Matematika A3 - Vonalmenti integrálás

Ez az oldal a korábbi SCH wikiről lett áthozva.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor, kérlek, javíts rajta egy rövid szerkesztéssel!

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót.

_(1. Matematika B3, 2005.02.15., 1. lap, Andai Attila)_

*I. Adjuk meg paraméteresen az alábbi görbéket és felületeket.*

1. Az $y=1$ síkban lévő $(0;1;0)$ középpontú 2 sugarú körvonal.

• $x=2\cos t$
• $y=1$
• $z=2\sin t,0\leq t\leq 2\pi$

2. A $z=0$ síkban lévő $(1,3)$ középpontú $(a,b)$ féltengelyű ellipszis $(a,b\in \mathbb {R} ^{+})$ .

• $x=1+a\cos t$
• $y=3+b\sin t$ , $0\leq t\leq 2\pi$
• $z=0$

3. A $z=x^{2}+y^{2}$ és az $x+y-z=-4$ egyenletű felületek metszetgörbéje.

4. Az $(1;2;3)$ középpontú 5 sugarú gömb.

5. Az $x^{2}+y^{2}=1$, $z=0$ síkbeli vezérvonalú, $(0;0;2)$ középpontú kúpfelület.

6. A $(t;2;5)$ vezéregyenesű 3 sugarú henger.

III. Irjuk fel az alábbi $v:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ vektormezők deriváltját, ahol $a\in \mathbb {R} ^{3}$ adott vektor.

1. $v(r)=r$
2. $v(r)=ar^{2}$
3. $v(r)=\ln \left|r\right|\cdot r$
4. $v(r)=\left|r\right|\cdot r$
5. $v(r)=(ar)r$
6. $v(r)=a\times r$

IV. Vonalmenti integrálok.

1. Mekkora a $v(x,y)=(-y,x)$ vektor-vektor függvény A = (0, 1) és B = (1, 0) pontok közötti vonalmenti integrálja, ha A-ból B-be egyenesvonal mentén, illetve, ha az origó középpontú kör negyedíve mentén integrálunk ?

2. Legyen $v(x,y,z)=(xy,y^{2},xz)$ és $\gamma (t)=(t,t^{2}+1;exp(t))$, ahol $0\leq t\leq 1$. Határozzuk meg az ${\int _{\gamma }}v$ integrál értékét.

-- Ger****** - 2006.06.15.