Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.09

Feladatok:

2. Az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik nem?

(a) Ha $(a_n)$ konvergens $(a_n^n)$ is konvergens

(b) Ha $(a_n^n)$ konvergens $(a_n)$ is konvergens

(c) Ha $a_n\to 1$ akkor $a_n^n\to 1$

(d) Ha $a_n^n\to 1$ akkor $a_n\to 1$

3. Adott a következő függvény:

$f(x)=\frac{2\sqrt{x}+3\sqrt[3]{x}}{6\sqrt[3]{x}-8\sqrt{x}}$

$a.)\underset{x\to 0+}{\lim }f(x)=?$

$b.)\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=?$

6.

$a.)\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{3}x\mathrm{d}x=?$

$b.)\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}x\sin x\mathrm{d}x=?$

Megoldások:

1. Írja fel az $x+2y+3z=4$ és a $3x+4y+5z$ síkokkal párhuzamos, a $P=(1,2,3)$ ponton átmenő egyenes egyenletét!

Vegyük a két sík normálvektorát: ${\overrightarrow{n}}_1(1,2,3)$ és ${\overrightarrow{n}}_2(3,4,5)$. Az egyenes merőleges kell, hogy legyen mindkét normálvektorra, ezt vektoriális szorzással kapjuk meg:

$\left[\begin{array}{ccc}i& j& k\\ 1& 2& 3\\ 3& 4& 5\end{array}\right]=(10-12)i-(5-9)j+(4-6)k=(-2,4,-2)=\overrightarrow{v}(-1,2,-1)$

Az egyenes egyenlete: $P+t\cdot \overrightarrow{v}$, egyenletrendszerben:

$\begin{array}{rcl}x& =& 1-t\\ y& =& 2+2t\\ z& =& 3-t\end{array}⟺-(x-1)=\frac{y-2}{2}=-(z-3)$

2. Az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik nem?

(a) Ha $(a_n)$ konvergens $(a_n^n)$ is konvergens

(b) Ha $(a_n^n)$ konvergens $(a_n)$ is konvergens

(c) Ha $a_n\to 1$ akkor $a_n^n\to 1$

(d) Ha $a_n^n\to 1$ akkor $a_n\to 1$

Megoldás:

(a) Nem igaz, pl. ha $(a_n)\equiv 2$, akkor $(a_n^n)\to \mathrm{\infty }$, divergál a végtelenbe. ($a_n\to A$, $|A|<0\Rightarrow a_n^n\to B\in \mathbf{R}$, de egyes esetekben $|A|=1$-re is lehet.)

(b) Nem igaz, pl.: $\begin{array}{rcll}{a}_n& :=& 1,-1,1,-1,\dots & \to ̸\\ a_n^n& :=& 1,1,1,1,\dots & \to 1\end{array}$

(c) Nem igaz, pl.: $\begin{array}{ll}(1+\frac{1}{n})& \to 1\\ {(1+\frac{1}{n})}^n& \to e\end{array}$

(d) Nem igaz, lásb (b) feladat megoldása.

-- Gabesz - 2007.01.09.

-- Thanx to Tóth Gábor

-- Andris - 2007.01.10.