Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Gyakorlatjegyzet - 2017 (ősz)

A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.

Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a Rendszerelmélet lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)

Ez az oldal a gyakorlaton elhangzott feladatokat, s azok megoldásait tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Az előadásjegyzetemet erre találod: Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Előadásjegyzet_-_2017_(ősz)

1. Gyakorlat

Periodicitás vizsgálata

Diszkrét idejű jelek

Adott $y[k]=\cos (\phi k)$. Hogyan számoljuk ki, hogy periodikus-e?

Felírjuk az periodicitás definícióját, majd számolunk:

• $\cos (\phi k)=\cos (\phi \cdot (k+L))$
• $\phi k+2n\pi =\phi (k+L)$
• $2n\pi =\phi L$
• $L=\frac{2n\pi }{\phi }$

Az így kapott L értéknek definíció szerint egész számnak kell lennie. Három eset lehet a számolás végén:

• Az L egész. Örülünk, a jel periodikus.
• Az L racionális tört. Szorozzuk fel, hogy egész legyen (erre van a képletben az n), s örülünk, a jel periodikus.
• Az L irracionális tört. Ebből sehogy nem lesz egész, a jel nem periodikus.

Általánosságban a $2n\pi =\phi L$ összefüggést érdemes megjegyezni, majd abból számolni.

Feladatok

Peridokusak-e az alábbi jelek? Amennyiben igen, mi a periódusideje?

$y[k]=\cos (3k)$

Nem.

• $2n\pi =\phi L$
• $\phi =3$
• $2n\pi =3L$
• $L=\frac{2n\pi }{3}$

Erre semmilyen olyan n-t nem tudunk mondani, hogy L egész legyen.

Kis számolással beláthatjuk, hogy a diszkrét idejű jelek csak akkor lesznek periodikusak, ha a k $\pi$ racionális többszöröse.

$y[k]=\cos (k\frac{\pi }{17}+\frac{\pi }{3})$

Igen.

• $y[k]=\cos (k\frac{\pi }{17}+\frac{\pi }{3})$
• $2n\pi =\phi L$
• $\phi =\frac{\pi }{17}$
• $2n\pi =\frac{\pi }{17}L$
• $2=\frac{L}{17}$
• $L=2\cdot 17=34$

$y[k]=\cos (k\frac{2}{5}+\frac{\pi }{2})$

Nem.

$y[k]=\cos (k\frac{3\pi }{19}+\frac{\pi }{2})$

Igen. $L=38$

$y[k]=\sin (k\frac{5}{13}+\frac{\pi }{4})$

Nem.

$y[k]=\sin (k\frac{5\pi }{13}+\frac{\pi }{4})$

Igen. $L=26$

Folytonos idejű jelek

Folytonos idejű jelek periodicitását ugyanúgy vizsgáljuk, mint a diszkrét idejű jeleknél. Az egyetlen különbség, hogy a folytonos idejű jeleknél a periódusidő nem szükségszerűen egész, hanem lehet racionális szám is: $T\in \mathbb{ℝ}$.

Feladatok

Peridokusak-e az alábbi jelek? Amennyiben igen, mi a periódusideje?

$y(t)=5\cos (2t)+3\sin (4t)+10$

Ilyen jeleknél, amik több periodikus jel szuperpozíciója, az egyes részeinek periódusidejét számoljuk ki, majd ezen periódusidők legkisebb közös többszöröse lesz a szuperponált jel periódusideje.

Az $y(t)$ jel három jel szuperpozíciója. Ezek külön, külön:

• 1. $5\cos (2t)$
• 2. $3\sin (4t)$
• 3. $10$

Ebből az utolsó triviálisan periodikus, periódusideje tulajdonképpen bármelyik racionális szám. A másik kettőről meg megtanultuk középiskolában, hogy periodikusak, periódusidejük:

• $T_1=\pi$
• $T_2=\frac{\pi }{2}$

Ezek alapján az eredeti jel periodikus, periódusideje: $T=\pi$.

$y(t)=4\cos (4t)+5\sin (7t)$

A fentiek alapján periodikus, periódusideje: $T=2\pi$.