Matematika A3 - Differenciálegyenlet-rendszerek

Homogén differenciálegyenlet-rendszerek

Definíció

Olyan egyenletrendszer, mely a változóinak deriváltjait megadja a változóinak konstans-szorosának összegével.

${\underset{\_}{x}}^{\prime }(t)=\underset{\_}{\underset{\_}{A}}\underset{\_}{x}(t)$

$\Updownarrow$

${x_1}^{\prime }=A_{11}{x}_1+A_{12}{x}_2$

${x_2}^{\prime }=A_{21}{x}_1+A_{22}{x}_2$

Példa

${x_1}^{\prime }=x_1+2x_2$

${x_2}^{\prime }=2x_1+x_2$

Kezdeti feltételek:

$x_1(0)=1$

$x_2(0)=-1$

A probléma kétféleképpen oldható meg: analitikusan és Laplace-transzformáció segítségével.

Az analitikus megoldás

A megoldás általános alakja

$x_{ha}=\underset{\_}{\underset{\_}{\mathrm{\Phi }}}(t)\underset{\_}{k}$

ahol $\underset{\_}{\underset{\_}{\mathrm{\Phi }}}$ az alaprendszer mátrixa, $\underset{\_}{k}$ pedig egy konstans vektor.

$\underset{\_}{\underset{\_}{\mathrm{\Phi }}}(t)=\left[\begin{array}{rr}{\underset{\_}{s}}_1{e}^{{\lambda }_{1}t}& {\underset{\_}{s}}_2{e}^{{\lambda }_{2}t}\\ \end{array}\right]$

ahol ${\lambda }_i$-k $\underset{\_}{\underset{\_}{A}}$ sajátértékei, ${\underset{\_}{s}}_i$-k pedig az i. sajátértékhez tartozó sajátvektorok.

A fenti példa analitikus megoldása

${x_1}^{\prime }=x_1+2x_2$

${x_2}^{\prime }=2x_1+x_2$

$\Updownarrow$

$\underset{\_}{\underset{\_}{A}}=\left[\begin{array}{rr}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right]$

Sajátértékek kiszámítása:

$\det (\underset{\_}{\underset{\_}{A}}-\lambda \underset{\_}{\underset{\_}{I}})=0$

$\Downarrow$

$\left|\begin{array}{rr}1-\lambda & 2\\ 2& 1-\lambda \end{array}\right|={(1-\lambda )}^2-2^2=0$

$\Downarrow$

${\lambda }_1=3{\lambda }_2=-1$

A ${\lambda }_1$-hez tartozó sajátvektor kiszámítása:

$(\underset{\_}{\underset{\_}{A}}-{\lambda }_1\underset{\_}{\underset{\_}{I}}){\underset{\_}{s}}_1=0$

$\left[\begin{array}{rr}-2& 2\\ 2& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{r}{s}_{11}\\ s_{12}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}0\\ 0\end{array}\right]$

$-2s_{11}+2s_{12}=0$

$2s_{11}-2s_{12}=0$

$\Updownarrow$

$s_{11}=s_{12}\Rightarrow Legyen:{\underset{\_}{s}}_1=\left[\begin{array}{r}1\\ 1\end{array}\right]$

A ${\lambda }_2$-hez tartozó sajátvektor kiszámítása:

$(\underset{\_}{\underset{\_}{A}}-{\lambda }_2\underset{\_}{\underset{\_}{I}}){\underset{\_}{s}}_2=0$

$\left[\begin{array}{rr}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{r}{s}_{21}\\ s_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}0\\ 0\end{array}\right]$

$2s_{21}+2s_{22}=0$

$2s_{21}+2s_{22}=0$

$\Updownarrow$

$s_{21}=-s_{22}\Rightarrow Legyen:{\underset{\_}{s}}_2=\left[\begin{array}{r}1\\ -1\end{array}\right]$

Tehát az alaprendszer mátrixa:

$\underset{\_}{\underset{\_}{\mathrm{\Phi }}}(t)=\left[\begin{array}{rr}{e}^{3t}& e^{-t}\\ e^{3t}& -e^{-t}\end{array}\right]$

Tehát a homogén, általános megoldás:

${\underset{\_}{x}}_{ha}(t)=\underset{\_}{\underset{\_}{\mathrm{\Phi }}}(t)\underset{\_}{k}$

$\Downarrow$

$x_{ha1}(t)=k_1{e}^{3t}+k_2{e}^{-t}$

$x_{ha2}(t)=k_1{e}^{3t}-k_2{e}^{-t}$

Kezdeti feltételek érvényesítése:

$x_1(0)=1\Rightarrow k_1+k_2=1$

$x_2(0)=-1\Rightarrow k_1-k_2=-1$

$\Downarrow$

$k_1=0\Rightarrow k_2=1$

$\Downarrow$

$x_{ha1}(t)=e^{-t}$

$x_{ha2}(t)=-e^{-t}$

Megoldás Laplace-transzformációval

A megoldás általános alakja

Ha adott egy differenciálegyenlet(-rendszer), ahol ismertek a kezdeti feltételek, akkor alkalmazható a Laplace-transzformációs megoldás: az egyenlet(rendszer) minden elemére alkalmazzuk a Laplace-transzformációt, ezáltal egy egyszerű algebrai egyenlet(rendszer)hez jutunk. Ezt megoldjuk, majd a megoldást visszatranszformáljuk.

Fontosabb Laplace-transzformáltak

A Laplace-transzformált jelölése: ${ℒ}\{f(t)\}=F(s)$

$f(t)$	$F(s)$
$0$	$0$
$t^n$	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
$e^{at}$	$\frac{1}{s-a}$
$\sin (\alpha t)$	$\frac{\alpha }{s^2+{\alpha }^2}$
$\cos (\alpha t)$	$\frac{s}{s^2+{\alpha }^2}$
$f^{\prime }(t)$	$sF(s)-f(0)$
$\int f(t)dt$	$\frac{F(s)}{s}$
$f(t-t_0)$	$e^{-t_{0}s}F(s)$
$e^{-\alpha t}f(t)$	$F(s+\alpha )$

A fenti példa megoldása Laplace-transzformáció segítségével

${x_1}^{\prime }=x_1+2x_2$

${x_2}^{\prime }=2x_1+x_2$

Kezdeti feltételek:

$x_1(0)=1$

$x_2(0)=-1$

A Laplace-transzformáció után a következő egyenletrendszer adódik:

$s{X}_1-1=X_1+2X_2\Rightarrow X_1(s-1)=1+2X_2\Rightarrow \underset{\searrow }{\underbrace{X_1=\frac{2X_2+1}{s-1}}}$

$s{X}_2+1=2X_1+X_2\Rightarrow 1+X_2(s-1)=2X_1\Rightarrow X_2(s-1)=2\frac{2X_2+1}{s-1}-1$

$X_2(s-1)=2\frac{2X_2+1}{s-1}-1$

$X_2(s-1{)}^2=4X_2+2-(s-1)$

$X_2[(s-1{)}^2-4]=2-(s-1)$

$X_2=\frac{2-(s-1)}{(s-1{)}^2-4}=\frac{3-s}{s^2-2s-3}=\frac{-(s-3)}{(s-3)(s+1)}=-\frac{1}{s+1}$

${{ℒ}}^{-1}\{-\frac{1}{s+1}\}=x_2(t)=-e^{-t}$

Ezt visszahelyettesítve az eredeti első egyenletbe:

$X_1(s-1)=1-2\frac{1}{s+1}$

$X_1=\frac{1}{s-1}-\frac{2}{s-1}\frac{1}{s+1}=\frac{s+1}{(s+1)(s-1)}-\frac{2}{(s+1)(s-1)}=\frac{s+1-2}{(s+1)(s-1)}=\frac{s-1}{(s+1)(s-1)}=\frac{1}{s+1}$

${{ℒ}}^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\}=x_1(t)=e^{-t}$

Visszakaptuk az analitikus módszerrel nyert megoldásainkat.

Inhomogén differenciálegyenlet-rendszerek

Definíció

Olyan egyenletrendszer, mely a változóinak deriváltjait megadja a változóinak konstans-szorosának összegével, valamint további időfüggvényekkel.

${\underset{\_}{x}}^{\prime }(t)=\underset{\_}{\underset{\_}{A}}\underset{\_}{x}(t)+\underset{\_}{b}(t)$

$\Updownarrow$

${x_1}^{\prime }=A_{11}{x}_1+A_{12}{x}_2+b_1(t)$

${x_2}^{\prime }=A_{21}{x}_1+A_{22}{x}_2+b_2(t)$

A megoldás általános alakja

Differenciálegyenlet-rendszerek esetében is az inhomogén általános megoldást a homogén általános megoldás és az inhomogén egyenletrendszer egy partikuláris megoldásának összege adja.

${\underset{\_}{x}}_{ia}(t)={\underset{\_}{x}}_{ha}(t)+{\underset{\_}{x}}_{ip}(t)$

A homogén, általános megoldás megkeresésének két módja fent látható. Az inhomogén partikuláris megoldás megtalálására alkalmas pedig az úgynevezett állandók variálásának módszere. Azért hívják ennek, mert látszólag ugyanúgy kell elkezdeni, mint a homogén rendszer megoldását, csak a konstansok helyett t-től függő függvényekkel ($c_i(t)$) kell megszorozni a változók oszlopvektorait.

${\underset{\_}{x}}_{ip}=c_1(t){\underset{\_}{x}}_1+c_2(t){\underset{\_}{x}}_2=\underset{\_}{\underset{\_}{\mathrm{\Phi }}}(t)\underset{\_}{c}(t)$

Ezt behelyettesítve az eredeti egyenletrendszerbe, azt nyerjük, hogy:

$\underset{\_}{\underset{\_}{\mathrm{\Phi }}}(t){\underset{\_}{c}}^{\prime }(t)=\underset{\_}{b}(t)$

Innen, tehát, _c_ deriváltja meghatározható úgy, mint:

${\underset{\_}{c}}^{\prime }(t)={\underset{\_}{\underset{\_}{\mathrm{\Phi }}}}^{-1}(t)\underset{\_}{b}(t)$

Tehát _c_:

$\underset{\_}{c}(t)=\int {\underset{\_}{\underset{\_}{\mathrm{\Phi }}}}^{-1}(t)\underset{\_}{b}(t)dt$

Tehát, az inhomogén, partikuláris megoldás:

${\underset{\_}{x}}_{ip}(t)=\underset{\_}{\underset{\_}{\mathrm{\Phi }}}(t)\int {\underset{\_}{\underset{\_}{\mathrm{\Phi }}}}^{-1}(t)\underset{\_}{b}(t)dt$