Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.09

Feladatok:

2. Az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik nem?

(a) Ha $(a_{n})$ konvergens $(a_{n}^{n})$ is konvergens

(b) Ha $(a_{n}^{n})$ konvergens $(a_{n})$ is konvergens

(c) Ha $a_{n}\to 1$ akkor $a_{n}^{n}\to 1$

(d) Ha $a_{n}^{n}\to 1$ akkor $a_{n}\to 1$

3. Adott a következő függvény:

$f(x)={\frac {2{\sqrt {x}}+3{\sqrt[{3}]{x}}}{6{\sqrt[{3}]{x}}-8{\sqrt {x}}}}$

$a.)\;\lim _{x\to {0+}}f(x)=?$

$b.)\;\lim _{x\to \infty }f(x)=?$

6.

${a.)}\;\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\!{x}\;\mathrm {d} x=?$

${b.)}\;\int _{0}^{\pi }{x}\sin \!{x}\;\mathrm {d} x=?$

Megoldások:

1. Írja fel az $x+2y+3z=4$ és a $3x+4y+5z$ síkokkal párhuzamos, a $P=(1,2,3)$ ponton átmenő egyenes egyenletét!

Vegyük a két sík normálvektorát: ${\vec {n}}_{1}(1,2,3)$ és ${\vec {n}}_{2}(3,4,5)$. Az egyenes merőleges kell, hogy legyen mindkét normálvektorra, ezt vektoriális szorzással kapjuk meg:

$\left[{\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&2&3\\3&4&5\end{array}}\right]=(10-12)i-(5-9)j+(4-6)k=(-2,4,-2)={\vec {v}}(-1,2,-1)$

Az egyenes egyenlete: $P+t\cdot {\vec {v}}$, egyenletrendszerben:

${\begin{array}{rcl}x&=&1-t\\y&=&2+2t\\z&=&3-t\end{array}}\iff -(x-1)={\frac {y-2}{2}}=-(z-3)$

2. Az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik nem?

(a) Ha $(a_{n})$ konvergens $(a_{n}^{n})$ is konvergens

(b) Ha $(a_{n}^{n})$ konvergens $(a_{n})$ is konvergens

(c) Ha $a_{n}\to 1$ akkor $a_{n}^{n}\to 1$

(d) Ha $a_{n}^{n}\to 1$ akkor $a_{n}\to 1$

Megoldás:

(a) Nem igaz, pl. ha $(a_{n})\equiv 2$, akkor $(a_{n}^{n})\to \infty$, divergál a végtelenbe. ($a_{n}\to A$, $|A|<0\Rightarrow a_{n}^{n}\to B\in \mathbf {R}$, de egyes esetekben $|A|=1$-re is lehet.)

(b) Nem igaz, pl.: ${\begin{array}{rcll}a_{n}&:=&1,-1,1,-1,\dots &\not \to \\a_{n}^{n}&:=&1,1,1,1,\dots &\to 1\end{array}}$

(c) Nem igaz, pl.: ${\begin{array}{ll}\left(1+\displaystyle {\frac {1}{n}}\right)&\to 1\\\left(1+\displaystyle {\frac {1}{n}}\right)^{n}&\to e\end{array}}$

(d) Nem igaz, lásb (b) feladat megoldása.

-- Gabesz - 2007.01.09.

-- Thanx to Tóth Gábor

-- Andris - 2007.01.10.