Számítógépes grafika és képfeldolgozás - Vizsga, 2015.01.12.

Amennyiben ki tudjátok egészíteni, vagy hibás számolást találtok nyugodtan változtassátok a cikket.

1.Feladat

1.rész

Feladat

Adott egy merevtestű madár, amely $t=0$ időpontban az origón megy keresztül $\overrightarrow{v}$ sebességgel, $t=1$ időpontban már a $\overrightarrow{p}$ pontban található. Pályájának Descartes koordinátái az idő polinomfüggvényei. Adjon meg egy, a feltételeknek eleget tevő pályát, azaz határozza meg, hol van a madár egy tetszőleges $t$ időpontban és mi a pillanatnyi sebessége. (8 pont)

Mi a madár modellezési transzformációja ebben a pillanatban, amely referencia helyzetből ide transzformálja? Feltételezve, hogy a referencia helyzetben a madár súlypontja origóban van, csőre +y, farka -y, háta +z, hasa -z irányba néz, szárnyait az x tengellyel párhuzamosan feszíti ki. (12 pont)

Megjegyzés

Sajnos a feladatból (számomra) hiányzott egy paraméter ($v$ értéke $t=1$ időpontban, vagy, hogy állandó-e a gyorsulás). Amennyiben valaki tud egy jobb, egyértelműbb megoldást, kérem, hogy ossza meg ebben a cikkben.

Megoldás #1

Feltételezzük, hogy $a(t)$ állandó ( csak $a$-ként hivatkozok rá):

$v(t)=at+v$

$p(t)=\frac{a}{2}{t}^2+vt+\underset{\_}{0}=\frac{a}{2}{t}^2+vt$

Ebből következően ha $t=1$:

$p=\frac{a}{2}+v$

$a=2(p-v)$

Tehát:

$v(t)=2(p-v)t+v$

$p(t)=(p-v)t^2+vt$

2. rész

Amennyiben a madár modelje alapesetben csőrével az +y, farkával a -y, hátával a +z és hasával a -z valamint a szárnyai az x tengelyek felé néz, milyen transzformációkat kell elvégeznünk, hogy megfelelő irányban és pozícióban legyen minden időpillanatban úgy, hogy forduláskor bedől (Frenet keret)

Megjegyzés

Valószínűleg hibás (sorry). Érdemes átnézni a jegyzeteket (bmeanimr.ppt ~17. dia) és leellenőrizni. Ebből próbáltam én is összerakni. Amennyiben mégis helyes, akkor kéretik törölni ezt a két sort :)

(A $\frac{x}{|x|}$ kifejezés egyszerűen csak normalizálást jelent.)

Megoldás

A jegyzetben az alábbi koordinálták vannak:

• Madár csőre: +z tengely
• Madár háta: +y tengely
• Madár szárnyai: x tengely

Ennek köszönhetően fel kell cserélni az egyenletekben a tengelyeket:

$y_m=r^{\prime }(t)=v(t)$

$x_m=y_m\times r^{″}(t)=y_m\times a$

$z_m=y_m\times x_m$

Ebbe a három vektorba kell forgatni a madarat. Az első cél, hogy az $x$ tengelyt befordítsuk a $x_m$ helyére ( 2 forgatás - ${\phi }_z$ és ${\phi }_y$), utána az $y$ tengelyt kell beforgatnunk a $y_m$ helyére ( 1 forgatás - ${\phi }_x$ ). Belátható, hogy e két vektorral a $z$ tengely is a helyére kerül

• A ${\phi }_z$-t hamar kinyerhetjük a $x_m$-ben található $y$ értékből:

${{\phi }_z}^{\prime }={\sin }^{-1}\left(\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\end{array}\right]\left[\frac{x_m}{|x_m|}\right]\right)$

${\phi }_z\{\begin{array}{ll}x>0& ={{\phi }_z}^{\prime }\\ x\le 0& =\pi -{{\phi }_z}^{\prime }\end{array}$

• A forgatott $x^{\prime }$ tengely és az $x_m$ által bezárt szög fogja alkotni a ${\phi }_y$-t:

$x^{\prime }=\left[\begin{array}{ccc}\cos {\phi }_z& -\sin {\phi }_z& 0\\ \sin {\phi }_z& \cos {\phi }_z& 0\\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\cos {\phi }_z\\ \sin {\phi }_z\\ 0\end{array}\right]$

${{\phi }_y}^{\prime }={\cos }^{-1}(\frac{x^{\prime }}{|x^{\prime }|}\cdot \frac{x_m}{|x_m|})$

${\phi }_y\{\begin{array}{ll}z>0& =-{{\phi }_y}^{\prime }\\ z\le 0& ={{\phi }_y}^{\prime }\end{array}$

• Hasonlóan az előzőekhez az $y^{\prime }$ tengelyt ki kell számolni, és az $y_m$-el bezárt szög lesz a ${\phi }_x$:

$y^{\prime }=\left[\begin{array}{ccc}\cos {\phi }_z& -\sin {\phi }_z& 0\\ \sin {\phi }_z& \cos {\phi }_z& 0\\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\sin {\phi }_z\\ \cos {\phi }_z\\ 0\end{array}\right]$

${{\phi }_x}^{\prime }={\cos }^{-1}(\frac{y^{\prime }}{|y^{\prime }|}\cdot \frac{y_m}{|y_m|})$

${\phi }_x\{\begin{array}{ll}z>0& ={{\phi }_x}^{\prime }\\ z\le 0& =-{{\phi }_x}^{\prime }\end{array}$

Ezekkel a szögekkel$({\phi }_x,{\phi }_y,{\phi }_z)$ kell forgatni a madarat, és el kell mozdítani $p(t)$ vektorral

2. feladat

Bizonyítsa be, hogy egy invertálható homogén lineáris tanszformáció a projektív síkot projektív síkra, kvadratikus felületet kvadratikus felületre képez le. (10 pont)