Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.02
1. Feladat
Mely z komplex számokra teljesül az alábbi feltétel?
[math] (z-\overline{z} = \sqrt{2} \cdot i) \;\;\&\;\; (z \cdot \overline{z} = 1) [/math]
[math] z_1 = \underline{\underline{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i}} \;\;\&\;\; z_2 = \underline{\underline{-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i}} [/math]
A megoldás menete: z-t algebrai alakban felírva: z = a+b*i
[math] z-\overline{z} = \sqrt{2} \cdot i \Rightarrow (a+b \cdot i)-(a-b \cdot i) = \sqrt{2} \cdot i \Rightarrow 2b \cdot i = \sqrt{2} \cdot i \Rightarrow b = \underline{\underline{\frac{\sqrt{2}}{2}}} [/math]
[math] z \cdot \overline{z} = 1 \Rightarrow (a+b \cdot i) \cdot (a-b \cdot i) = 1 \Rightarrow a^2-ab \cdot i+ab \cdot i-b^2 \cdot i^2 = 1 \;\;\&\;\; i^2 = -1 \Rightarrow a^2+b^2 = 1 [/math]
[math] a^2+b^2 = 1 \;\;\&\;\; b^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow a^2+\frac{1}{2} = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow a_1 = \underline{\underline{\frac{\sqrt{2}}{2}}} \;\;\&\;\; a_2 = \underline{\underline{-\frac{\sqrt{2}}{2}}}[/math]
2. Feladat
Határozza meg a következő határértékeket!
[math] a,\;\; \lim_{n\to\infty} \left(1+{\frac{1}{3n^3}} \right)^{n^3} [/math]
[math] b,\;\; \lim_{n\to\infty} \left({\frac{1}{3}}-{\frac{1}{n}} \right)^n [/math]
[math] c,\;\; \lim_{n\to\infty} \left(1-{\frac{1}{n}} \right)^{n^3} [/math]
a, Feladat:
[math] \lim_{n\to\infty}\left(1+{\frac{1}{3n^3}}\right)^{n^3} = \underline{\underline{e^{1/3}}} = \underline{\underline{\sqrt[3]{e}}} [/math]
A megoldás menete: nevezetes határértékre való visszavezetés
[math] \lim_{n\to\infty}\left(1+{\frac{a}{n}}\right)^n = e^a \;\; a\in\mathbb{R} ,a=konstans [/math]
legyen m=n^3, n->végtelen, akkor n^3=m->végtelen
[math] \lim_{m\to\infty}\left(1+{\frac{1/3}{m}}\right)^m = \underline{\underline{e^{1/3}}} = \underline{\underline{\sqrt[3]{e}}} [/math]
b, Feladat:
[math] \lim_{n\to\infty} \left( \frac{1}{3}-\frac{1}{n} \right)^n = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{1}{3}-\frac{1}{3}*\frac{3}{n} \right)^n [/math]
Kiemelve:
[math] \lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{3} \right)^n* \left(1+\frac{-3}{n} \right)^n =0 [/math]
Mivel:
[math] \lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{3} \right)^n = 0 [/math]
[math] \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{-3}{n} \right)^n=e^{-3}=\frac{1}{e^3}=0 [/math]
c, Feladat:
[math] \lim_{n\to\infty}\left(1-{\frac{1}{n}}\right)^{n^3} = \underline{\underline{0}} [/math]
A megoldás menete: nevezetes határértékre való visszavezetés
[math] \lim_{n\to\infty}\left(1-{\frac{1}{n}}\right)^n = \frac{1}{e} [/math]
A feladatban szereplő kifejezés felírható a köv. alakban:
[math] \lim_{n\to\infty}\left(1-{\frac{1}{n}}\right)^{n^3} = \lim_{n\to\infty}\left(\left(1-{\frac{1}{n}}\right)^n\right)^{n^2} [/math]
Mivel 1/e < 1
[math] \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{e}\right)^{n^2} = \underline{\underline{0}} [/math]3. Feladat
[math] \lim_{x\to{0+}}\left({\frac{2x^2*\ln{x}+4x^4*\ln^2{x}}{4x^4*\ln^2{x}+6x^2*\ln{x}}}\right) = \;? [/math]
[math] \lim_{x\to{0+}}\left({\frac{2x^2*\ln{x}+4x^4*\ln^2{x}}{4x^4*\ln^2{x}+6x^2*\ln{x}}}\right) = \underline{\underline{\frac{1}{3}}} [/math]
A megoldás menete:
A 2 nem 0, valós, konstans szám -> egyszerűsíthetünk vele.
[math] \lim_{x\to{0+}}{\frac{2x^2*\ln{x}+4x^4*\ln^2{x}}{4x^4*\ln^2{x}+6x^2*\ln{x}}} = \lim_{x\to{0+}}{\frac{2x^4*\ln^2{x}+x^2*\ln{x}}{2x^4*\ln^2{x}+3x^2*\ln{x}}} [/math]
Az x^2 nem 0, valós (x tart a 0-hoz, de nem egyenlő vele) -> ezzel is egyszerűsíthetünk.
[math] \lim_{x\to{0+}}{\frac{2x^4*\ln^2{x}+x^2*\ln{x}}{2x^4*\ln^2{x}+3x^2*\ln{x}}} = \lim_{x\to{0+}}{\frac{2x^2*\ln^2{x}+\ln{x}}{2x^2*\ln^2{x}+3*\ln{x}}} [/math]
Az ln(x) nem 0, valós ( ln(x) tart a -végtelenhez, de nem egyenlő vele) -> ezzel is egyszerűsíthetünk.
[math] \lim_{x\to{0+}}{\frac{2x^2*\ln^2{x}+\ln{x}}{2x^2*\ln^2{x}+3*\ln{x}}} = \lim_{x\to{0+}}{\frac{2x^2*\ln{x}+1}{2x^2*\ln{x}+3}} [/math]
Ezután vizsgáljuk meg, hova tart 2x^2 * ln(x), ha x -> 0+
Mivel "0" * "-végtelen" alakú a kifejezés, átalakítható "végtelen"/"végtelen" alakúra, ami után már gond nélkül alkalmazhatjuk a L'Hospital szabályt.
[math] \lim_{x\to{0+}}{2x^2*\ln{x}} = \lim_{x\to{0+}}{-2*\frac{-\ln{x}}{1/(x^2)}} = \lim_{x\to{0+}}{-2*\frac{-1/x}{-2/x^3}} = \lim_{x\to{0+}}{-(x^2)} = 0 [/math]
Miután beláttuk, hogy a részkifejezés 0-hoz tart, megvizsgáljuk az egészet.
[math] \lim_{x\to{0+}}{\frac{2x^2*\ln{x}+1}{2x^2*\ln{x}+3}} = \lim_{x\to{0+}}{\frac{0+1}{0+3}} = \underline{\underline{\frac{1}{3}}} [/math]4. Feladat
Hol és milyen szakadása van a függvénynek?
[math] f(x) = {\frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}}} [/math]
[math] f(x) = {\frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}}} [/math]
Megoldás menete: Jobb bal oldali határérték.
A nevező nem lehet=0 mert [math] {1+{e^{1/x}}} \neq 0 [/math] mivel [math] {e^{1/x}} \neq -1 [/math]
Tehát csak x=0 ban van szakadás.
[math] \lim_{x\to{0+}} \frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}} = \lim_{y\to\infty} \frac{e^y}{1+e^y}= \lim_{z\to\infty} \frac{z}{z+1} \approx \frac{\infty}{\infty} L'H \frac{1}{1}=1 [/math]
[math] \lim_{x\to{0-}} \frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}} = \lim_{y\to{-\infty}} \frac{e^y}{1+e^y} = \lim_{z\to{0}} \frac{z}{z+1} = \frac{0}{1}=0 [/math]
5. Feladat
Legyen f mindenütt deriválható függvény!
[math] f(x) = \frac{\sin x}{x} \;\;,ha\;\; x\neq0 [/math]
[math] f(0) = \;?, \;f'(0) = \;? [/math]
Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!
Ha tudod, írd le ide ;)6. Feladat
Konvergensek-e a következő improprius integrálok?
[math]\displaystyle{ a,\;\; \int_{2}^\infty \frac{1}{\ln x} dx }[/math]
[math]\displaystyle{ b,\;\; \int_{1}^\infty \frac{1}{1-\cos {(x/2)}} dx }[/math]
Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!
Ha tudod, írd le ide ;)
