Matematika A3 - Komplex függvények

1. $\lim _{z\rightarrow 0}{\frac {z}{|z|}}=\lim _{r,\varphi \rightarrow 0}{\frac {re^{j\varphi }}{r}}=\lim _{r,\varphi \rightarrow 0}e^{j\varphi }\;\;\nexists$ (különböző irányokból az origoba tartva $\varphi$ más és más)
2. $\lim _{z\rightarrow j3}{\frac {z^{2}+9}{z-j3}}=\lim _{z\rightarrow j3}{\frac {(z+j3)(z-j3)}{z-j3}}=\lim _{z\rightarrow j3}z+j3=j6$
3. $\lim _{z\rightarrow 0}{\frac {1}{j2}}\left({\frac {z}{\overline {z}}}-{\frac {\overline {z}}{z}}\right)=\lim _{z\rightarrow 0}{\frac {1}{j2}}{\frac {z^{2}-{\overline {z}}^{2}}{|z|^{2}}}=\lim _{r,\varphi \rightarrow 0}{\frac {1}{j2}}{\frac {r^{2}e^{j2\varphi }-r^{2}e^{-j2\varphi }}{r^{2}}}=\lim _{r,\varphi \rightarrow 0}{\frac {1}{j2}}\left(e^{j2\varphi }-e^{-j2\varphi }\right)=\lim _{r,\varphi \rightarrow 0}\sin(2\varphi )\;\;\nexists$
4. Hol folytonos $f(z)={\frac {z}{{\overline {z}}+z}}$? $\mathbb {C} \setminus \{\Re \{z\}=0\}$, mert folytonos függvényekből folytonosságot megőrző módon van összerakva.
5. Hol folytonos $f(z)={\frac {{\overline {z}}^{2}}{z}}{\text{, ha }}z\neq 0{\text{ es }}0{\text{, ha }}z=0$? Ha $z\neq 0$ akkor folytonos, de mi újság, ha $z=0$? $\lim _{z\rightarrow 0}{\frac {{\overline {z}}^{2}}{z}}=\lim _{r,\varphi \rightarrow 0}{\frac {r^{2}e^{-j2\varphi }}{re^{j\varphi }}}=\lim _{r,\varphi \rightarrow 0}re^{-j3\varphi }=0$, tehát ott is folytonos.
6. Hol folytonos $f(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{\overline {z}}}{\text{, ha }}z\neq 0{\text{ es }}0{\text{, ha }}z=0$? Ha $z\neq 0$ akkor folytonos, de mi van, ha $z=0$? $\lim _{z\rightarrow 0}{\frac {z+{\overline {z}}}{\overline {z}}}=\lim _{z\rightarrow 0}{\frac {x+jy+x-jy}{x-jy}}=\lim _{z\rightarrow 0}{\frac {2x}{x-jy}}$ Vizsgáljuk meg a határértéket az $x=y$ egyenes mentén: ${\frac {2x}{x-jx}}={\frac {2}{1-j}}\neq 0\Rightarrow$ találtunk egy egyenest, amely mentén nem 0 a határérték, tehát az origoban nem lehet folytonos.