Antennák és hullámterjedés - 02. előadás - 2006
Tartalomjegyzék
Hullámterjedés
Az egyszerűség kedvéért az időfüggést nem írjuk ki, alapértelmezettnek vesszük, hogy az [math] e^{j\omega t} [/math] alakú.
Jelöljük az elektromos teret E(r) alakban, ahol ez a függvény egy vektorváltozós komplex-vektor értékű függvény. Argumentuma tehát egy helyvektor, melynek koordinátái valósak, de a függvény [math] E_x, E_y, E_z [/math] koordinátái már komplex mennyiségek. Az E(r) függvény komplex csúcsértéket reprezentál (ellentétben a háréval, ott általában komplex effektív értékekkel számoltunk).
Az E(r) függvényt az alábbi alakokban szokás megadni:
[math] \mathbf E (\mathbf r) = E_{\vartheta} \cdot \overline{e_\vartheta} + E_{\varphi} \cdot \overline{e_\varphi} = E_0 (\mathbf r) \cdot \mathbf p (\mathbf r). [/math]
Ahol
- [math] \overline{e_\vartheta} [/math] és [math] \overline{e_\varphi} [/math] a polárkoordináta rendszer egységvektorai,
- [math] E_{\vartheta} [/math] és [math] E_{\varphi} [/math] a komplex csúcsértékek,
- [math] E_0 = \sqrt{E\cdot E^*} [/math] és [math] \mathbf p = p_\vartheta \cdot \overline{e_\vartheta} + p_\varphi \cdot \overline{e_\varphi} [/math] és [math] |\mathbf p|=1 [/math], tehát egységvektor, a polarizáció vektora,
- [math] p_\vartheta = \displaystyle{\frac{E_{\vartheta}}{E_0}} [/math] és [math] p_\varphi = \displaystyle{\frac{E_{\varphi}}{E_0}} [/math], így [math] |\mathbf p|^2 = \mathbf p \cdot \mathbf p^* = 1 [/math],
- [math] \mathbf p = p_n \cdot \overline{e_n} + p_x \cdot \overline{e_x} [/math], ahol [math] p_n [/math] a főpolarizációs, [math] p_x [/math] pedig a keresztpolarizációs komponens.
A sugárirányú komponenst azért nem írtuk fel, mert csak a távoli térbeli komponensek érdekelnek, ott pedig azok nincsenek (az elektromos tér orthogonális a mágneses térre, és ez a kettő orthogonális a terjedési irányra).
A parabolaantennáknál a polarizációs sík "megcsúszik", a primer antennában polarizációs veszteségként (a keresztpolarizáció miatt) jelentkezik.
Mi hozza létre az elektromágneses teret? A gyorsuló töltés! Például egy egyenletes sebességgel körpályán mozgó elektron is létrehoz EM-teret, mivel van sugárirányú gyorsulása. Emiatt a ciklotron (részecskegyorsító) használata korlátokba ütközik, mivel a részecskét szakaszonként gyorsítják, és amikor nagyon felgyorsítják, akkor ugyanannyi energiát sugároz ki, mint amit a gyorsítótól kap, tehát eredőben nem tudják növelni a sebességét. Ekkor használnak lineáris gyorsítókat, amihez viszont nagyon hosszú földterület kell (a Stanford egyetemnek van ilyenje).
Az antenna térerősségének *r* -től való függése:
[math] \frac{e^{-j\beta r}}{r} [/math]
Az időbeli leírás pedig [math] e^{j\omega t} [/math]-vel szorozva
[math] \frac{e^{-j\beta r}\cdot e^{j\omega t}}{r} = \frac{e^{j(\omega t -\beta r)}}{r} = \frac{e^{j\omega(t - \frac{\beta}{\omega} r)}}{r} [/math]
Mi ennek a jelentése? Bármilyen [math] f(t\mp r/v) [/math] alakú függvény egy _v_ sebességgel haladó hullámot ír le [math] -r/v [/math] esetén pozitív irányba, [math] +r/v [/math] esetén pedig negatív irányba a választott koordináta-rendszerhez viszonyítva. Tehát %REFLATEX{eqn:antenna_tererossege_idovel}% egy pozitív irányba haladó hullámot ír le, vegyük észre, hogy [math] v = \frac{\omega}{\beta} [/math]. Egy antennánál az a természetes, hogy kifele sugároz, de nagyon nehézkesen és trükkösen meg lehet oldani, hogy befele sugározzon.
A haladó hullámot leírhatjuk szeparált alakban: [math] \mathbf E(\mathbf r, \vartheta, \varphi) = \frac{e^{-j\beta r}}{r} \cdot U_0 (\vartheta, \varphi) \cdot \mathbf p (\vartheta, \varphi) \ \left[\frac{1}{m}\right] \cdot [V] = \left[\frac{V}{m}\right], [/math] ahol [math] \beta = \displaystyle{\frac{\omega}{c}} = \displaystyle{\frac{2\pi}{\lambda}} = k[/math], _k_ -t szabadtéri fázistényezőnek hívják.
%REFLATEX{eqn:halado_hullam}% alapján felírhatjuk a kisugárzott teljesítmény sűrűséget is [math] S = \frac{1}{2} \mathbf E \times \mathbf H^* = \frac{|U_0(\vartheta, \varphi)|^2}{240\pi R^2} \left[\frac{W}{m^2}\right] [/math]
Az egyfrekvenciás sugárzást az optikából átvéve monokromatikus sugárzásnak nevezzük.
Iránykarakterisztikák
Az iránykarakterisztikákat a normált kisugárzott teljesítmények alapján adják meg. A normálást egyszerűen úgy lehet megcsinálni, hogy a kisugárzott teljesíténysűrűséget elosztjuk a maximális kisugárzott teljesítménysűrűséggel:
[math] S_{max}(r) = \frac{|U_0(\vartheta, \varphi)|^2\Big|_{max}}{240\pi R^2}, [/math] valamint [math] P(\vartheta, \varphi) = \frac{S(r,\vartheta, \varphi)}{S_{max}(r)}. [/math] Sokszor nem a fenti képletet használják, hanem egy térerősség-intenzitás (amplitudó) iránykarakterisztikát definálnak, [math] F(\vartheta, \varphi) = \sqrt{P(\vartheta, \varphi)}. [/math]
Ezalapján felírhatjuk, hogy [math] \mathbf E(\mathbf r, \vartheta, \varphi) = U_{max}\cdot \frac{e^{-j\beta r}}{r} \cdot F(\vartheta, \varphi)\cdot \mathbf p (\vartheta, \varphi) \ \left[\frac{1}{m}\right] \cdot [V] = \left[\frac{V}{m}\right], U^2_{max} = S_{max}\cdot 240 \pi r^2 [/math]
Karakterisztikák ábrázolása
Ide ábrákat kéne tenni, de nincs szkennerem. Az előadáson volt 4 különböző felírási mód:
- síkra terített -180° és 180° között
- térbeli projekciós síkra vetítve
- térbeli projekciós két metszete - az E és H terekkel
- [math] F(\vartheta) [/math] ábrázolása, ezen definiálják a nyalábszélességet, az *x* tengely mentén [math] \vartheta [/math] általában lineáris, az *y* tengely mentén viszont F-et néha logaritmikus skálán (dB) ábrázolják, ekkor a sugárzás 0 helyének ábrázolása problémás
nyalábszélesség: az a [math] \vartheta [/math] szögtartomány, amelyen belül F egy adott dB érték fölött van - ez általában 3dB, néha 10dB.
tűnyaláb: olyan karakterisztikájú antenna sugároz tűnyalábban, amelynek nyalábszélessége nagyon keskeny (erősen irányított antenna)
izotróp antenna: matematikai modell, fizikailag kivitelezhetetlen (elviekben is!), mivel gyorsuló töltést kell létrehozni, de oszcilláltatni nem tudunk, kell forrás és nyelő (dipól). Az izotróp antenna lehetőségét a folytonossági egyenlet is elveti. Elvi dipólantenna a Herz-dipól, ez hengerdipól, tehát körsugárzó ([math] F(\vartheta) = \sin (\vartheta) [/math]). Ilyesmi karakterisztikájuk van az egyenes antennáknak is, ezeket műsorszórásra használják.
Még egy fajta antennatípus a koszekáns vagy hódfarok antenna, amelyet radarlokációs célokkal használnak (lapos, széles, jó a letapogatáshoz).
Ismétlés (órán kívül)
Az alábbi rész nem volt órán, csak utalások voltak. Konkrétan a közeli és távoli térről lesz szó.
Az tér meghatározása a gerjesztésekből inhomogén hullámegyenletből származtathatók: [math] \Delta \mathbf A - \varepsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} = - \mu \mathbf J [/math] a vektorpotenciálra. A skalárpotenciálra vonatkozó differenciálegyenlet pedig [math] \Delta \varphi - \varepsilon \mu \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} = - \frac{1}{\varepsilon} \rho, [/math] feltételezve végig, hogy [math] \mu, \rho, \varepsilon [/math] állandók (legalább térrészenként). Ha az időbeli változás kicsi, akkor az idő szerinti második deriváltakat elhanyagolhatjuk, és visszakapjuk a vektoriális és skaláris Poisson-egyenleteket: [math] \Delta \mathbf A = - \mu \mathbf J [/math] [math] \Delta \varphi = - \frac{\rho}{\varepsilon}, [/math]
Retardált potenciálok
Igazából a végeredménynek van szemléletes jelentése, ezek pedig
[math] \varphi (\mathbf r,t) = \frac{1}{4\pi\varepsilon} \int\limits_{V}\frac{1}{R} \cdot \rho(\mathbf r', t-\frac{R}{v}) dV' \mathbf A (\mathbf r,t) = \frac{1}{4\pi} \int\limits_{V}\frac{1}{R} \cdot \mathbf J(\mathbf r', t-\frac{R}{v}) dV', [/math] ahol [math] R = |r'-r| [/math] és [math] v = \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu}}} = \displaystyle{\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r \mu_r}}} [/math]. Tanulságként levonhatjuk, hogy az áram _t_ időpillanatbeli értékéből csak a vezető kis környezetében kapunk helyes potenciál értékeket, egyébként a potenciálok _t_ pillanatbeli értékét a vezetőn folyt áram t-R/v időpillanatbeli, tehát R/v -vel korábbi értéke határozza meg.
Általánosított Biot-Savart törvény
A retardált potenciálokból azt várnánk, hogy a *H* mágneses tér hasonló formájú lesz (legalábbis egyenletekben kifejezve), mint az *A* vektorpotenciál, de ekkor tévednénk. A helyzet tehát a következő: keressük az áramjárta vezetőtől R távolságra lévő pont mágneses terét. A levezetés eredményei: [math] H (\mathbf r,t) = \frac{1}{4\pi} \int\limits_{l}\frac{\mathrm d \mathbf l' \times \mathbf R^0}{R^2} \cdot I(\mathbf r', t-\frac{R}{v}) + \frac{1}{4\pi v} \int\limits_{l}\frac{\mathrm d \mathbf l' \times \mathbf R^0}{R^2} \cdot \frac{\partial I(\mathbf r', t-\frac{R}{v})}{\partial t}, [/math] ahol [math] \mathbf R^0 = \displaystyle{\frac{\mathbf{r'-r}}{|\mathbf{r'-r}|}} [/math]. A kifejezés első tagja a várt eredményt hozza, viszont a második tagja új! Az első tag az árammal arányos, viszont [math] 1/R^2 [/math]-tel csökken (közeli tér), a második tag viszont [math] 1/R [/math]-rel (távoli tér), tehát kevésbé meredeken csökken, viszont az áram idő szerinti deriváltjától, tehát a töltések második deriváltjával (gyorsulásával) arányos.
Hertz-dipólus
A Biot-Savart törvényből megkapjuk, hogy a rövid, l hosszúságú antenna mágneses tere
[math] H(r,t) = \mathrm{Re} \Big\{ \frac{1}{4\pi} I_m e^{j(\omega t-R/v)} \frac{l \times R^0}{R^2} + \frac{1}{4\pi v} I_m j\omega e^{j(\omega t-R/v)} \frac{l \times R^0}{R^2} \Big\} , [/math] vagyis a mágneses térerősségnek csak [math] \varphi [/math] irányú rendezője van [math] l \times R^0 = l \sin(\vartheta) [/math] miatt. Mivel forgásszimmetrikus lesz a tér, a [math] \varphi [/math] irányú rendező viszont független lesz [math] \varphi [/math] -től.
[math] H_R (R,\vartheta) = 0 [/math]
[math] H_\vartheta (R,\vartheta) = 0 [/math]
[math] H_\varphi (R,\vartheta) = \frac{l}{4\pi} I_m \left[ \frac{1}{R^2} + \frac{j\omega}{vR} \right] \sin(\vartheta) e^{-j\omega R/v} , [/math] valamint [math] \mathrm{rot} H = j\omega \varepsilon E [/math] -ből számítva
[math] E_R (R,\vartheta) = \frac{l}{4\pi\varepsilon} I_m \left[ \frac{2}{j\omega R^3} + \frac{2}{vR^2} \right] \cos(\vartheta) e^{-j\omega R/v} [/math]
[math] E_\vartheta (R,\vartheta) = \frac{l}{4\pi\varepsilon} I_m \left[ \frac{1}{j R^3} + \frac{1}{vR^2} + \frac{j\omega}{v^2R} \right] \sin(\vartheta) e^{-j\omega R/v} [/math]
[math] E_\varphi (R,\vartheta) = 0 , [/math]
%REFLATEX{eqn:Hertz_dipol_H}% és %REFLATEX{eqn:Hertz_dipol_E}% egyenletekből látható, hogy az elektromos és a mágneses tér egymásra merőleges. A [math] H_{\varphi} [/math] és [math] E_{\vartheta} [/math] komponensek tartalmaznak távoli összetevőt ([math] 1/R [/math] szerint gyengül), mindegyik összetevő tartalmaz közeli összetevőt ([math] 1/R^2 [/math] szerint gyengül), [math] E_R [/math] és [math] E_\vartheta [/math] tartalmaz még közelebbi ([math] 1/R^3 [/math] szerint gyengülő) össztevőt is.
A sugárzott teljesítménnyel kapcsolatban az [math] S = 1/2 E \times H^* [/math] komplex Poynting vektorról a következők állapíthatók meg:
- távoli térre *E* és *H* fázisban vannak, szorzatuk valós, ez hatásos teljesítmény áramlását jelenti, [math] 1/R^2 [/math] szerint csökken
- a közeli összetevők közt 90°-os fáziseltérés van, szorzatuk tehát képzetes, ez meddő teljesítmény áramlását jelenti, [math] 1/R^3 [/math] szerint csökken
- a *H* távoli, és *E* nagyon közeli összetevők szintén fázisban vannak, szorzatuk megint csak valós, hatásos teljesítmény áramlik, de [math] 1/R^4 [/math] szerint csökken
- a *H* közeli, és *E* nagyon közeli összetevők 90°-os eltérésben vannak, szorzatuk képzetes, meddő teljesítmény áramlik, és [math] 1/R^5 [/math] szerint csökken
Csak a közeli tér Poynting vektorának van radiális összetevője.
Távoli tér
A távoli teret leíró egyenletek komplex amplitudója
[math] H_\varphi (R,\vartheta) = \frac{l}{4\pi} I_m \left[ \frac{1}{R^2} + \frac{j\omega}{vR} \right] \sin(\vartheta) e^{-j\omega R/v} , [/math]
[math] E_\vartheta (R,\vartheta) = \frac{l}{4\pi\varepsilon} I_m \left[ \frac{1}{j R^3} + \frac{1}{vR^2} + \frac{j\omega}{v^2R} \right] \sin(\vartheta) e^{-j\omega R/v} [/math]
A fentiekből definiálhatunk egy hullámellenállást, mégpedig
[math] \frac{E_\vartheta(R,\vartheta)}{H_\varphi (R,\vartheta)} = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}. [/math]
Vákuumban vagy levegőben
[math] \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}.\approx 377,0\Omega \approx (120 \pi) \Omega. [/math] A távoli tér önmagában nem létezik, mivel önmagukban ellentmondanak a Maxwell-egyenleteknek, ezért erővonalképét nem szokás megadni, lokálisan síkhullámnak tekinthető. A távoli tér komplex Poynting vektora csak radiális összetevőt tartalmaz, mégpedig
[math] S_R (R,\vartheta) = \frac{1}{2} E_\vartheta (R,\vartheta) H_\varphi^* (R,\vartheta) = \frac{1}{8} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \left( \frac{l}{\lambda}\right)^2 I_m^2 \frac{\sin^2(\vartheta)}{R^2} [/math]
A %REFLATEX{eqn:tavoli_ter_poynting_vektora}% kifejezés egy *A* zárt felületen vett felületi integrálja megadja a kisugárzott teljesítményt:
[math] \oint\limits_A S\ dA = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \left( \frac{l}{\lambda} \right)^2 \cdot I_m^2 = \frac{1}{2}\cdot R_s \cdot I_m^2, [/math] bevezetve [math] R_s [/math] sugárzási ellenállást, mely a fenti definíció alapján
[math] R_s = \frac{2\pi}{3} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \left( \frac{l}{\lambda} \right)^2. [/math] A Poynting-vektor kifejezéséből %REFLATEX{eqn:tavoli_ter_poynting_vektora}% alapján látható, hogy a teljesítmény döntő részét a [math] \sin^2 (\vartheta) [/math] tag miatt döntő részben a tengelyre merőlegesen sugározza ([math] \vartheta \in [45^\circ,135^\circ] [/math] esetén majdnem 90%).
