Matematika A3 - Magasabbrendű differenciálegyenletek

Lineáris, homogén, állandó együtthatós n-edrendű differenciálegyenletek

Definíció

A $\sum _{i=0}^n{a}_i{y}^{(i)}(x)=a_n{y}^{(n)}(x)+a_{n-1}{y}^{(n-1)}(x)+...+a_1{y}^{\prime }(x)+a_{0}y(x)=0$ alakú egyenletek, ahol $a_i$-k konstansok, lineáris, homogén, állandó együtthatós differenciálegyenletek.

A megoldás általános alakja

Írjuk fel a karakterisztikus polinomot, ami a következőképpen néz ki:

$\sum _{i=0}^n{a}_i{\lambda }^i=a_n{\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+...+a_1\lambda +a_0=0$

Ekkor a homogén, általános megoldásra a következő állítások igazak:

1. Ha ${\lambda }_i$ gyöke a karakterisztikus egyenletnek, akkor $e^{{\lambda }_{i}x}$ gyöke a differenciálegyenletnek.
2. Ha az $e^{{\lambda }_{1}x};e^{{\lambda }_{2}x};...;e^{{\lambda }_{n}x}$ megoldások, akkor ezek a pontok, mint vektorok, kifeszítik a differenciálegyenlet magterét.
3. A homogén, általános megoldás előáll a következő alakban:

• • Ha a karakterisztikus egyenletnek _n_ darab, különböző ${\lambda }_i$ megoldása van, akkor $y_{ha}(x)=\sum _{i=1}^n{c}_i{e}^{{\lambda }_{i}x}=c_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+c_2{e}^{{\lambda }_{2}x}+...+c_n{e}^{{\lambda }_{n}x}$
  • Ha a karakterisztikus egyenletnek ${\lambda }_i$ m-szeres multiplicitású gyöke, akkor a homogén, általános megoldás kifejezésében mindenképpen szerepelnek a következő tagok: $e^{{\lambda }_{i}x};x{e}^{{\lambda }_{i}x};x^2{e}^{{\lambda }_{i}x};...;x^{m-1}{e}^{{\lambda }_{n}x}$
  • Ha a karakterisztikus egyenletnek ${\lambda }_i=a+jb$ komplex gyöke, akkor a homogén, általános megoldás kifejezésében mindenképpen szerepel az $e^{ax}(c_1\cos (bx)+c_2\sin (bx))$ tag, valamint szerepelnie kell továbbá a gyökök között ${\lambda }_i$ komplex konjugáltjának is.

Lineáris, inhomogén, állandó együtthatós n-edrendű differenciálegyenletek

Definíció

A $\sum _{i=0}^n{a}_i{y}^{(i)}(x)=a_n{y}^{(n)}(x)+a_{n-1}{y}^{(n-1)}(x)+...+a_{0}y(x)=f(x)$ alakú egyenletek, ahol $a_i$-k konstansok, lineáris, inhomogén, állandó együtthatós differenciálegyenletek.

A megoldás általános alakja

Az inhomogén differenciálegyenlet inhomogén, általános megoldása a homogén, általános megoldás és az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának összege, vagyis:

$y_{ia}(x)=y_{ha}(x)+y_{ip}(x)$

Az $y_{ha}$ megtalálása $f(x)=0$ helyettesítéssel, majd a keletkező homogén egyenlet megoldásával történik. Az $y_{ip}$ pedig az $f(x)$ (_"zavarófüggvény"_) alakjában keresendő. Ebben a következő táblázat segít ($K$ -k és $C$ -k konstansok):

$f(x)$	$y_{ip}$
$K{e}^{\alpha x}$	$C{e}^{\alpha x}$
$K{x}^n$	$\sum _{i=0}^n{C}_i{x}^i$
$K_1\cos (ax)$ vagy $K_2\sin (bx)$	$C_1\cos (ax)+C_2\sin (bx)$
$x^n{e}^{\alpha x}$	$e^{\alpha x}\sum _{i=0}^n{C}_i{x}^i$

A táblázat alapján meghatározott $y_{ip}$ -t helyettesítsük be az eredeti egyenletbe (értelem szerűen az _y_ helyébe), így nyerünk egy olyan egyenletet, amelyből a _C_ konstansok meghatározhatók. A következő példából világosabb lesz, hogy miről is van szó:

Példa

$y^{″}+5y^{\prime }+4y=3-2x-x^2$

A homogén, általános megoldás

Karakterisztikus egyenlet: ${\lambda }^2+5\lambda +4=0$ $\Downarrow$ ${\lambda }_1=-4$ ${\lambda }_2=-1$ $\Downarrow$ $y_{ha}(x)=c_1{e}^{-4x}+c_2{e}^{-x}$

Az inhomogén, partikuláris megoldás

$y_{ip}(x)=A{x}^2+Bx+C$ ${y_{i^{\prime }p}}^{\prime }(x)=2Ax+B$ ${y_{i^{″}p}}^{″}(x)=2A$

Behelyettesítve:

$2A+5(2A+B)+4(A{x}^2+Bx+C)=3-2x-x^2$

Rendezgetés után,

• $x^2$ együtthatói: $4A=-1\Rightarrow A=-\frac{1}{4}$
• $x$ együtthatói: $10A+4B=-2\Rightarrow B=\frac{1}{8}$
• Konstans tag: $2A+5B+4C=3\Rightarrow C=\frac{23}{32}$

Tehát $y_{ip}(x)=-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{8}x+\frac{23}{32}$

Tehát, az inhomogén általános megoldás:

$y_{ia}(x)=c_1{e}^{-4x}+c_2{e}^{-x}-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{8}x+\frac{23}{32}$

Példa

$y^{″}-6y^{\prime }+13y=x+\sin (3x)$

A homogén, általános megoldás

Karakterisztikus egyenlet: ${\lambda }^2-6\lambda +13=0$ $\Downarrow$ ${\lambda }_1=3+j2$ ${\lambda }_2=3-j2$ $\Downarrow$ $y_{ha}(x)=e^{3x}(c_1\cos (2x)+c_2\sin (2x))$

Az inhomogén, partikuláris megoldás

$y_{ip}(x)=Ax+B+C\sin (3x)+D\cos (3x)$ ${y_{i^{\prime }p}}^{\prime }(x)=A+3C\cos (3x)-3D\sin (3x)$ ${y_{i^{″}p}}^{″}(x)=-9C\sin (3x)-9D\cos (3x)$

A visszahelyettesítést követően $A=\frac{1}{13};B=\frac{6}{169};C=\frac{1}{85};D=\frac{9}{170}$. Az inhomogén, partikuláris megoldás tehát:

$y_{ip}(x)=\frac{x}{13}+\frac{6}{169}+\frac{\sin (3x)}{85}+\frac{9\cos (3x)}{170}$

Tehát, az inhomogén általános megoldás:

$y_{ia}(x)=e^{3x}(c_1\cos (2x)+c_2\sin (2x))+\frac{x}{13}+\frac{6}{169}+\frac{\sin (3x)}{85}+\frac{9\cos (3x)}{170}$

Rezonancia

Definíció

Ha a homogén, általános megoldás egyik tagja megegyezik az inhomogén, partikuláris megoldás feltételezett alakjának egy tagjával.

A megoldás általános alakja

A próbafüggvény megfelelő tagját meg kell szorozni x-szel.

Példa

$y^{″}+3y^{\prime }+2y=e^x+2e^{3x}$

A homogén, általános megoldás

Karakterisztikus egyenlet: ${\lambda }^2+3\lambda +2=0$ $\Downarrow$ ${\lambda }_1=1$ ${\lambda }_2=2$ $\Downarrow$ $y_{ha}(x)=c_1{e}^x+c_2{e}^{2x}$

Az inhomogén, partikuláris megoldás

$y_{ip}(x)=A{e}^x+B{e}^{3x}$

Vegyük észre, hogy a homogén, általános megoldás és az inhomogén, partikuláris megoldás feltételezett alakjának első tagjai rezonálnak egymással! Mi történik, ha nem foglalkozunk a rezonanciával?

$y_{ip}(x)=A{e}^x+B{e}^{3x}$ ${y_{i^{\prime }p}}^{\prime }(x)=A{e}^x+3B{e}^{3x}$ ${y_{i^{″}p}}^{″}(x)=A{e}^x+9B{e}^{3x}$

Behelyettesítve:

$A{e}^x+9B{e}^{3x}-3A{e}^x-9B{e}^{3x}+2A{e}^x+29B{e}^{3x}=e^x+2e^{3x}$

Láthatjuk, hogy a bal oldalon az utolsó tag kivételével mindegyik kiesik, így nincs megoldás. Az inhomogén, partikuláris megoldás meghatározása helyesen:

$y_{ip}(x)=Ax{e}^x+B{e}^{3x}$ ${y_{i^{\prime }p}}^{\prime }(x)=A(x{e}^x+e^x)+3B{e}^{3x}$ ${y_{i^{″}p}}^{″}(x)=2A{e}^x+Ax{e}^x+9B{e}^{3x}$

A visszahelyettesítést követően $A=-1;B=1$. Az inhomogén, partikuláris megoldás tehát:

$y_{ip}(x)=-x{e}^x+e^{3x}$

Tehát, az inhomogén általános megoldás:

$y_{ia}(x)=c_1{e}^x+c_2{e}^{2x}-x{e}^x+e^{3x}$