Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Gyakorlatjegyzet - 2017 (ősz)

A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.

Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a Rendszerelmélet lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)

Ez az oldal a gyakorlaton elhangzott feladatokat, s azok megoldásait tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Az előadásjegyzetemet erre találod: Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Előadásjegyzet_-_2017_(ősz)

1. Gyakorlat

Periodicitás vizsgálata

Diszkrét idejű jelek

Adott $y[k]=\cos (\phi k)$. Hogyan számoljuk ki, hogy periodikus-e?

Felírjuk az periodicitás definícióját, majd számolunk:

• $\cos (\phi k)=\cos (\phi \cdot (k+L))$
• $\phi k+2n\pi =\phi (k+L)$
• $2n\pi =\phi L$
• $L=\frac{2n\pi }{\phi }$

Az így kapott L értéknek definíció szerint egész számnak kell lennie. Három eset lehet a számolás végén:

• Az L egész. Örülünk, a jel periodikus.
• Az L racionális tört. Szorozzuk fel, hogy egész legyen (erre van a képletben az n), s örülünk, a jel periodikus.
• Az L irracionális tört. Ebből sehogy nem lesz egész, a jel nem periodikus.

Általánosságban a $2n\pi =\phi L$ összefüggést érdemes megjegyezni, majd abból számolni.

Feladatok

Peridokusak-e az alábbi jelek? Amennyiben igen, mi a periódusideje?

$y[k]=\cos (3k)$

Nem.

• $2n\pi =\phi L$
• $\phi =3$
• $2n\pi =3L$
• $L=\frac{2n\pi }{3}$

Erre semmilyen olyan n-t nem tudunk mondani, hogy L egész legyen.

Kis számolással beláthatjuk, hogy a diszkrét idejű jelek csak akkor lesznek periodikusak, ha a k $\pi$ racionális többszöröse.

$y[k]=\cos (k\frac{\pi }{17}+\frac{\pi }{3})$

Igen.

• $y[k]=\cos (k\frac{\pi }{17}+\frac{\pi }{3})$
• $2n\pi =\phi L$
• $\phi =\frac{\pi }{17}$
• $2n\pi =\frac{\pi }{17}L$
• $2=\frac{L}{17}$
• $L=2\cdot 17=34$

$y[k]=\cos (k\frac{2}{5}+\frac{\pi }{2})$

Nem.

$y[k]=\cos (k\frac{3\pi }{19}+\frac{\pi }{2})$

Igen. $L=38$

$y[k]=\sin (k\frac{5}{13}+\frac{\pi }{4})$

Nem.

$y[k]=\sin (k\frac{5\pi }{13}+\frac{\pi }{4})$

Igen. $L=26$

Folytonos idejű jelek

Folytonos idejű jelek periodicitását ugyanúgy vizsgáljuk, mint a diszkrét idejű jeleknél. Az egyetlen különbség, hogy a folytonos idejű jeleknél a periódusidő nem szükségszerűen egész, hanem lehet racionális szám is: $T\in \mathbb{ℝ}$.

Feladatok

Peridokusak-e az alábbi jelek? Amennyiben igen, mi a periódusideje?

$y(t)=5\cos (2t)+3\sin (4t)+10$

Ilyen jeleknél, amik több periodikus jel szuperpozíciója, az egyes részeinek periódusidejét számoljuk ki, majd ezen periódusidők legkisebb közös többszöröse lesz a szuperponált jel periódusideje.

Az $y(t)$ jel három jel szuperpozíciója. Ezek külön, külön:

• 1. $5\cos (2t)$
• 2. $3\sin (4t)$
• 3. $10$

Ebből az utolsó triviálisan periodikus, periódusideje tulajdonképpen bármelyik racionális szám. A másik kettőről meg megtanultuk középiskolában, hogy periodikusak, periódusidejük:

• $T_1=\pi$
• $T_2=\frac{\pi }{2}$

Ezek alapján az eredeti jel periodikus, periódusideje: $T=\pi$.

$y(t)=4\cos (4t)+5\sin (7t)$

A fentiek alapján periodikus, periódusideje: $T=2\pi$.

• $T_1=\frac{\pi }{2}$
• $T_2=\frac{2\pi }{7}$

Rendszer válaszának kiszámolása lépésenként

Diszkrét idejű jelek

Adott a $y[k]+0.8y[k-1]=3u[k]+4u[k-1]$ öszefüggés. Továbbá tudjuk, hogy $y[-1]=5$, s $u[k]=2\cdot ϵ[k]$. Számoljuk ki az y értékeit különböző k értékekre.

Az előadásvázlatban van hasonló példa. Az egészet $y[k]=...$-ra rendezve kapunk egy egyszerű összefüggést. Mivel tudjuk az $y[-1]$-et, így az $y[0]$ triviálisan számolható. Ezek után a következő, majd a következő, majd az azt követő y érték is. Valahogy így:

k	u	y
-1	0	5
0	2	2
1	2	12.4
2	2	...

A gyakorlaton ezt még felrajzoltuk egy grafikonra. Két dolgot jegyeztünk meg:

• A diszkrét értékeket nem kötjük össze!
• A tengelyek legyenek elnevezve!

A fenti módszer hátránya, hogyha szeretném tudni a $y[538]$ értékét, akkor ahhoz ki kell számolni a $y[537]$ értékét, és így tovább összes korábbi értéket is.

Folytonos idejű jelek

Folytonos idejű jelek is lehetnének hasonlóan számolhatóak, de ott a megfelelő lépésköz sokkal nehezebben meghatározható (gondolj a Taylor polinommal való közelítésre).

2. Gyakorlat

Itt nem voltam, sry. Aki akarja, pótolja nyugodtan ide

3. Gyakorlat

1. feladat

Moriczkának 1000 pénze van. 10% éves kamatra beteszi a bankba, ahol azt évente tőkésítik.

• Mennyi pénze lesz Móriczkának 1-2-3 év múlva? Számold ki kézzel!
• Rajzolj jelfolyam hálózatot.

2. feladat

Az előadásjegyzetben pedzegetett hallgatós példa, csak más számokkal. A fent linkelt előadás-jegyzetem legelején megtalálod, nem részletezem itt.

3. feladat

Adott az alábbi rendszer: (szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io -n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqWGNHcDE2MDkzems )

Számoljuk ki a rendszer impulzusválaszát!

A számolás módja az elődásjegyzetben van részletezve, ide csak a fontosabb rész-eredményeket vésem le.

A, B, C, D mátrixok

$\underset{\_}{\underset{\_}{A}}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -0.05& -0.6\end{array}\right]$

$\underset{\_}{B}=\left[\begin{array}{c}-2\\ 1.5\end{array}\right]$

${\underset{\_}{C}}^T=\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right]$

$d=1$

Saját értékek, Lagrange Mátrixok

${\lambda }_1=-0.1$

${\lambda }_2=-0.5$

$\underset{\_}{\underset{\_}{L_1}}=\left[\begin{array}{cc}1.25& 2.5\\ -0.125& -0.25\end{array}\right]$

$\underset{\_}{\underset{\_}{L_2}}=\left[\begin{array}{cc}-0.25& -2.5\\ 0.125& 1.25\end{array}\right]$

${\underset{\_}{C}}^T\cdot \underset{\_}{\underset{\_}{L_1}}\cdot \underset{\_}{B}=-0.125$

${\underset{\_}{C}}^T\cdot \underset{\_}{\underset{\_}{L_2}}\cdot \underset{\_}{B}=1.625$

Impulzusválasz

$h[k]=\delta [k]+ϵ[k-1]\cdot (-0.125\cdot (-0.1^k)+1.625\cdot (-0.5^k))$

4. gyakorlat

1. feladat

Lásd az előző gyakorlat 3. feladatát. Adott ugyanez a rendszer, csak folytonos időben. Számoljuk ki a rendszer impulzusválaszát! A számolás módja az elődásjegyzetben van részletezve, ide csak a fontosabb rész-eredményeket vésem le.

Ami ugyanaz

Az A, B, C, D mátrixok, a Lagrange mátrixok, az A mátrix sajátértékei azonosak.

Impulzusválasz

$h(t)=\delta (t)+ϵ(t)\cdot (e^{-0.1\cdot t}\cdot -0.125+e^{-0.5\cdot t}\cdot 1.625)$

Válasz

• Ha a gerjesztés: $u(t)=2ϵ(t)$
• $y(t)=-0.25\cdot e^{-0.1\cdot t}(\frac{e^{0.1\cdot t}}{0.1}-\frac{1}{0.1})+3.25\cdot e^{-0.5\cdot t}(\frac{e^{0.5\cdot t}}{0.5}-\frac{1}{0.5})$
• $y(t)=ϵ(t)\cdot (6+2.5\cdot e^{-0.1\cdot t}-6.5\cdot e^{-0.5\cdot t})$