Antennák és hullámterjedés - 02. előadás - 2006

← Vissza az előző oldalra – Antennák és hullámterjedés

Hullámterjedés

Az egyszerűség kedvéért az időfüggést nem írjuk ki, alapértelmezettnek vesszük, hogy az $e^{j\omega t}$ alakú.

Jelöljük az elektromos teret E(r) alakban, ahol ez a függvény egy vektorváltozós komplex-vektor értékű függvény. Argumentuma tehát egy helyvektor, melynek koordinátái valósak, de a függvény $E_x,E_y,E_z$ koordinátái már komplex mennyiségek. Az E(r) függvény komplex csúcsértéket reprezentál (ellentétben a háréval, ott általában komplex effektív értékekkel számoltunk).

Az E(r) függvényt az alábbi alakokban szokás megadni:

$\mathbf{E}(\mathbf{r})=E_{\vartheta }\cdot \overline{e_{\vartheta }}+E_{\phi }\cdot \overline{e_{\phi }}=E_0(\mathbf{r})\cdot \mathbf{p}(\mathbf{r}).$

Ahol

• $\overline{e_{\vartheta }}$ és $\overline{e_{\phi }}$ a polárkoordináta rendszer egységvektorai,
• $E_{\vartheta }$ és $E_{\phi }$ a komplex csúcsértékek,
• $E_0=\sqrt{E\cdot E^{*}}$ és $\mathbf{p}=p_{\vartheta }\cdot \overline{e_{\vartheta }}+p_{\phi }\cdot \overline{e_{\phi }}$ és $|\mathbf{p}|=1$, tehát egységvektor, a polarizáció vektora,
• $p_{\vartheta }=\frac{E_{\vartheta }}{E_0}$ és $p_{\phi }=\frac{E_{\phi }}{E_0}$, így $|\mathbf{p}{|}^2=\mathbf{p}\cdot {\mathbf{p}}^{*}=1$,
• $\mathbf{p}=p_n\cdot \overline{e_n}+p_x\cdot \overline{e_x}$, ahol $p_n$ a főpolarizációs, $p_x$ pedig a keresztpolarizációs komponens.

A sugárirányú komponenst azért nem írtuk fel, mert csak a távoli térbeli komponensek érdekelnek, ott pedig azok nincsenek (az elektromos tér orthogonális a mágneses térre, és ez a kettő orthogonális a terjedési irányra).

A parabolaantennáknál a polarizációs sík "megcsúszik", a primer antennában polarizációs veszteségként (a keresztpolarizáció miatt) jelentkezik.

Mi hozza létre az elektromágneses teret? A gyorsuló töltés! Például egy egyenletes sebességgel körpályán mozgó elektron is létrehoz EM-teret, mivel van sugárirányú gyorsulása. Emiatt a ciklotron (részecskegyorsító) használata korlátokba ütközik, mivel a részecskét szakaszonként gyorsítják, és amikor nagyon felgyorsítják, akkor ugyanannyi energiát sugároz ki, mint amit a gyorsítótól kap, tehát eredőben nem tudják növelni a sebességét. Ekkor használnak lineáris gyorsítókat, amihez viszont nagyon hosszú földterület kell (a Stanford egyetemnek van ilyenje).

Az antenna térerősségének *r* -től való függése:

$\frac{e^{-j\beta r}}{r}$

Az időbeli leírás pedig $e^{j\omega t}$-vel szorozva

$\frac{e^{-j\beta r}\cdot e^{j\omega t}}{r}=\frac{e^{j(\omega t-\beta r)}}{r}=\frac{e^{j\omega (t-\frac{\beta }{\omega }r)}}{r}$

Mi ennek a jelentése? Bármilyen $f(t\mp r/v)$ alakú függvény egy _v_ sebességgel haladó hullámot ír le $-r/v$ esetén pozitív irányba, $+r/v$ esetén pedig negatív irányba a választott koordináta-rendszerhez viszonyítva. Tehát %REFLATEX{eqn:antenna_tererossege_idovel}% egy pozitív irányba haladó hullámot ír le, vegyük észre, hogy $v=\frac{\omega }{\beta }$. Egy antennánál az a természetes, hogy kifele sugároz, de nagyon nehézkesen és trükkösen meg lehet oldani, hogy befele sugározzon.

A haladó hullámot leírhatjuk szeparált alakban: $$\begin{gathered} \mathbf{E}(\mathbf{r},\vartheta ,\phi )=\frac{e^{-j\beta r}}{r}\cdot U_0(\vartheta ,\phi )\cdot \mathbf{p}(\vartheta ,\phi ) \\ \left[\frac{1}{m}\right]\cdot [V]=\left[\frac{V}{m}\right], \end{gathered}$$ ahol $\beta =\frac{\omega }{c}=\frac{2\pi }{\lambda }=k$, _k_ -t szabadtéri fázistényezőnek hívják.

%REFLATEX{eqn:halado_hullam}% alapján felírhatjuk a kisugárzott teljesítmény sűrűséget is $S=\frac{1}{2}\mathbf{E}\times {\mathbf{H}}^{*}=\frac{|U_0(\vartheta ,\phi ){|}^2}{240\pi R^2}\left[\frac{W}{m^2}\right]$

Az egyfrekvenciás sugárzást az optikából átvéve monokromatikus sugárzásnak nevezzük.

Iránykarakterisztikák

Az iránykarakterisztikákat a normált kisugárzott teljesítmények alapján adják meg. A normálást egyszerűen úgy lehet megcsinálni, hogy a kisugárzott teljesíténysűrűséget elosztjuk a maximális kisugárzott teljesítménysűrűséggel:

$S_{max}(r)=\frac{|U_0(\vartheta ,\phi ){|}^2{|}_{max}}{240\pi R^2},$ valamint $P(\vartheta ,\phi )=\frac{S(r,\vartheta ,\phi )}{S_{max}(r)}.$ Sokszor nem a fenti képletet használják, hanem egy térerősség-intenzitás (amplitudó) iránykarakterisztikát definálnak, $F(\vartheta ,\phi )=\sqrt{P(\vartheta ,\phi )}.$

Ezalapján felírhatjuk, hogy $$\begin{gathered} \mathbf{E}(\mathbf{r},\vartheta ,\phi )=U_{max}\cdot \frac{e^{-j\beta r}}{r}\cdot F(\vartheta ,\phi )\cdot \mathbf{p}(\vartheta ,\phi ) \\ \left[\frac{1}{m}\right]\cdot [V]=\left[\frac{V}{m}\right],U_{max}^2=S_{max}\cdot 240\pi r^2 \end{gathered}$$

Karakterisztikák ábrázolása

Ide ábrákat kéne tenni, de nincs szkennerem. Az előadáson volt 4 különböző felírási mód:

• síkra terített -180° és 180° között
• térbeli projekciós síkra vetítve
• térbeli projekciós két metszete - az E és H terekkel
• $F(\vartheta )$ ábrázolása, ezen definiálják a nyalábszélességet, az *x* tengely mentén $\vartheta$ általában lineáris, az *y* tengely mentén viszont F-et néha logaritmikus skálán (dB) ábrázolják, ekkor a sugárzás 0 helyének ábrázolása problémás

nyalábszélesség: az a $\vartheta$ szögtartomány, amelyen belül F egy adott dB érték fölött van - ez általában 3dB, néha 10dB.

tűnyaláb: olyan karakterisztikájú antenna sugároz tűnyalábban, amelynek nyalábszélessége nagyon keskeny (erősen irányított antenna)

izotróp antenna: matematikai modell, fizikailag kivitelezhetetlen (elviekben is!), mivel gyorsuló töltést kell létrehozni, de oszcilláltatni nem tudunk, kell forrás és nyelő (dipól). Az izotróp antenna lehetőségét a folytonossági egyenlet is elveti. Elvi dipólantenna a Herz-dipól, ez hengerdipól, tehát körsugárzó ($F(\vartheta )=\sin (\vartheta )$). Ilyesmi karakterisztikájuk van az egyenes antennáknak is, ezeket műsorszórásra használják.

Még egy fajta antennatípus a koszekáns vagy hódfarok antenna, amelyet radarlokációs célokkal használnak (lapos, széles, jó a letapogatáshoz).

Ismétlés (órán kívül)

Az alábbi rész nem volt órán, csak utalások voltak. Konkrétan a közeli és távoli térről lesz szó.

Az tér meghatározása a gerjesztésekből inhomogén hullámegyenletből származtathatók: $\mathrm{\Delta }\mathbf{A}-\epsilon \mu \frac{{\partial }^2\mathbf{A}}{\partial t^2}=-\mu \mathbf{J}$ a vektorpotenciálra. A skalárpotenciálra vonatkozó differenciálegyenlet pedig $\mathrm{\Delta }\phi -\epsilon \mu \frac{{\partial }^2\phi }{\partial t^2}=-\frac{1}{\epsilon }\rho ,$ feltételezve végig, hogy $\mu ,\rho ,\epsilon$ állandók (legalább térrészenként). Ha az időbeli változás kicsi, akkor az idő szerinti második deriváltakat elhanyagolhatjuk, és visszakapjuk a vektoriális és skaláris Poisson-egyenleteket: $\mathrm{\Delta }\mathbf{A}=-\mu \mathbf{J}$ $\mathrm{\Delta }\phi =-\frac{\rho }{\epsilon },$

Retardált potenciálok

Igazából a végeredménynek van szemléletes jelentése, ezek pedig

$\phi (\mathbf{r},t)=\frac{1}{4\pi \epsilon }\underset{V}{\int }\frac{1}{R}\cdot \rho ({\mathbf{r}}^{\prime },t-\frac{R}{v})d{V}^{\prime }\mathbf{A}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{4\pi }\underset{V}{\int }\frac{1}{R}\cdot \mathbf{J}({\mathbf{r}}^{\prime },t-\frac{R}{v})d{V}^{\prime },$ ahol $R=|r^{\prime }-r|$ és $v=\frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu }}=\frac{c}{\sqrt{{\epsilon }_r{\mu }_r}}$. Tanulságként levonhatjuk, hogy az áram _t_ időpillanatbeli értékéből csak a vezető kis környezetében kapunk helyes potenciál értékeket, egyébként a potenciálok _t_ pillanatbeli értékét a vezetőn folyt áram t-R/v időpillanatbeli, tehát R/v -vel korábbi értéke határozza meg.

Általánosított Biot-Savart törvény

A retardált potenciálokból azt várnánk, hogy a *H* mágneses tér hasonló formájú lesz (legalábbis egyenletekben kifejezve), mint az *A* vektorpotenciál, de ekkor tévednénk. A helyzet tehát a következő: keressük az áramjárta vezetőtől R távolságra lévő pont mágneses terét. A levezetés eredményei: $H(\mathbf{r},t)=\frac{1}{4\pi }\underset{l}{\int }\frac{\mathrm{d}{\mathbf{l}}^{\prime }\times {\mathbf{R}}^0}{R^2}\cdot I({\mathbf{r}}^{\prime },t-\frac{R}{v})+\frac{1}{4\pi v}\underset{l}{\int }\frac{\mathrm{d}{\mathbf{l}}^{\prime }\times {\mathbf{R}}^0}{R^2}\cdot \frac{\partial I({\mathbf{r}}^{\prime },t-\frac{R}{v})}{\partial t},$ ahol ${\mathbf{R}}^0=\frac{{\mathbf{r}}^{\prime }\mathbf{-}\mathbf{r}}{|{\mathbf{r}}^{\prime }\mathbf{-}\mathbf{r}|}$. A kifejezés első tagja a várt eredményt hozza, viszont a második tagja új! Az első tag az árammal arányos, viszont $1/R^2$-tel csökken (közeli tér), a második tag viszont $1/R$-rel (távoli tér), tehát kevésbé meredeken csökken, viszont az áram idő szerinti deriváltjától, tehát a töltések második deriváltjával (gyorsulásával) arányos.

Hertz-dipólus

A Biot-Savart törvényből megkapjuk, hogy a rövid, l hosszúságú antenna mágneses tere

$H(r,t)=\mathrm{R}\mathrm{e}\{\frac{1}{4\pi }{I}_m{e}^{j(\omega t-R/v)}\frac{l\times R^0}{R^2}+\frac{1}{4\pi v}{I}_{m}j\omega e^{j(\omega t-R/v)}\frac{l\times R^0}{R^2}\},$ vagyis a mágneses térerősségnek csak $\phi$ irányú rendezője van $l\times R^0=l\sin (\vartheta )$ miatt. Mivel forgásszimmetrikus lesz a tér, a $\phi$ irányú rendező viszont független lesz $\phi$ -től.

$H_R(R,\vartheta )=0$

$H_{\vartheta }(R,\vartheta )=0$

$H_{\phi }(R,\vartheta )=\frac{l}{4\pi }{I}_m[\frac{1}{R^2}+\frac{j\omega }{vR}]\sin (\vartheta )e^{-j\omega R/v},$ valamint $\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}H=j\omega \epsilon E$ -ből számítva

$E_R(R,\vartheta )=\frac{l}{4\pi \epsilon }{I}_m[\frac{2}{j\omega R^3}+\frac{2}{v{R}^2}]\cos (\vartheta )e^{-j\omega R/v}$

$E_{\vartheta }(R,\vartheta )=\frac{l}{4\pi \epsilon }{I}_m[\frac{1}{j{R}^3}+\frac{1}{v{R}^2}+\frac{j\omega }{v^{2}R}]\sin (\vartheta )e^{-j\omega R/v}$

$E_{\phi }(R,\vartheta )=0,$

%REFLATEX{eqn:Hertz_dipol_H}% és %REFLATEX{eqn:Hertz_dipol_E}% egyenletekből látható, hogy az elektromos és a mágneses tér egymásra merőleges. A $H_{\phi }$ és $E_{\vartheta }$ komponensek tartalmaznak távoli összetevőt ($1/R$ szerint gyengül), mindegyik összetevő tartalmaz közeli összetevőt ($1/R^2$ szerint gyengül), $E_R$ és $E_{\vartheta }$ tartalmaz még közelebbi ($1/R^3$ szerint gyengülő) össztevőt is.

A sugárzott teljesítménnyel kapcsolatban az $S=1/2E\times H^{*}$ komplex Poynting vektorról a következők állapíthatók meg:

• távoli térre *E* és *H* fázisban vannak, szorzatuk valós, ez hatásos teljesítmény áramlását jelenti, $1/R^2$ szerint csökken
• a közeli összetevők közt 90°-os fáziseltérés van, szorzatuk tehát képzetes, ez meddő teljesítmény áramlását jelenti, $1/R^3$ szerint csökken
• a *H* távoli, és *E* nagyon közeli összetevők szintén fázisban vannak, szorzatuk megint csak valós, hatásos teljesítmény áramlik, de $1/R^4$ szerint csökken
• a *H* közeli, és *E* nagyon közeli összetevők 90°-os eltérésben vannak, szorzatuk képzetes, meddő teljesítmény áramlik, és $1/R^5$ szerint csökken

Csak a közeli tér Poynting vektorának van radiális összetevője.

Távoli tér

A távoli teret leíró egyenletek komplex amplitudója

$H_{\phi }(R,\vartheta )=\frac{l}{4\pi }{I}_m[\frac{1}{R^2}+\frac{j\omega }{vR}]\sin (\vartheta )e^{-j\omega R/v},$

$E_{\vartheta }(R,\vartheta )=\frac{l}{4\pi \epsilon }{I}_m[\frac{1}{j{R}^3}+\frac{1}{v{R}^2}+\frac{j\omega }{v^{2}R}]\sin (\vartheta )e^{-j\omega R/v}$

A fentiekből definiálhatunk egy hullámellenállást, mégpedig

$\frac{E_{\vartheta }(R,\vartheta )}{H_{\phi }(R,\vartheta )}=\sqrt{\frac{\mu }{\epsilon }}.$

Vákuumban vagy levegőben

$\sqrt{\frac{{\mu }_0}{{\epsilon }_0}}.\approx 377,0\mathrm{\Omega }\approx (120\pi )\mathrm{\Omega }.$ A távoli tér önmagában nem létezik, mivel önmagukban ellentmondanak a Maxwell-egyenleteknek, ezért erővonalképét nem szokás megadni, lokálisan síkhullámnak tekinthető. A távoli tér komplex Poynting vektora csak radiális összetevőt tartalmaz, mégpedig

$S_R(R,\vartheta )=\frac{1}{2}{E}_{\vartheta }(R,\vartheta )H_{\phi }^{*}(R,\vartheta )=\frac{1}{8}\sqrt{\frac{\mu }{\epsilon }}{\left(\frac{l}{\lambda }\right)}^2{I}_m^2\frac{{\sin }^2(\vartheta )}{R^2}$

A %REFLATEX{eqn:tavoli_ter_poynting_vektora}% kifejezés egy *A* zárt felületen vett felületi integrálja megadja a kisugárzott teljesítményt:

$$\begin{gathered} \underset{A}{\oint }S \\ dA=\frac{1}{2}\cdot \frac{2\pi }{3}\sqrt{\frac{\mu }{\epsilon }}{\left(\frac{l}{\lambda }\right)}^2\cdot I_m^2=\frac{1}{2}\cdot R_s\cdot I_m^2, \end{gathered}$$ bevezetve $R_s$ sugárzási ellenállást, mely a fenti definíció alapján

$R_s=\frac{2\pi }{3}\sqrt{\frac{\mu }{\epsilon }}{\left(\frac{l}{\lambda }\right)}^2.$ A Poynting-vektor kifejezéséből %REFLATEX{eqn:tavoli_ter_poynting_vektora}% alapján látható, hogy a teljesítmény döntő részét a ${\sin }^2(\vartheta )$ tag miatt döntő részben a tengelyre merőlegesen sugározza ($\vartheta \in [45^{\circ },135^{\circ }]$ esetén majdnem 90%).