Számítógépes grafika és képfeldolgozás - Vizsga, 2015.01.12.

Amennyiben ki tudjátok egészíteni, vagy hibás számolást találtok nyugodtan változtassátok a cikket.

1.Feladat

1.rész

Feladat

Adott egy merevtestű madár, amely $t=0$ időpontban az origón megy keresztül ${\vec {v}}$ sebességgel, $t=1$ időpontban már a ${\vec {p}}$ pontban található. Pályájának Descartes koordinátái az idő polinomfüggvényei. Adjon meg egy, a feltételeknek eleget tevő pályát, azaz határozza meg, hol van a madár egy tetszőleges $t$ időpontban és mi a pillanatnyi sebessége. (8 pont)

Mi a madár modellezési transzformációja ebben a pillanatban, amely referencia helyzetből ide transzformálja? Feltételezve, hogy a referencia helyzetben a madár súlypontja origóban van, csőre +y, farka -y, háta +z, hasa -z irányba néz, szárnyait az x tengellyel párhuzamosan feszíti ki. (12 pont)

Megjegyzés

Sajnos a feladatból (számomra) hiányzott egy paraméter ($v$ értéke $t=1$ időpontban, vagy, hogy állandó-e a gyorsulás). Amennyiben valaki tud egy jobb, egyértelműbb megoldást, kérem, hogy ossza meg ebben a cikkben.

Megoldás #1

Feltételezzük, hogy $a(t)$ állandó ( csak $a$-ként hivatkozok rá):

$v(t)=at+v$

$p(t)={a \over 2}t^{2}+vt+{\underline {0}}={a \over 2}t^{2}+vt$

Ebből következően ha $t=1$:

$p={a \over 2}+v$

$a=2(p-v)$

Tehát:

$v(t)=2(p-v)t+v$

$p(t)=(p-v)t^{2}+vt$

2. rész

Amennyiben a madár modelje alapesetben csőrével az +y, farkával a -y, hátával a +z és hasával a -z valamint a szárnyai az x tengelyek felé néz, milyen transzformációkat kell elvégeznünk, hogy megfelelő irányban és pozícióban legyen minden időpillanatban úgy, hogy forduláskor bedől (Frenet keret)

Megjegyzés

Valószínűleg hibás (sorry). Érdemes átnézni a jegyzeteket (bmeanimr.ppt ~17. dia) és leellenőrizni. Ebből próbáltam én is összerakni. Amennyiben mégis helyes, akkor kéretik törölni ezt a két sort :)

(A ${x \over |x|}$ kifejezés egyszerűen csak normalizálást jelent.)

Megoldás

A jegyzetben az alábbi koordinálták vannak:

• Madár csőre: +z tengely
• Madár háta: +y tengely
• Madár szárnyai: x tengely

Ennek köszönhetően fel kell cserélni az egyenletekben a tengelyeket:

$y_{m}=r'(t)=v(t)$

$x_{m}=y_{m}\times r''(t)=y_{m}\times a$

$z_{m}=y_{m}\times x_{m}$

Ebbe a három vektorba kell forgatni a madarat. Az első cél, hogy az $x$ tengelyt befordítsuk a $x_{m}$ helyére ( 2 forgatás - $\varphi _{z}$ és $\varphi _{y}$), utána az $y$ tengelyt kell beforgatnunk a $y_{m}$ helyére ( 1 forgatás - $\varphi _{x}$ ). Belátható, hogy e két vektorral a $z$ tengely is a helyére kerül

• A $\varphi _{z}$-t hamar kinyerhetjük a $x_{m}$-ben található $y$ értékből:

$\varphi _{z}'=\sin ^{-1}\left({\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}}\left[{x_{m} \over |x_{m}|}\right]\right)$

$\varphi _{z}{\begin{cases}x>0&=\varphi _{z}'\\x\leq 0&=\pi -\varphi _{z}'\end{cases}}$

• A forgatott $x'$ tengely és az $x_{m}$ által bezárt szög fogja alkotni a $\varphi _{y}$-t:

$x'={\begin{bmatrix}\cos \varphi _{z}&-\sin \varphi _{z}&0\\\sin \varphi _{z}&\cos \varphi _{z}&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi _{z}\\\sin \varphi _{z}\\0\end{bmatrix}}$

$\varphi _{y}'=\cos ^{-1}\left({x' \over |x'|}\cdot {x_{m} \over |x_{m}|}\right)$

$\varphi _{y}{\begin{cases}z>0&=-\varphi _{y}'\\z\leq 0&=\varphi _{y}'\end{cases}}$

• Hasonlóan az előzőekhez az $y'$ tengelyt ki kell számolni, és az $y_{m}$-el bezárt szög lesz a $\varphi _{x}$:

$y'={\begin{bmatrix}\cos \varphi _{z}&-\sin \varphi _{z}&0\\\sin \varphi _{z}&\cos \varphi _{z}&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin \varphi _{z}\\\cos \varphi _{z}\\0\end{bmatrix}}$

$\varphi _{x}'=\cos ^{-1}\left({y' \over |y'|}\cdot {y_{m} \over |y_{m}|}\right)$

$\varphi _{x}{\begin{cases}z>0&=\varphi _{x}'\\z\leq 0&=-\varphi _{x}'\end{cases}}$

Ezekkel a szögekkel$(\varphi _{x},\varphi _{y},\varphi _{z})$ kell forgatni a madarat, és el kell mozdítani $p(t)$ vektorral

2. feladat

Bizonyítsa be, hogy egy invertálható homogén lineáris tanszformáció a projektív síkot projektív síkra, kvadratikus felületet kvadratikus felületre képez le. (10 pont)