Matematika A3 - Magasabbrendű differenciálegyenletek
Tartalomjegyzék
Lineáris, homogén, állandó együtthatós n-edrendű differenciálegyenletek
Definíció
A [math] \sum_{i=0}^{n} a_i y^{(i)}(x) = a_n y^{(n)}(x) + a_{n-1} y^{(n-1)}(x) + ... + a_1 y'(x) + a_0 y(x) = 0 [/math] alakú egyenletek, ahol [math] a_i [/math]-k konstansok, lineáris, homogén, állandó együtthatós differenciálegyenletek.
A megoldás általános alakja
Írjuk fel a karakterisztikus polinomot, ami a következőképpen néz ki:
[math] \sum_{i=0}^{n} a_i \lambda^i = a_n \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + ... + a_1 \lambda + a_0 = 0 [/math]
Ekkor a homogén, általános megoldásra a következő állítások igazak:
- Ha [math] \lambda_i [/math] gyöke a karakterisztikus egyenletnek, akkor [math] e^{\lambda_i x} [/math] gyöke a differenciálegyenletnek.
- Ha az [math] { e^{\lambda_1 x}; e^{\lambda_2 x}; ...; e^{\lambda_n x} } [/math] megoldások, akkor ezek a pontok, mint vektorok, kifeszítik a differenciálegyenlet magterét.
- A homogén, általános megoldás előáll a következő alakban:
- Ha a karakterisztikus egyenletnek _n_ darab, különböző [math] \lambda_i [/math] megoldása van, akkor [math] y_{ha}(x) = \sum_{i=1}^n c_i e^{\lambda_i x} = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x} + ... + c_n e^{\lambda_n x} [/math]
- Ha a karakterisztikus egyenletnek [math] \lambda_i [/math] m-szeres multiplicitású gyöke, akkor a homogén, általános megoldás kifejezésében mindenképpen szerepelnek a következő tagok: [math] e^{\lambda_i x}; x e^{\lambda_i x}; x^2 e^{\lambda_i x}; ...; x^{m-1} e^{\lambda_n x} [/math]
- Ha a karakterisztikus egyenletnek [math] \lambda_i = a+jb [/math] komplex gyöke, akkor a homogén, általános megoldás kifejezésében mindenképpen szerepel az [math] e^{ax}(c_1 \cos(bx) + c_2 \sin(bx)) [/math] tag, valamint szerepelnie kell továbbá a gyökök között [math] \lambda_i [/math] komplex konjugáltjának is.
Lineáris, inhomogén, állandó együtthatós n-edrendű differenciálegyenletek
Definíció
A [math] \sum_{i=0}^{n} a_i y^{(i)}(x) = a_n y^{(n)}(x) + a_{n-1} y^{(n-1)}(x) + ... + a_0 y(x) = f(x) [/math] alakú egyenletek, ahol [math] a_i [/math]-k konstansok, lineáris, inhomogén, állandó együtthatós differenciálegyenletek.
A megoldás általános alakja
Az inhomogén differenciálegyenlet inhomogén, általános megoldása a homogén, általános megoldás és az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának összege, vagyis:
[math] y_{ia}(x) = y_{ha}(x) + y_{ip}(x) [/math]
Az [math] y_{ha} [/math] megtalálása [math] f(x) = 0 [/math] helyettesítéssel, majd a keletkező homogén egyenlet megoldásával történik. Az [math] y_{ip} [/math] pedig az [math] f(x) [/math] (_"zavarófüggvény"_) alakjában keresendő. Ebben a következő táblázat segít ([math] K [/math] -k és [math] C [/math] -k konstansok):
| [math] f(x) [/math] | [math] y_{ip} [/math] |
| [math] Ke^{\alpha x} [/math] | [math] Ce^{\alpha x} [/math] |
| [math] Kx^n [/math] | [math] \sum_{i=0}^n C_i x^i [/math] |
| [math] K_1 \cos(ax) [/math] vagy [math] K_2 \sin(bx) [/math] | [math] C_1 \cos(ax) + C_2 \sin(bx) [/math] |
| [math] x^n e^{\alpha x} [/math] | [math] e^{\alpha x} \sum_{i=0}^n C_i x^i [/math] |
A táblázat alapján meghatározott [math] y_{ip} [/math] -t helyettesítsük be az eredeti egyenletbe (értelem szerűen az _y_ helyébe), így nyerünk egy olyan egyenletet, amelyből a _C_ konstansok meghatározhatók. A következő példából világosabb lesz, hogy miről is van szó:
Példa
[math] y'' + 5y' + 4y = 3 - 2x - x^2 [/math]
A homogén, általános megoldás
Karakterisztikus egyenlet: [math] \lambda^2 + 5\lambda + 4 = 0 [/math] [math] \Downarrow [/math] [math] \lambda_1 = -4 [/math] [math] \lambda_2 = -1 [/math] [math] \Downarrow [/math] [math] y_{ha}(x) = c_1 e^{-4x} + c_2 e^{-x} [/math]
Az inhomogén, partikuláris megoldás
[math] y_{ip}(x) = Ax^2 + Bx + C [/math] [math] y_{ip}'(x) = 2Ax + B [/math] [math] y_{ip}''(x) = 2A [/math]
Behelyettesítve:
[math] 2A + 5(2A+B) + 4(Ax^2+Bx+C) = 3-2x-x^2 [/math]
Rendezgetés után,
- [math] x^2 [/math] együtthatói: [math] 4A = -1 \Rightarrow A = -\frac{1}{4} [/math]
- [math] x [/math] együtthatói: [math] 10A +4B = -2 \Rightarrow B = \frac{1}{8} [/math]
- Konstans tag: [math] 2A + 5B + 4C = 3 \Rightarrow C = \frac{23}{32} [/math]
Tehát [math] y_{ip}(x) = -\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{8}x + \frac{23}{32} [/math]
Tehát, az inhomogén általános megoldás:
[math] y_{ia}(x) = c_1 e^{-4x} + c_2 e^{-x} -\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{8}x + \frac{23}{32} [/math]
Példa
[math] y'' - 6y' + 13y = x + \sin(3x) [/math]
A homogén, általános megoldás
Karakterisztikus egyenlet: [math] \lambda^2 - 6\lambda + 13 = 0 [/math] [math] \Downarrow [/math] [math] \lambda_1 = 3+j2 [/math] [math] \lambda_2 = 3-j2 [/math] [math] \Downarrow [/math] [math] y_{ha}(x) = e^{3x}(c_1 \cos(2x) + c_2\sin(2x)) [/math]
Az inhomogén, partikuláris megoldás
[math] y_{ip}(x) = Ax + B + C\sin(3x) + D\cos(3x) [/math] [math] y_{ip}'(x) = A + 3C\cos(3x) - 3D\sin(3x) [/math] [math] y_{ip}''(x) = -9C\sin(3x) - 9D\cos(3x) [/math]
A visszahelyettesítést követően [math] A=\frac{1}{13}; B=\frac{6}{169}; C=\frac{1}{85}; D=\frac{9}{170} [/math]. Az inhomogén, partikuláris megoldás tehát:
[math] y_{ip}(x) = \frac{x}{13} + \frac{6}{169} + \frac{\sin(3x)}{85} + \frac{9\cos(3x)}{170} [/math]
Tehát, az inhomogén általános megoldás:
[math] y_{ia}(x) = e^{3x}(c_1 \cos(2x) + c_2\sin(2x)) + \frac{x}{13} + \frac{6}{169} + \frac{\sin(3x)}{85} + \frac{9\cos(3x)}{170} [/math]
Rezonancia
Definíció
Ha a homogén, általános megoldás egyik tagja megegyezik az inhomogén, partikuláris megoldás feltételezett alakjának egy tagjával.
A megoldás általános alakja
A próbafüggvény megfelelő tagját meg kell szorozni x-szel.
Példa
[math] y'' + 3y' + 2y = e^x + 2e^{3x} [/math]
A homogén, általános megoldás
Karakterisztikus egyenlet: [math] \lambda^2 + 3\lambda + 2 = 0 [/math] [math] \Downarrow [/math] [math] \lambda_1 = 1 [/math] [math] \lambda_2 = 2 [/math] [math] \Downarrow [/math] [math] y_{ha}(x) = c_1 e^x + c_2 e^{2x} [/math]
Az inhomogén, partikuláris megoldás
[math] y_{ip}(x) = Ae^x + Be^{3x} [/math]
Vegyük észre, hogy a homogén, általános megoldás és az inhomogén, partikuláris megoldás feltételezett alakjának első tagjai rezonálnak egymással! Mi történik, ha nem foglalkozunk a rezonanciával?
[math] y_{ip}(x) = Ae^x + Be^{3x} [/math] [math] y_{ip}'(x) = Ae^x + 3Be^{3x} [/math] [math] y_{ip}''(x) = Ae^x + 9Be^{3x} [/math]
Behelyettesítve:
[math] Ae^x + 9Be^{3x} - 3Ae^x - 9Be^{3x} + 2Ae^x + 29Be^{3x} = e^x + 2e^{3x} [/math]
Láthatjuk, hogy a bal oldalon az utolsó tag kivételével mindegyik kiesik, így nincs megoldás. Az inhomogén, partikuláris megoldás meghatározása helyesen:
[math] y_{ip}(x) = Axe^x + Be^{3x} [/math] [math] y_{ip}'(x) = A(xe^x + e^x) + 3Be^{3x} [/math] [math] y_{ip}''(x) = 2Ae^x + Axe^x + 9Be^{3x} [/math]
A visszahelyettesítést követően [math] A=-1; B=1 [/math]. Az inhomogén, partikuláris megoldás tehát:
[math] y_{ip}(x) = -xe^x + e^{3x} [/math]
Tehát, az inhomogén általános megoldás:
[math] y_{ia}(x) = c_1 e^x + c_2 e^{2x} -xe^x + e^{3x} [/math]
