Számítógépes grafika és képfeldolgozás - Vizsga, 2015.01.12.

1.Feladat

1.rész

Feladat

Van egy madarunk, ami az origóból ($p_0=\underset{\_}{0}$) $v$ sebességgel indul $t=0$ időpontban. $t=1$ időpontban $p$ pozícióba kerül. Adja meg az idő-parametrizáltan, milyen pozícióban, milyen sebességgel repült.

Megjegyzés

Sajnos a feladatból (számomra) hiányzott egy paraméter ($v$ értéke $t=1$ időpontban, vagy, hogy állandó-e a gyorsulás). Amennyiben valaki tud egy jobb, egyértelműbb megoldást, kérem, hogy ossza meg ebben a cikkben.

Megoldás #1

Feltételezzük, hogy $a(t)$ állandó ( csak $a$-ként hivatkozok rá):

$v(t)=at+v$

$p(t)=\frac{a}{2}{t}^2+vt+\underset{\_}{0}=\frac{a}{2}{t}^2+vt$

Ebből következően ha $t=1$:

$p=\frac{a}{2}+v$

$a=2(p-v)$

Tehát:

$v(t)=2(p-v)t+v$

$p(t)=(p-v)t^2+vt$

2. rész

Amennyiben a madár modelje alapesetben csőrével az +y, farkával a -y, hátával a +z és hasával a -z valamint a szárnyai az x tengelyek felé néz, milyen transzformációkat kell elvégeznünk, hogy megfelelő irányban és pozícióban legyen minden időpillanatban úgy, hogy forduláskor bedől (Frenet keret)

Megjegyzés

Valószínűleg hibás (sorry). Érdemes átnézni a jegyzeteket (bmeanimr.ppt ~17. dia) és leellenőrizni. Ebből próbáltam én is összerakni. Amennyiben mégis helyes, akkor kéretik törölni ezt a két sort :)

(A $\frac{x}{|x|}$ kifejezés egyszerűen csak normalizálást jelent.)

Megoldás

A jegyzetben az alábbi koordinálták vannak:

• Madár csőre: +z tengely
• Madár háta: +y tengely
• Madár szárnyai: x tengely

Ennek köszönhetően fel kell cserélni az egyenletekben a tengelyeket:

$y_m=r^{\prime }(t)=v(t)$

$x_m=y_m\times r^{″}(t)=y_m\times a$

$z_m=y_m\times x_m$

Ebbe a három vektorba kell forgatni a madarat. Az első cél, hogy az x tengely megfeleljen (két forgatás - z és y), utána az y tengelyt feleltetjük meg (1 forgatás - x)

• A ${\phi }_z$-t hamar kinyerhetjük a $x_m$ x értékéből

${{\phi }_z}^{\prime }={\sin }^{-1}(\left[\frac{x_m}{|x_m|}\right].x)$

${\phi }_z\{\begin{array}{ll}x>0& ={{\phi }_z}^{\prime }\\ x\le 0& =180-{{\phi }_z}^{\prime }\end{array}$

• Forgassuk be az $x$ tengelyt a helyére $y$-ból való forgatással. Az ehhez tartozó szög:

${{\phi }_y}^{\prime }={\cos }^{-1}(\frac{{x_m}^{\prime }}{|{x_m}^{\prime }|}\cdot \frac{x_m}{|x_m|})$

${\phi }_y\{\begin{array}{ll}z>0& =-{{\phi }_y}^{\prime }\\ z\le 0& ={{\phi }_y}^{\prime }\end{array}$

• Keressük meg az $y$ tengely jelenlegi helyét:

$y^{\prime }=\left[\begin{array}{ccc}\cos {\phi }_z& -\sin {\phi }_z& 0\\ \sin {\phi }_z& \cos {\phi }_z& 0\\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\sin {\phi }_z\\ \cos {\phi }_z\\ 0\end{array}\right]$

• és számoljuk ki a $y^{\prime }$ tengely és $y_m$ közötti szöget

${{\phi }_x}^{\prime }={\cos }^{-1}(\frac{y^{\prime }}{|y^{\prime }|}\cdot \frac{y_m}{|y_m|})$

${\phi }_x\{\begin{array}{ll}z>0& ={{\phi }_x}^{\prime }\\ z\le 0& =-{{\phi }_x}^{\prime }\end{array}$

Ezekkel a szögekkel$({\phi }_x,{\phi }_y,{\phi }_z)$ kell forgatni a madarat, és el kell mozdítani $p(t)$ vektorral

2. feladat

Már nem emlékszem...