk képzetes, meddő teljesítmény áramlik, és $1/R^{5}$ szerint csökken

Csak a közeli tér Poynting vektorának van radiális összetevője.

Távoli tér

A távoli teret leíró egyenletek komplex amplitudója

$H_{\varphi }(R,\vartheta )={\frac {l}{4\pi }}I_{m}\left[{\frac {1}{R^{2}}}+{\frac {j\omega }{vR}}\right]\sin(\vartheta )e^{-j\omega R/v},$

$E_{\vartheta }(R,\vartheta )={\frac {l}{4\pi \varepsilon }}I_{m}\left[{\frac {1}{jR^{3}}}+{\frac {1}{vR^{2}}}+{\frac {j\omega }{v^{2}R}}\right]\sin(\vartheta )e^{-j\omega R/v}$

A fentiekből definiálhatunk egy hullámellenállást, mégpedig

${\frac {E_{\vartheta }(R,\vartheta )}{H_{\varphi }(R,\vartheta )}}={\sqrt {\frac {\mu }{\varepsilon }}}.$

Vákuumban vagy levegőben

${\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}.\approx 377,0\Omega \approx (120\pi )\Omega .$ A távoli tér önmagában nem létezik, mivel önmagukban ellentmondanak a Maxwell-egyenleteknek, ezért erővonalképét nem szokás megadni, lokálisan síkhullámnak tekinthető. A távoli tér komplex Poynting vektora csak radiális összetevőt tartalmaz, mégpedig

$S_{R}(R,\vartheta )={\frac {1}{2}}E_{\vartheta }(R,\vartheta )H_{\varphi }^{*}(R,\vartheta )={\frac {1}{8}}{\sqrt {\frac {\mu }{\varepsilon }}}\left({\frac {l}{\lambda }}\right)^{2}I_{m}^{2}{\frac {\sin ^{2}(\vartheta )}{R^{2}}}$

A %REFLATEX{eqn:tavoli_ter_poynting_vektora}% kifejezés egy *A* zárt felületen vett felületi integrálja megadja a kisugárzott teljesítményt:

$\oint \limits _{A}S\ dA={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2\pi }{3}}{\sqrt {\frac {\mu }{\varepsilon }}}\left({\frac {l}{\lambda }}\right)^{2}\cdot I_{m}^{2}={\frac {1}{2}}\cdot R_{s}\cdot I_{m}^{2},$ bevezetve $R_{s}$ sugárzási ellenállást, mely a fenti definíció alapján

$R_{s}={\frac {2\pi }{3}}{\sqrt {\frac {\mu }{\varepsilon }}}\left({\frac {l}{\lambda }}\right)^{2}.$ A Poynting-vektor kifejezéséből %REFLATEX{eqn:tavoli_ter_poynting_vektora}% alapján látható, hogy a teljesítmény döntő részét a $\sin ^{2}(\vartheta )$ tag miatt döntő részben a tengelyre merőlegesen sugározza ($\vartheta \in [45^{\circ },135^{\circ }]$ esetén majdnem 90%).