Matematika A3 - Komplex függvények

1. $\underset{z\to 0}{\lim }\frac{z}{|z|}=\underset{r,\phi \to 0}{\lim }\frac{r{e}^{j\phi }}{r}=\underset{r,\phi \to 0}{\lim }{e}^{j\phi }\nexists$ (különböző irányokból az origoba tartva $\phi$ más és más)
2. $\underset{z\to j3}{\lim }\frac{z^2+9}{z-j3}=\underset{z\to j3}{\lim }\frac{(z+j3)(z-j3)}{z-j3}=\underset{z\to j3}{\lim }z+j3=j6$
3. $\underset{z\to 0}{\lim }\frac{1}{j2}(\frac{z}{\bar{z}}-\frac{\bar{z}}{z})=\underset{z\to 0}{\lim }\frac{1}{j2}\frac{z^2-\stackrel{2}{\stackrel{‾}{z}}}{|z{|}^2}=\underset{r,\phi \to 0}{\lim }\frac{1}{j2}\frac{r^2{e}^{j2\phi }-r^2{e}^{-j2\phi }}{r^2}=\underset{r,\phi \to 0}{\lim }\frac{1}{j2}(e^{j2\phi }-e^{-j2\phi })=\underset{r,\phi \to 0}{\lim }\sin (2\phi )\nexists$
4. Hol folytonos $f(z)=\frac{z}{\bar{z}+z}$? $\mathbb{ℂ}\setminus \{\mathrm{\Re }\{z\}=0\}$, mert folytonos függvényekből folytonosságot megőrző módon van összerakva.
5. Hol folytonos $f(z)=\frac{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{z}}}{z}\text{, ha }z\ne 0\text{ es }0\text{, ha }z=0$? Ha $z\ne 0$ akkor folytonos, de mi újság, ha $z=0$? $\underset{z\to 0}{\lim }\frac{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{z}}}{z}=\underset{r,\phi \to 0}{\lim }\frac{r^2{e}^{-j2\phi }}{r{e}^{j\phi }}=\underset{r,\phi \to 0}{\lim }r{e}^{-j3\phi }=0$, tehát ott is folytonos.
6. Hol folytonos $f(z)=\frac{z+\bar{z}}{\bar{z}}\text{, ha }z\ne 0\text{ es }0\text{, ha }z=0$? Ha $z\ne 0$ akkor folytonos, de mi van, ha $z=0$? $\underset{z\to 0}{\lim }\frac{z+\bar{z}}{\bar{z}}=\underset{z\to 0}{\lim }\frac{x+jy+x-jy}{x-jy}=\underset{z\to 0}{\lim }\frac{2x}{x-jy}$ Vizsgáljuk meg a határértéket az $x=y$ egyenes mentén: $\frac{2x}{x-jx}=\frac{2}{1-j}\ne 0\Rightarrow$ találtunk egy egyenest, amely mentén nem 0 a határérték, tehát az origoban nem lehet folytonos.