Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.02

Ez az oldal a korábbi SCH wikiről lett áthozva.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor, kérlek, javíts rajta egy rövid szerkesztéssel!

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót.

-- Pogo - 2007.01.04.

//Homokozóból átmentve

1. Mely z komplex számokra teljesül az alábbi feltétel?

$(z-{\overline {z}}={\sqrt {2}}*i)\;\;\&\;\;(z*{\overline {z}}=1)$

(i a képzetes egység)

2. Határozza meg a következő határértékeket!

$a.\;\;\lim _{n\to \infty }(1+{\frac {1}{3*n^{3}}})^{n^{3}}$

$b.\;\;\lim _{n\to \infty }({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{n}})^{n}$

$c.\;\;\lim _{n\to \infty }(1-{\frac {1}{n}})^{n^{3}}$

3. Válaszolja meg a kérdést!

$\lim _{x\to {0+}}({\frac {2x^{2}*\ln {x}+4x^{4}*\ln ^{2}{x}}{4x^{4}*\ln ^{2}{x}+6x^{2}*\ln {x}}})=\;?$

4. Hol és milyen szakadása van a függvénynek?

$f(x)={\frac {e^{1/x}}{1+e^{1/x}}}$

5. Válaszolja meg a kérdést!

Legyen f mindenütt deriválható függvény!

$f(x)={\frac {\sin x}{x}}\;\;,ha\;\;x\neq 0$

$f(0)=\;?,\;f'(0)=\;?$

6. Konvergensek-e a következő improprius integrálok?

$\displaystyle {a.\;\;\int _{2}^{\infty }{\frac {1}{\ln x}}dx}$

$\displaystyle {b.\;\;\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{1-\cos {(x/2)}}}dx}$

-- Hanci - 2007.01.04.

Megoldások

1. Mely z komplex számokra teljesül az alábbi feltétel?

$(z-{\overline {z}}={\sqrt {2}}*i)\;\;\&\;\;(z*{\overline {z}}=1)$

(i a képzetes egység)

megoldás -- Hanci - 2007.01.04.

$z_{1}={\underline {\underline {{\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i}}}\;\;\&\;\;z_{2}={\underline {\underline {-{\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i}}}$

A megoldás menete: z-t algebrai alakban felírva: z = a+b*i

$z-{\overline {z}}={\sqrt {2}}*i\Rightarrow (a+b*i)-(a-b*i)={\sqrt {2}}*i\Rightarrow 2b*i={\sqrt {2}}*i\Rightarrow b={\underline {\underline {\frac {\sqrt {2}}{2}}}}$

$z*{\overline {z}}=1\Rightarrow (a+b*i)*(a-b*i)=1\Rightarrow a^{2}-ab*i+ab*i-b^{2}*i^{2}=1\;\;\&\;\;i^{2}=-1\Rightarrow a^{2}+b^{2}=1$

$a^{2}+b^{2}=1\;\;\&\;\;b^{2}={\frac {1}{2}}\Rightarrow a^{2}+{\frac {1}{2}}=1\Rightarrow a^{2}={\frac {1}{2}}\Rightarrow a_{1}={\underline {\underline {\frac {\sqrt {2}}{2}}}}\;\;\&\;\;a_{2}={\underline {\underline {-{\frac {\sqrt {2}}{2}}}}}$

$z_{1}=a_{1}+b*i\;\;\&\;\;z_{2}=a_{2}+b*i\Rightarrow z_{1}={\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\;\;\&\;\;z_{2}=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i$

2. Határozza meg a következő határértékeket!

a feladat

$a.\;\;\lim _{n\to \infty }(1+{\frac {1}{3*n^{3}}})^{n^{3}}$

megoldás -- Hanci - 2007.01.04.

$\lim _{n\to \infty }(1+{\frac {1}{3*n^{3}}})^{n^{3}}={\underline {\underline {e^{1/3}}}}={\underline {\underline {\sqrt[{3}]{e}}}}$

A megoldás menete: nevezetes határértékre való visszavezetés

$\lim _{n\to \infty }(1+{\frac {a}{n}})^{n}=e^{a}\;\;a\in \mathbb {R} ,a=konstans$

legyen m=n^3, n->végtelen, akkor n^3=m->végtelen

$\lim _{m\to \infty }(1+{\frac {1/3}{m}})^{m}={\underline {\underline {e^{1/3}}}}={\underline {\underline {\sqrt[{3}]{e}}}}$

b feladat

$b.\;\;\lim _{n\to \infty }({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{n}})^{n}$

megoldás -- Hanci - 2007.01.04.

$\lim _{n\to \infty }({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{n}})^{n}={\underline {\underline {0}}}$

A megoldás menete: a^n alakra visszavezetés

$\lim _{n\to \infty }a^{n}=0\;\;,ha\;\;|a|<1\;\;a\in \mathbb {R} ,a=konstans$

A hatványalap határértéke:

$\lim _{n\to \infty }({{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{n}}})={\frac {1}{3}}<1$

A hatványalap tart az 1/3-hoz , n->végtelen, (1/3)^n -> *0*

megoldás -- Pogo - 2007.01.04.

$\lim _{n\to \infty }({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{n}})^{n}=\lim _{n\to \infty }(1*{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{3}}*{\frac {3}{n}})^{n}$ Kiemelve: $\lim _{n\to \infty }({\frac {1}{3}})^{n}*(1+{\frac {-3}{n}})^{n}=0$ Mivel: $\lim _{n\to \infty }({\frac {1}{3}})^{n}=0$ és $\lim _{n\to \infty }(1+{\frac {-3}{n}})^{n}=e^{-3}={\frac {1}{e^{3}}}=0$

c feladat

$c.\;\;\lim _{n\to \infty }(1-{\frac {1}{n}})^{n^{3}}$

megoldás -- Hanci - 2007.01.04.

$\lim _{n\to \infty }(1-{\frac {1}{n}})^{n^{3}}={\underline {\underline {0}}}$

A megoldás menete: nevezetes határértékre való visszavezetés

$\lim _{n\to \infty }(1-{\frac {1}{n}})^{n}={\frac {1}{e}}$

A feladatban szereplő kifejezés felírható a köv. alakban:

$\lim _{n\to \infty }(1-{\frac {1}{n}})^{n^{3}}=\lim _{n\to \infty }((1-{\frac {1}{n}})^{n})^{n^{2}}$

Mivel 1/e < 1

$\lim _{n\to \infty }({\frac {1}{e}})^{n^{2}}={\underline {\underline {0}}}$

3. Válaszolja meg a kérdést!

$\lim _{x\to {0+}}({\frac {2x^{2}*\ln {x}+4x^{4}*\ln ^{2}{x}}{4x^{4}*\ln ^{2}{x}+6x^{2}*\ln {x}}})=\;?$

megoldás -- Hanci - 2007.01.05.

$\lim _{x\to {0+}}({\frac {2x^{2}*\ln {x}+4x^{4}*\ln ^{2}{x}}{4x^{4}*\ln ^{2}{x}+6x^{2}*\ln {x}}})={\underline {\underline {\frac {1}{3}}}}$

A megoldás menete:

A 2 nem 0, valós, konstans szám -> egyszerűsíthetünk vele.

$\lim _{x\to {0+}}{\frac {2x^{2}*\ln {x}+4x^{4}*\ln ^{2}{x}}{4x^{4}*\ln ^{2}{x}+6x^{2}*\ln {x}}}=\lim _{x\to {0+}}{\frac {2x^{4}*\ln ^{2}{x}+x^{2}*\ln {x}}{2x^{4}*\ln ^{2}{x}+3x^{2}*\ln {x}}}$

Az x^2 nem 0, valós (x tart a 0-hoz, de nem egyenlő vele) -> ezzel is egyszerűsíthetünk.

$\lim _{x\to {0+}}{\frac {2x^{4}*\ln ^{2}{x}+x^{2}*\ln {x}}{2x^{4}*\ln ^{2}{x}+3x^{2}*\ln {x}}}=\lim _{x\to {0+}}{\frac {2x^{2}*\ln ^{2}{x}+\ln {x}}{2x^{2}*\ln ^{2}{x}+3*\ln {x}}}$

Az ln(x) nem 0, valós ( ln(x) tart a -végtelenhez, de nem egyenlő vele) -> ezzel is egyszerűsíthetünk.

$\lim _{x\to {0+}}{\frac {2x^{2}*\ln ^{2}{x}+\ln {x}}{2x^{2}*\ln ^{2}{x}+3*\ln {x}}}=\lim _{x\to {0+}}{\frac {2x^{2}*\ln {x}+1}{2x^{2}*\ln {x}+3}}$

Ezután vizsgáljuk meg, hova tart 2x^2 * ln(x), ha x -> 0+

Mivel "0" * "-végtelen" alakú a kifejezés, átalakítható "végtelen"/"végtelen" alakúra, ami után már gond nélkül alkalmazhatjuk a L'Hospital szabályt.

$\lim _{x\to {0+}}{2x^{2}*\ln {x}}=\lim _{x\to {0+}}{-2*{\frac {-\ln {x}}{1/(x^{2})}}}=\lim _{x\to {0+}}{-2*{\frac {-1/x}{-2/x^{3}}}}=\lim _{x\to {0+}}{-(x^{2})}=0$

Miután beláttuk, hogy a részkifejezés 0-hoz tart, megvizsgáljuk az egészet.

$\lim _{x\to {0+}}{\frac {2x^{2}*\ln {x}+1}{2x^{2}*\ln {x}+3}}=\lim _{x\to {0+}}{\frac {0+1}{0+3}}={\underline {\underline {\frac {1}{3}}}}$

4. Hol és milyen szakadása van a függvénynek?

$f(x)={\frac {e^{1/x}}{1+e^{1/x}}}$

megoldás -- Pogo - 2007.01.05.

Megoldás menete:jobb bal oldali hat érték. A nevező nem lehet=0 mert ${1+{e^{1/x}}}\neq 0$ mivel ${e^{1/x}}\neq -1$

Tehát csak x=0 ban van szakadás.

$\lim _{x\to {0+}}{\frac {e^{1/x}}{1+e^{1/x}}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {e^{y}}{1+e^{y}}}=\lim _{z\to \infty }{\frac {z}{z+1}}\approx {\frac {\infty }{\infty }}L'H{\frac {1}{1}}=1$

$\lim _{x\to {0-}}{\frac {e^{1/x}}{1+e^{1/x}}}=\lim _{y\to {-\infty }}{\frac {e^{y}}{1+e^{y}}}=\lim _{z\to {0}}{\frac {z}{z+1}}={\frac {0}{1}}=0$

Tehát a Jo. és bo. hat érték nem ua. -> x=0-ban ugrása van.