Matematika A3 - Differenciálegyenlet-rendszerek

Ez az oldal a korábbi SCH wikiről lett áthozva.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor, kérlek, javíts rajta egy rövid szerkesztéssel!

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót.

%TOC{depth="3"}%

Homogén differenciálegyenlet-rendszerek

Definíció

Olyan egyenletrendszer, mely a változóinak deriváltjait megadja a változóinak konstans-szorosának összegével.

${\underline {x}}'(t)={\underline {\underline {A}}}{\underline {x}}(t)$

$\Updownarrow$

$x_{1}'=A_{11}x_{1}+A_{12}x_{2}$

$x_{2}'=A_{21}x_{1}+A_{22}x_{2}$

Példa

$x_{1}'=x_{1}+2x_{2}$

$x_{2}'=2x_{1}+x_{2}$

Kezdeti feltételek:

$x_{1}(0)=1$

$x_{2}(0)=-1$

A probléma kétféleképpen oldható meg: analitikusan és Laplace-transzformáció segítségével.

Az analitikus megoldás

A megoldás általános alakja

$x_{ha}={\underline {\underline {\Phi }}}(t){\underline {k}}$

ahol ${\underline {\underline {\Phi }}}$ az alaprendszer mátrixa, ${\underline {k}}$ pedig egy konstans vektor.

${\underline {\underline {\Phi }}}(t)=\left[{\begin{array}{rr}{\underline {s}}_{1}e^{\lambda _{1}t}&{\underline {s}}_{2}e^{\lambda _{2}t}\\\end{array}}\right]$

ahol $\lambda _{i}$-k ${\underline {\underline {A}}}$ sajátértékei, ${\underline {s}}_{i}$-k pedig az i. sajátértékhez tartozó sajátvektorok.

A fenti példa analitikus megoldása

$x_{1}'=x_{1}+2x_{2}$

$x_{2}'=2x_{1}+x_{2}$

$\Updownarrow$

${\underline {\underline {A}}}=\left[{\begin{array}{rr}1&2\\2&-1\end{array}}\right]$

Sajátértékek kiszámítása:

$\det({\underline {\underline {A}}}-\lambda {\underline {\underline {I}}})=0$

$\Downarrow$

$\left|{\begin{array}{rr}1-\lambda &2\\2&1-\lambda \end{array}}\right|=\left(1-\lambda \right)^{2}-2^{2}=0$

$\Downarrow$

$\lambda _{1,2}=3;-1$

A $\lambda _{1}$-hez tartozó sajátvektor kiszámítása:

$\left({\underline {\underline {A}}}-\lambda _{1}{\underline {\underline {I}}}\right){\underline {s}}_{1}=0$

$\left[{\begin{array}{rr}-2&2\\2&-2\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{rr}s_{11}\\s_{12}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rr}0\\0\end{array}}\right]$

$\Updownarrow$

$s_{11}=s_{12}\Rightarrow {\underline {s}}_{1}=\left[{\begin{array}{rr}1\\1\end{array}}\right]$

A $\lambda _{2}$-hez tartozó sajátvektor kiszámítása:

$\left({\underline {\underline {A}}}-\lambda _{2}{\underline {\underline {I}}}\right){\underline {s}}_{2}=0$

$\left[{\begin{array}{rr}2&2\\2&2\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{rr}s_{21}\\s_{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rr}0\\0\end{array}}\right]$

$\Updownarrow$

$s_{21}=-s_{22}\Rightarrow {\underline {s}}_{2}=\left[{\begin{array}{rr}1\\-1\end{array}}\right]$

Tehát az alaprendszer mátrixa:

${\underline {\underline {\Phi }}}(t)=\left[{\begin{array}{rr}e^{3t}&e^{-t}\\e^{3t}&-e^{-t}\end{array}}\right]$

Tehát a homogén, általános megoldás:

${\underline {x}}_{ha}={\underline {\underline {\Phi }}}(t){\underline {k}}$

$\Downarrow$

$x_{ha1}=k_{1}e^{3t}+k_{2}e^{-t}$

$x_{ha2}=k_{1}e^{3t}-k_{2}e^{-t}$

Kezdeti feltételek érvényesítése:

$x_{1}(0)=1\Rightarrow k_{1}+k_{2}=1$

$x_{2}(0)=-1\Rightarrow k_{1}-k_{2}=-1$

$\Downarrow$

$k_{1}=0\Rightarrow k_{2}=1$

$\Downarrow$

$x_{ha1}=e^{-t}$

$x_{ha2}=-e^{-t}$

Megoldás Laplace-transzformációval

A megoldás általános alakja

Ha adott egy differenciálegyenlet(-rendszer), ahol ismertek a kezdeti feltételek, akkor alkalmazható a Laplace-transzformációs megoldás: az egyenlet(rendszer) minden elemére alkalmazzuk a Laplace-transzformációt, ezáltal egy egyszerű algebrai egyenlet(rendszer)hez jutunk. Ezt megoldjuk, majd a megoldást visszatranszformáljuk.

Fontosabb Laplace-transzformáltak

A Laplace-transzformált jelölése: $\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)$

$f(t)$	$F(s)$
$0$	$0$
$t^{n}$	${\frac {n!}{s^{n+1}}}$
$e^{at}$	${\frac {1}{s-a}}$
$\sin(\alpha t)$	${\frac {\alpha }{s^{2}+\alpha ^{2}}}$
$\cos(\alpha t)$	${\frac {s}{s^{2}+\alpha ^{2}}}$
$f'(t)$	$sF(s)-f(0)$
$\int f(t)dt$	${\frac {F(s)}{s}}$
$f(t-t_{0})$	$e^{-t_{0}s}F(s)$
$e^{-\alpha t}f(t)$	$F(s+\alpha )$

A fenti példa megoldása Laplace-transzformáció segítségével

$x_{1}'=x_{1}+2x_{2}$

$x_{2}'=2x_{1}+x_{2}$

Kezdeti feltételek:

$x_{1}(0)=1$

$x_{2}(0)=-1$

A Laplace-transzformáció után a következő egyenletrendszer adódik:

$sX_{1}-1=X_{1}+2X_{2}\Rightarrow X_{1}(s-1)=1+2X_{2}\Rightarrow \underbrace {X_{1}={\frac {2X_{2}+1}{s-1}}} _{\searrow }$

$sX_{2}+1=2X_{1}+X_{2}\Rightarrow 1+X_{2}(s-1)=2X_{1}\Rightarrow X_{2}(s-1)=2{\frac {2X_{2}+1}{s-1}}-1$

$X_{2}(s-1)=2{\frac {2X_{2}+1}{s-1}}-1$

$X_{2}(s-1)^{2}=4X_{2}+2-(s-1)$

$X_{2}\left[(s-1)^{2}-4\right]=2-(s-1)$

$X_{2}={\frac {2-(s-1)}{(s-1)^{2}-4}}={\frac {3-s}{s^{2}-2s-3}}={\frac {-(s-3)}{(s-3)(s+1)}}=-{\frac {1}{s+1}}$

$\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{-{\frac {1}{s+1}}\right\}=x_{2}(t)=-e^{-t}$

Ezt visszahelyettesítve az eredeti első egyenletbe:

$X_{1}(s-1)=1-2{\frac {1}{s+1}}$

$X_{1}={\frac {1}{s-1}}-{\frac {2}{s-1}}{\frac {1}{s+1}}={\frac {s+1}{(s+1)(s-1)}}-{\frac {2}{(s+1)(s-1)}}={\frac {s+1-2}{(s+1)(s-1)}}={\frac {s-1}{(s+1)(s-1)}}={\frac {1}{s+1}}$

$\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s+1}}\right\}=x_{1}(t)=e^{-t}$

Visszakaptuk az analitikus módszerrel nyert megoldásainkat.

Inhomogén differenciálegyenlet-rendszerek

Definíció

Olyan egyenletrendszer, mely a változóinak deriváltjait megadja a változóinak konstans-szorosának összegével, valamint további időfüggvényekkel.

${\underline {x}}'(t)={\underline {\underline {A}}}{\underline {x}}(t)+{\underline {b}}(t)$

$\Updownarrow$

$x_{1}'=A_{11}x_{1}+A_{12}x_{2}+b_{1}(t)$

$x_{2}'=A_{21}x_{1}+A_{22}x_{2}+b_{2}(t)$

A megoldás általános alakja

Differenciálegyenlet-rendszerek esetében is igaz, hogy az inhomogén, általános megoldást a homogén, általános megoldás és az inhomogén egyenletrendszer egy partikuláris megoldásának összege adja.

${\underline {x}}_{ia}(t)={\underline {x}}_{ha}(t)+{\underline {x}}_{ip}(t)$

A homogén, általános megoldás megkeresésének két módja fent látható. Az inhomogén partikuláris megoldás megtalálására alkalmas pedig az úgynevezett állandók variálásának módszere. Azért hívják ennek, mert látszólag ugyanúgy kell elkezdeni, mint a homogén rendszer megoldását, csak a konstansok helyett t-től függő függvényekkel ($c_{i}(t)$) kell megszorozni a változók oszlopvektorait.

${\underline {x}}_{ip}=c_{1}(t){\underline {x}}_{1}+c_{2}(t){\underline {x}}_{2}={\underline {\underline {\Phi }}}(t){\underline {c}}(t)$

Ezt behelyettesítve az eredeti egyenletrendszerbe, azt nyerjük, hogy:

${\underline {\underline {\Phi }}}(t){\underline {c}}'(t)={\underline {b}}(t)$

Innen, tehát, _c_ deriváltja meghatározható úgy, mint:

${\underline {c}}'(t)={\underline {\underline {\Phi }}}^{-1}(t){\underline {b}}(t)$

Tehát _c_:

${\underline {c}}(t)=\int {\underline {\underline {\Phi }}}^{-1}(t){\underline {b}}(t)dt$

Tehát, az inhomogén, partikuláris megoldás:

${\underline {x}}_{ip}(t)={\underline {\underline {\Phi }}}(t)\int {\underline {\underline {\Phi }}}^{-1}(t){\underline {b}}(t)dt$

Példa

Coming soon!

---

-- Serény György előadásai és Farkas Gergő gyakorlatai alapján írta MAKond - 2011.01.09.