Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)

A VIK Wikiből
A nyomtatható változat már nem támogatott, és hibásan jelenhet meg. Kérjük, frissítsd a böngésződ könyvjelzőit, és használd a böngésző alapértelmezett nyomtatás funkcióját.

A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.

Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a Rendszerelmélet lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)

Ez az oldal az előadáson elhangzott dolgokat, s a gyakorlatokon elhangzott elméleti anyagot tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Próbálom időrendi sorrendben tartani, de ha valami szerintem más sorrendben logikus, akkor kérdés nélkül megcserélem. Az gyakorlatjegyzetemet erre találod: Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Gyakorlatjegyzet_-_2017_(ősz)

A képleteket próbálom átnézni, de hibák maradhatnak benne. Tipikusan DI/FI rendszernél az index elnevezések, szögeletes/kapcsos zárójelek, etc. Ha ilyet találsz, javítsd nyugodtan (vagy dobj levelet). TY!

Megjegyzések magamnak

Ezeket csak felvésem ide, hogy ne vesszen el. Még nem tudom, hova kellene ezeket bedolgozni...

  • az első gyakon elhangzott, hogy az Euler-összefüggések még hasznosak lesznek. Innen a szinus és a koszinus kifejezése, ni.

Bevezetés

A tárgy keretében fizikai folyamatokat szeretnénk leírni. A fizikait értsd, hogy kb. bármilyen olyan folyamatot, amiben mérhető mennyiségek szerepelnek. Ezeket a mennyiségeket változókkal írjuk le. Ezekből a változókból, ha fizikai dimenzió nélkül kezeljük, lesznek a jeleink. Ilyen folyamat lehet, például:

  • Az egyetem egyes évfolyamaira beiratkozott hallgatók száma.
  • Híd deformációja a terhelés függvényében
  • Lift sebessége a magasság függvényében, ha az ötödik emeletre akarunk menni.
  • stb.

Rendszerek ábrázolása

Az alábbi ábrán egy egyszerű rendszer ábrázolása látható.

(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU )

Példa

A fenti rajz lehet az ábrája az alábbi rendszer-modellnek.

Egy egyszerű egyetemet, s az egyetemen tanuló hallgatók számát szeretnénk modellezni. Négy jelet veszünk fel: x1, x2, x3, y. Ebből az x-ek az adott évben az adott évfolyamra járó hallgatók száma, míg az y az adott évben végző hallgatók száma. Az x1 értéke egyenlő az adott évben beiratkozó hallgatók és az előző évben az első évfolyamot nem teljesítő hallgatók számával. Amennyiben az újonnan beiratkozókat u-val jelöljük, míg az egyes évfolyamokon megbukottakat a-val, sikeresen teljesítőket b-vel (ezt most önkényesen jelölöm a illetve b-vel):

(szerk.: remélem semmit nem írtam el, de ezt a gyakorlat után még utánaszámolom. Amíg nem javítják meg a wiki-t, addig itt le tudod renderelni ezeket: http://quicklatex.com/)

Ebből ilyen szép táblázatot lehet rajzolni, ha:

  • minden k-ra
  • minden n-re
  • minden n-re

(vegyük észre, hogy nem szükségszerűen 1. A maradékot kirúgták, elment, etc. belefér a modellbe).

Év (k) Elsőévesek Másodévesek Harmadévesek Végzők
1 500 0 0 0
2 650 325 0 0
3 695 520 211 0
4 709 608 401 137
5 713 643 515 260
5 714 656 572 335

Nem számolom tovább, de ha ügyes vagy, néhány év múlva egy ~konstans értékre kéne beállnia a végzősök számának (~400 körül, valahol). Ez a tárgy ilyen (meg ennél bonyolultabb) modellekről, s azoknak az ennél egyszerűbb kiszámolásáról fog szólni.

Egyébként such wow, a fenti felállásban az u a gerjesztés, az y pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban.

Jelek osztályozása

Millióféleképpen lehet jeleket osztályozni. Kezdjünk néhány jelöléssel:
(én most mindent diszkrét idejű jelekre írok le, de ugyanígy jelölöd folytonos időben is)

  • a k időbeli gerjesztés
  • a k időbeli válasza a rendszernek
  • A teljes rendszert pedig a W-vel jelöljük, így:

Gerjesztések, Válaszok száma

A tárgy keretein belül egy gerjesztéssel, és egy válasszal rendelkező rendszerekről (SISO: Single Input Single Output) beszélünk.

Léteznek MIMO, MISO, SIMO (m, mint multiple) rendszerek is, ezekről nem lesz szó.
A jelölés nagyrészt hasonló ott is, csak az u, y, etc. vektorokként értelmezendők

Idő variancia

A W operátor lehet idő függő, és időtől nem függő. Ezek alapján megkülönböztetünk

  • Idő variáns rendszereket
  • Idő invariáns rendszereket.

A tárgy az utóbbiakkal foglalkozik. Itt mindig feltehetjük, hogy .

Lineáris rendszerek

Igaz az alábbi összefüggés:

Memória mentes, vagy memóriás

Def: Egy rendszer memória mentes, ha a válasza a t ill. k pillanatban csak a gerjesztés illetve értékétől függ.

Kauzális, vagy akauzális

Def: Egy rendszer kauzális, ha a válasza a ill. pillanatban csak a gerjesztés illetve értékétől függ.

Folytonos / Diszkrét idejű jelek

Beszélhetünk időben folytonos, vagy diszkrét idejű jelekről.

  • Folytonos idejű, jelölése
    A folytonos idejű jelek minden értékben értelmezettek.
  • Diszkrét idejű, jelölése
    A diszkrét idejű jelek csak a egész számok helyén értelmezettek.

Periodicitás

Folytonos időben

Egy folytonos idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik periódusidő, hogy minden t-re.

Diszkrét időben

Egy diszkrét idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik periódusidő, hogy minden k-ra.

Egyéb osztályozás

Továbbá általában determinisztikus, belépő típusú jelekkel foglalkozik a tárgy.

  • Determinisztikus: a rendszer válasza determinisztikus (megjósolható, nem véletlenszerű)
    ez nyilván nem így hangzik matematikusul, de nekünk jó lesz
  • Belépő: minden esetén.

Említés szintjén előkerül sztochasztikus (nem determinisztikus), nem belépő, x-ben belépő, diszkrét értékű, etc. jelek. Ezekkel nem foglalkozik a tárgy, de kis gondolkodással megfejtheted, melyik micsoda.

Továbbá megkülönböztetünk páros és páratlan jeleket:

  • páros: (az y tengelyre szimmetrikus)
  • páratlan: (az origóra szimmetrikus)

Állítás: Minden jel felírható egy páros és egy páratlan jel összegére.
Bizonyítás: Nem bizonyítjuk.

Jelek felírása

Diszkrét idejű jelek esetén

Speciális jelek

Egységimpulzus

Egységugrás

Állítás: Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként.
Bizonyítás: Nem bizonyítjuk.

Példa 1

Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként: (szerk.: ezt ellenőrizd le!)

Példa 2

Vegyük a következő jelet:

.

Ezt fel tudjuk írni egy sorban így:

.

Itt ugye a csak a esetben lesz 1, minden más esetben 0. Ezt kicsit tovább csavarva:

.

Mivel fentebb már kimondtuk, hogy ennek csak esetben van értelme. Így meg, az egyszerűsítések után egy triviális dolgot kapunk, miszerint:

DE!

LTI rendszer válasza

Nevezetes válaszok
  • Impulzusválasz: a rendszer egységimpulzus gerjesztésre adott válasza. Jele:
  • Ugrásválasz: a rendszer egységugrásra gerjesztésre adott válasza
Konvolúció

Hogyan írjuk fel egy rendszer válaszát? Általánosan leginkább sehogy. De ha a rendszerünk lineáris, s idő invariáns, akkor:

  • mivel ez lineáris rendszer, így:
  • mivel ez idő invariáns rendszer, így:

Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor:

  • egységimpulzussal gerjesztem a termet (tapsolok),
  • lemérem leghátul a terem által adott impulzusválaszt,
  • számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére.
Speciális esetek
Kauzális rendszer, belépő jel esetén

Kis gondolkodással belátható, hogy a belépő gerjesztés miatt 0 előtt nincs gerjesztés (a szorzat egyik tagja nulla), míg k után az impulzusválasz indexe lenne negatív, s így a kauzalitás miatt az impulzusválasz nulla (a szorzat másik tagja). Összefoglalva:

Folytonos idejű jelek esetén

Speciális jelek

Egységugrás

Megjegyzés: Az -t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc.

Egységimpulzus

Írjuk fel az függvényt a következőképpen:

Ez 0-tól T-ig 1/T értékű négyzet.

Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az -ben a T tart nullához.

Két lényeges tulajdonsága, amit megjegyzünk:

Az egységugrás és az egységimpulzus között itt is összefüggés van:

LTI rendszer válasza

Nevezetes válaszok
  • Impulzusválasz: a rendszer egységimpulzus gerjesztésre adott válasza. Jele:
  • Ugrásválasz: a rendszer egységugrásra gerjesztésre adott válasza
Konvolúció

Az a gondolatfolyam, ami a diszkrét esetben megtehető, itt is. Ezt én már nem teljesen értettem meg sosem, így csak a végeredmény:

A speciális esetek ugyanúgy felírhatók, mint a diszkrét esetben.

Jelek állapotváltozós leírása

Diszkrét idejű jelek esetén

Állapotváltozós leírás

Egy rendszer általánosságban leírható az alábbi két képlettel:

Ennek így elsőre semmi értelme, de:

  • ha így írunk fel rendszereket, akkor egyszerűen kiszámolható az impulzusválaszuk
  • ha így írunk fel rendszereket, akkor egyszerűen kiszámolható lesz adott gerjesztésre a válaszuk
  • és ilyet kérdeznek ZH-n, háziban.

Szóval érdemes begyakorolni, megérteni, etc.

Amennyiben a rendszerünk egy gerjesztéssel, egy válasszal, és két köztes állapotváltozóval rendelkezik, ez így néz ki:

Impulzusválasz állapotváltozós leírásból

Az így felírt rendszer impulzusválasza:

Mátrix egyszerű hatványozása

Ebből az kiszámolása okozhat nekünk gondot. Ennek a matematikai levezetését én sosem értettem meg, és nem is kell a ketteshez (remélem).

Általánosan egy mátrix hatványozása leírható (legalábbis, nekünk ez így jó lesz):

Ahol az egyes -k az A mátrix Lagrange mátrixai, míg a -k az A mátrix sajátértékei.

A mátrix sajátértékeit kiszámolhatjuk, ha az alábbi egyenletet megoldjuk:

Azaz:

A Lagrange mátrix pedig általánosságban: Konkrétabban:

Ön-ellenőrzéshez (vagy ha éppen késésben vagy), hasznos tulajdonsága a Lagrange mátrixnak, hogy: \sum \underline{\underline{L_i}} = \underline{\underline{E}}

Folytonos idejű jelek esetén

Impulzusválasz állapotváltozós leírásból

Az így felírt rendszer impulzusválasza: