Szerkesztő:Hegyi Zsolt Gábor

← Vissza az előző oldalra – Analízis II.

Fontos

Ezen tippeket és trükköket az eredeti szerző 2 félév alatt, egyenes és kereszt viszontagságain keresztül gyűjtötte. A jegyzet elolvasása a gyakorlást NEM helyettesíti. Amennyiben hibát találsz ebben az összefoglalóban, akkor kérlek, hogy jelezd az egyik szerkesztőnek vagy javítsd ki a hibát. Deriválttábla természetesen nem árt.

Alapok

Azonosságok, amiket jó, ha tudsz

$sin^{2}(x)+cos^{2}(x)=1$
$cosh^{2}(x)-sinh^{2}(x)=1$
$sin(2x)=2\cdot sin(x)\cdot cos(x)$
$sin(x+y)=sin(x)\cdot cos(y)+cos(x)\cdot sin(y)$

Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle sin(x ‒ y) = sin(x) \cdot cos(y) - cos(x) \cdot sin(y)}

Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle cos(x ‒ y) = cos(x) \cdot cos(y) + sin(x) \cdot sin(y)}

$cos(x+y)=cos(x)\cdot cos(y)-sin(x)\cdot sin(y)$

$sinh(a+b)=sinh(a)\cdot cosh(b)+cosh(a)\cdot sinh(b)$ // sincos-cossin (h)

$cosh(a+b)=cosh(a)\cdot cosh(b)+sinh(a)\cdot sinh(b)$ // coscos-sinsin (h)

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {x}{sin(x)}}=1$ // Analízis 1.-ből

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {sin(x)}{x}}=1$

$f'(x_{0})=\lim _{x->0}(f(x)-f(x_{0}))/(x-x_{0})$

$f'(x_{0})=\lim _{\Delta x->0}{\frac {(f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}))}{\Delta x}}$

$cosh(x)={\frac {(e^{x}+e^{-x})}{2}}$

$sinh(x)={\frac {(e^{x}-e^{-x})}{2}}$

Deriválás

$f'(c\cdot x)=c\cdot f'(x)$ // konstanssal szorzás

$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$ // összeadás

$(f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+g'(x)\cdot f(x)$ // szorzás

$(f/g)'(x)={\frac {(f'(x)\cdot g(x)-g'(x)\cdot f(x))}{g^{2}(x)}}$ // osztás

$f'(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$ // összetett függvény

$(f^{-1})'(x)={\frac {1}{(f'(f^{-1}(x)))}}$ // inverz függvény


Érintő egyenes egyenlete: $f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})$

Integrálás

$\int f(x)dx=F(x)+C$

$\int f(fi(x))\cdot fi'(x)dx=F(fi(x))+C$

$\int f^{a}(x)\cdot f'(x)dx={\frac {(f(x)^{a+1})}{(a+1)}}+C$ // a != -1

$\int e^{f(x)}\cdot f'(x)dx=e^{f(x)}+C$

$\int {\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=ln|f(x)|+C$

$\int f'\cdot gdx=f\cdot g-\int f\cdot g'$ // parciális integrálás

$\int (a\cdot x+b)dx={\frac {F(a\cdot x+b)}{a}}+C$ // a != 0


Helyettesítéses integrál:
$\int f(x)dx$ // Ez egy bonyolult integrál
$u=f(x)$ // Ez lesz a helyettesítés
$du=f'(x)$ // Lederiválod f(x)-et, mert le kell vele osztani
$\int {\frac {u}{f'(x)}}du$ = kijön valami --> visszahelyettesítesz

Parciális törtekre bontással való integrálás
WIP

Differenciálegyenletek (DE)

Szeparábilis DE-k

$y'(x)=g(y)\cdot f(x)$ // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x)
Meg kell nézni, hogy g(y) mikor lesz 0
$g(y)=0$
Megoldod, ha van megoldás, akkor az egy megoldása lesz a differenciálegyenletnek!

$\int {\frac {1}{g(y)}}dy=\int f(x)dx$

Ebből kijön, hogy: $y=K\cdot h(x)$ // itt a $K=e^{C}$ ; C az integrálás során keletkezik
Néha nem ilyen alakban kérik, de azt jelezni szokták.

Lineáris DE-k

$y'(x)+g(x)\cdot y=f(x)$// ilyen alakban kell keresni

$y'(x)+g(x)\cdot y=0$// homogén lineáris DE --> innen szeparábilis, megoldható

$y=K\cdot h(x)$ az inhomogén általánoshoz kell K(x) is

$K(x)=\int f(x)/h(x)dx$
//inhomogén általános megoldása
$y_{ia}=K\cdot h(x)+K(x)\cdot h(x)$ // homogén + inhomogén partikuláris megoldás
Kezdeti érték probléma: behelyettesítesz, kijön: $K=valami$
K-t visszahelyettesíted $y^{ia}$-ba --> megkapod: $y^{konkret}$

DE helyettesítéssel

Példán keresztül bemutatva:
$y'={\frac {1}{(x+y)}}$
Ezt nehéz lenne bármelyik kategóriába besorolni, így helyettesítést kell használni
Simán meg szokták adni, hogy mivel kell, de ha nem, akkor a lehetséges helyettesítések:
$u=x+y$

$u=y/x$

Ehhez a feladathoz az elsőt választjuk. A célunk az, hogy az egyenletben ne legyen csak u alapú változó. Tehát:
$u=x+y$
kifejezzük y-t:
$y=u-x$
lederiváljuk:
$y'=u'-1$
Tehát mostmár minden változó u, x+y megvan, behelyettesítünk:
$u'-1={\frac {1}{u}}$
kicsit rendezzük:
$u'=1+{\frac {1}{u}}=(u+1)/u$
Ez tehat szeparábilis, g(y) helyett g(u) van, f(x)-et pedig 1 fogja jelképezni.
Megnézzük a 0-ra vonatkozó megoldást:
$g(u)={\frac {u+1}{u}}=0$

$u=-1$
Tehát visszahelyettesítve: $y=-1-x$ egy megoldása lesz a DE-nek.
Tovább haladunk a megoldással:
$\int {\frac {u}{(u+1)}}du=\int 1dx$
A második fele: $x+C$
Az első fele:
$\int {\frac {u}{(u+1)}}du=\int {\frac {(u+1-1)}{(u+1)}}du=\int 1-({\frac {1}{(u+1)}})du=u-ln|u+1|+C$

Ezekből:
$u-ln|u+1|=x+C$--> visszahelyettesítünk

$x+y-ln|x+y+1|=x+c$

Homogén lineáris, állandó együtthatós DE

Megoldás: $C\cdot e^{\lambda \cdot x}$ alakban kell keresni. De néha bejön cos/sin is mellé, hogy ne legyen egyszerű.
Példa:
$y^{(3)}+2\cdot y^{(2)}+y'=0$

$\lambda ^{3}+2\cdot \lambda ^{2}+\lambda =0$

$\lambda \cdot (\lambda ^{2}+2\cdot \lambda +1)=0$ // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatvanya (itt 1)

$\lambda \cdot (\lambda +1)^{2}=0$

első feléből $\lambda ^{1}=0$
második feléből $\lambda ^{2}=-1$
DE 3 megoldás kell!!!
ilyenkor a homogén megoldáshoz hozzárakunk még x-el beszorzott tagokat

$y^{h}=C_{1}\cdot e^{0\cdot x}+C_{2}\cdot e^{-1\cdot x}+C_{3}\cdot x\cdot e^{-1\cdot x}$

Példa 2:
$y^{(3)}+4\cdot y^{(2)}+13\cdot y'=0$

$\lambda ^{3}+4\cdot \lambda ^{2}+13\cdot \lambda =0$ // kiemelsz \lambda -et

$\lambda (\lambda ^{2}+4\cdot \lambda +13)=0$

$\lambda ((\lambda +2)^{2}+9)=0$

elso felebol $\lambda ^{1}=0$
masodik felebol:
$-9=(\lambda +2)^{2}<$
br /> $-9^{1/2}=\lambda +2$

$-9^{1/2}-2=\lambda$

$3\cdot i-2=\lambda$ //ket darab komplex megoldas lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldasba

$-3\cdot i-2=\lambda$

$y^{h}=C1\cdot e^{0\cdot x}+C2\cdot e^{-2\cdot x}\cdot cos(3\cdot x)+C3\cdot e^{-2\cdot x}\cdot sin(3\cdot x)$
Tehát a valós rész lesz a $\lambda$ , a képzetes rész pedig a cos/sin (pozitív/negatív) belseje

Pelda3:
adott egy megoldas: 2 \cdot e^{5 \cdot x} - e^{-3 \cdot x}
ebbol kell a DE-et felirni.
ebbol rogton latjuk is, hogy \lambda ^{1} = 5
\lambda ^{2} = -3
tehat ebbol kovetkeztethetunk a karakterisztikus egyenletre:
(\lambda - 5) \cdot (\lambda + 3) = 0
innentol 'csak' at kell rendezni, es megoldani
\lambda ^{2} + 3 \cdot \lambda - 5 \cdot \lambda - 15 = 0
\lambda ^{2} - 2 \cdot \lambda - 15 = 0
y^{(2)} - 2 \cdot y - 15 = 0

Inhomogen linearis, allando egyutthatos DE

absztrakt pelda:
a(x) \cdot y^{(2)} + b(x) \cdot y' + c(x) \cdot y = f(x)
Ebbol kell a homogen DE megoldasa.
a(x) \cdot y^{(2)} + b(x) \cdot y' + c(x) \cdot y = 0
y^{h} = C1 \cdot y1(x) + C2 \cdot y2(x) // ez ugye az e^{\lambda \cdot x} -os alak
Az inhomogen partikularis megoldasa ebbol az alabbi alakban lesz:
itt C1 es C2 ismeretlenek, y1, es (opcionalisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-bol 'generalodnak' (lasd alabb)
c \cdot | y^{ip} = C1 \cdot y1(x) + C2 \cdot y2(x)
b \cdot | y'^{ip} = C1' \cdot y1(x) + C2 \cdot y2'(x) + C1' \cdot y1(x) + C2 \cdot y2'(x)
// note: C1' \cdot y1(x) + C2 \cdot y2'(x) = 0
a \cdot | y^{(2)}^{ip} = C1' \cdot y1'(x) + C1 \cdot y1^{(2)}(x) + C2' \cdot y2'(x) + C2 \cdot y2^{(2)}(x)
ezt C1, C2-re kell megoldani.
ezutan az inhomogen altalanos megoldas = homogen megoldas + inhomogen partikularis megoldas
Specialis f(x) esetek:
itt A, B^{i} ismeretlenek
f(x) = K \cdot e^{a \cdot x} --> y^{ip} = A \cdot e^{a \cdot x}
f(x) = a^{m}x^{m}+ ... + a^{0} --> y^{ip} = B^{m}x^{m}+ ... + B^{0}
f(x) = K^{1} \cdot sin(a \cdot x) --> y^{ip} = A \cdot sin(a \cdot x) + B \cdot cos(a \cdot x) // tehat bejon egy cos(a \cdot x) is!
f(x) = K^{2} \cdot cos(b \cdot x) --> y^{ip} = A \cdot cos(b \cdot x) + B \cdot sin(b \cdot x) // tehat bejon egy sin(b \cdot x) is!

Konkret pelda:
y^{(2)} - 5 \cdot y' + 6 \cdot y = 2 \cdot sin(2 \cdot x)
\lambda ^{2} - 5 \cdot \lambda + 6 = 0
\lambda ^{1} = 2
\lambda ^{2} = 3
y^{h} = C1 \cdot e^{2 \cdot x} + C2 \cdot e^{3 \cdot x}
y^{ip} = A \cdot f(x) + B \cdot f'(x)

// annyiszor kell derivalni y^{ip}-t, amennyi foku az eredeti DE is (itt 2)
// ha a homogenek kozott szerepel az y^{ip}, akkor kulso rezonancia van!
// tehat y^{ip} \cdot = x, es utana mar lehet derivalni --> ezt kell gyakorolni
// magic: be kell szorozni a derivaltakat az egyutthatokkal
6 \cdot | y^{ip} = A \cdot sin(2 \cdot x) + B \cdot cos(2 \cdot x)
-5 \cdot | y'^{ip} = 2 \cdot A \cdot cos(2 \cdot x) - 2 \cdot B \cdot sin(2 \cdot x)
1 \cdot | y^{(2)}^{ip} = -4 \cdot A \cdot sin(2 \cdot x) - 4 \cdot B \cdot cos(2 \cdot x)
// magic: Ha megnezed, akkor beszoroztam az elejen levo szamokkal ott ahol kellett.
sin(2 \cdot x)-bol 2 volt az eredeti DE-ben, tehat:
2 = 6 \cdot A + 5 \cdot 2 \cdot B - 4 \cdot A
cos(2 \cdot x)-bol 0 volt az eredeti DE-ben, tehat:
0 = 6 \cdot B - 5 \cdot 2 \cdot A - 4 \cdot B
ezekbol:
A = 1 / 26
B = 5 / 26
y^{ia} = C1 \cdot e^{2 \cdot x} + C2 \cdot e^{3 \cdot x} + (1 / 26) \cdot sin(2 \cdot x) + (5 / 26) \cdot cos(2 \cdot x)

Izoklinak

pelda:
y' = e^{y + 2} - x
ebbol magic: K = e^{y + 2} - x
kifejezzuk y-t:
y = ln( x + K ) - 2
Ha kerdeznek lokalis szelso erteket, akkor y'-at kell megvizsgalni helyettesitessel
Az inflexios ponthoz y^{(2)}-at kell megnezni:
y^{(2)} > 0 --> lokalis minimum
y^{(2)} < 0 --> lokalis maximum
Ha parhuzamossagot kerdeznek, akkor a meredekseg = K-val.
Ezekhez ajanlott megnezni par feladatot, es azon ertelmezni :D

Linearis rekurzio

(ez nagyon magic)
megoldas alakja: f(n) = q^{n} // q != 0
pelda:
f(n) = 4 \cdot f \cdot (n - 1) - 3 \cdot f \cdot (n - 2)
ebbol:
q^{n} = 4 \cdot q^{n - 1} - 3 \cdot q^{n - 2}
a legalacsonyabb hatvanyu q-val osztunk.
q^{2} = 4 \cdot q - 3 --> masodfoku
q^{1} = 1
q^{2} = 3
ebbol: f(n) = C1 \cdot 1^{n} + C2 \cdot 3^{n}
Ha O(1) tipusu megoldasok kellenek:
f(n) = O(1): letezik olyan K, hogy |f(n)| <= K \cdot 1, n > N (veges sok kivetel)
tehat: f(n)-nek korlatosnak kell lenni:
C2 = 0

Taylor sorok

// easter egg :D, t.g.o.d.: JrVt10PTD8I
A Taylor sorok arra jok, hogy egy fuggvenyt kozelitsunk a derivaltjai segitsegevel.
Fun fact: ezt regebben arra is hasznaltak, hogy a 'draga' sin/cos es hasonlo fv-eket helyettesitsek egy 'olcso' valtozattal.
f(x) fuggveny x0 bazispontu n-ed foku Taylor polinomja:
$\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(x0)}{k!}}\cdot (x-x0)^{k}$

tehat ahhoz, hogy felirjuk a T-sorat egy fuggvenynek n db derivaltra lesz szukseg.
Analitikus fuggveny: egy intervallumon ananlitikus egy fuggveny, ha ott eloallitja a T-sora

Nevezetes fuggvenyek T-sorai

${\frac {x^{m}}{1-x}}=\sum _{k=m}^{\infty }x^{k}\rightarrow Konvergenciatartomany:|x|<1$
$e^{x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}\rightarrow KT:x\in R$
$ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {x^{k}}{k}}\rightarrow KT:|x|<1$
$(1+x)^{a}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {a}{k}}\cdot x^{k}\rightarrow |x|<1,a\in C$
$\sin(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-1^{k}}{(2\cdot k+1)!}}\cdot x^{2\cdot k+1}\rightarrow KT:x\in R$
$\cos(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-1^{k}}{(2\cdot k)!}}\cdot x^{2\cdot k}\rightarrow KT:x\in R$
$\sinh(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2\cdot k+1)!}}\cdot x^{2\cdot k+1}\rightarrow KT:x\in R$
$\cosh(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2\cdot k)!}}\cdot x^{2\cdot k}\rightarrow KT:x\in R$

Lagrange-hiba becsles

Tehat a hibat meg lehet becsulni az n+1-ik T-sor taggal.
xi eleme lesz az [x ; x0] tartomanynak, erdemes ugy valasztani, hogy egyszeru legyen szamolni (pl x0 altalaban jo)
Lagrange-hiba: ( f^{n + 1}(xi) / (n + 1)! ) \cdot (x - xi)^{n + 1}
Pelda (keresztrol):
y' = sin( y ) + 2 + x
y( x = pi ) = 1
y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell)
felso becsles a hibara?
y'( x = pi ) = sin( 1 ) + 2 + pi // itt az 1 elvileg radianban van --> szamologep!
y^{(2)}( x = pi ) = cos( y ) \cdot y' + 1 = cos( 1 ) \cdot ( sin( 1 ) + 2 + pi ) + 1
T( x0 = pi ) = y( pi ) + y'( pi ) \cdot (x - pi) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) \cdot (x - pi)
y(3) ~= T( x0 = pi, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) \cdot (3 - pi) ~= -0.2 // ezt a tanar nagyon becsulte!
letezik olyan xi, hogy [3 ; pi] tartomanyban van, mivel felso becslest csinalunk, ezert pi-t valaszjuk xi-nek.
hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f^{(2)}(xi) / 2! ) \cdot (3 - pi)^{2} ~= 0.1 // meg ezt is!
tehat a megoldas: -0.2 +- 0.1

Konvergencia tartomany (KT)

Altalaban meg van adva vmi T-sor, szummas alakban. Erre alkalmazzuk a hanyados / gyokkriteriumot.
|a^{n}|^{1/n} vagy | (a^{n} + 1) / a^{n} |
ezutan kijon vmi, ami egyenlo 1 / R-el, kifejezzuk R-t.
az (x - x0) = 0 egyenletbol megkapjuk x-et, ez lesz a KT kozeppontja.
tehat KT = (x - R, x + R)
vegpontokban kulon meg kell nezni:
ha divergens --> (
ha konvergens --> [
kell.
Ha x^{2} van (mar nem tudom hol, nezz ra feladatot :D ), akkor u = x^{2} (helyettesitunk)
a vegen meg kell nezni, hogy a KT jo-e.
a <= u=x^{2} <= b
ez minden x-re teljesul --> |x| < sqrt(a) --> KT: ( -sqrt(a), sqrt(a) )

Fourier-sorok

Megoldas lepesei:
\cdot fel kell rajzolni a fuggvenyt \cdot ha a fuggveny paros --> b^{k} = 0 \cdot ha a fuggveny paratlan --> a^{k} = 0, a0 = 0 \cdot fi(x) = a0 / 2 + sum( a^{k}^{cos(k \cdot x) + sin(k \cdot x)} ) \cdot a^{k} = 1 / pi \cdot \int^{pi}^{-pi} f(x) \cdot cos(k \cdot x) dx // itt k = 0, 1, 2, ... \cdot b^{k} = 1 / pi \cdot \int^{pi}^{-pi} f(x) \cdot sin(k \cdot x) dx // itt k = 0, 1, 2, ... \cdot paratlan \cdot paratlan = paros // ezt mar nem tudom miert volt a lapon :D --> nezzel feladatot \cdot ha [-pi ; 0] es [0 ; pi] kozott ugyanaz a fuggveny, akkor ez paros fuggveny lesz \cdot ekkor eleg [0 ; pi] -ig integralni. A 0 erteku tartomanyokat ezutan ki lehet venni. \cdot ki kell integralni a fuggvenyt \cdot vissza kell helyettesiteni fi(x)-be \cdot fi(x) = f(x) --> be kell helyettesiteni, a szakadasi helyeknel: ( f(x+) + f(x-) ) / 2

Gradiens (aka tobbvaltozos fv-ek derivalasa)

Altalaban adott P0 = (a, b) vektor.
gradf(P0) = f '^{x}(P0) \cdot i + f '^{y}(P0) \cdot j = (f '^{x}, f '^{y}) // itt i, j egysegvektorok
f '^{x} illetve f '^{y} ugy jon ki, hogy x illetve y szerint derivalsz.
Pl ha x szerint derivalsz, akkor y csak egy konstans lesz, nem kell vele foglalkozni.
df/de|P0 = gradf(P0) \cdot e // itt e az egysegvektor, amit altalaban megadnak, neha normalizalni kell, a szorzas a ket vektor komponensek szerinti szorzasa (tehat nem skalar vagy vektor szorzas)
max df/de|P0 = |gradf(P0)| = sqrt((f '^{x})^{2} + (f '^{y})^{2}) // azaz a vektor hossza
a maximum iranya: v = gradf(P0) / |gradf(P0)| // normalizalod
Miert letezik gradf? mert a parcialis derivaltak f 'x es f 'y leteznek es f(x,y) folytonos P0-ban
Akkor totalisan differencialhato, ha a parcialis derivaltak folytonosak P0 pontban, tehat letezik a hatarertekuk // vagy mi :D

f(x,y) P^{0}(x^{0},y^{0}) érintősík egyenlete: f '^{x}(x^{0},y^{0}) \cdot (x - x^{0}) + f '^{y}(x^{0},y^{0}) \cdot (y - y^{0}) + f(x^{0},y^{0}) = z

Megoldási menet kétváltozós szélsőértékszámítás:

1)
Adott f( x,y) kétváltozós függvény

f '^{x} = ....... = 0
f '^{y} = ....... = 0
lehetséges szélsőérték

p^{1}(..,..)
p^{2}(..,..)
p^{3}(..,..)

2)

f ′′xx = ...
f ′′xy = ...
f ′′yy = ...

3)
$D=\left({\begin{matrix}f''_{xx}&f''_{xy}\\f''_{yx}&f''_{yy}\end{matrix}}\right)=...$
Ha D(p1) =......> 0 akkor szélsőérték
Ha D(p1) =......< 0 akkor nem szélsőérték!

Vagy
D = f ′′xx f ′′yy − (f ′′xy)^{2} = ...

4)
f ^{xx}(p1) =.... ha > 0 akkor min vagy ha < 0 akkor max

Korintegral

Ebbol en ket fajtaval talalkoztam:
\cdot amikor az alakzat egy kor \cdot amikor az alakzat egy ellipszis Az integral alakja altalaban:
\int f(z) / (z - z0)^{n + 1} dz
A tartomany alakja:
\cdot |z - a| = x // x sugaru, a kozeppontu kor \cdot |z - a| + |z - b| = x // ez meg egy ellipszis Fel kell rajzolni az alakzatot (az ellipszisnek nezz utana!)
Itt negy eset johet szoba:
\cdot ha z0 a koron kivulre esik, akkor a fuggveny regularis, \int f(z) ds = 0 \cdot ha z0 pont a koron van --> nem ertelmezett az integral \cdot ha z0 a korben van --> \int f(z) / (z - z0)^{n + 1} dz = (2 \cdot pi \cdot i) / n! \cdot f^{(n)}(z0) \cdot ha tobb z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor ketto integral osszegere kell bontani, majd mind a kettore |z|-t ugy kell valasztani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nezz feladatot!), termeszetesen ilyenkor elobb meg kell nezni az elozo harom pontot, hogy esetleg nem ertelmezzuk, kivul esik-e stb. mert akkor nem kell integralni...
Pelda:
\int ( f(z) + 1 / (z + 8) ) dz
tartomany: |z - 2 \cdot i| = 2
tehat a kozeppont = 2 \cdot i
z0 = -8
r = 2
ebbol felrajzoljuk a kort, es akkor latjuk, hogy z0 kivul esik a koron, tehat \int f(z) dz = 0

Pelda2:
\int cos( z ) / ( z^{4} + 8 \cdot z^{2} + 16 ) dz
tartomany: |z + 2| + |z - 2| = 5
tehat ez egy ellipszis lesz, tobb z0 is van.
r = 5
A z0-ok kiszamolasa:
z^{4} + 8 \cdot z^{2} + 16 = (z^{2} + 4) \cdot (z^{2} + 4)
sqrt(z^{2}) = -4
z^{1} = 2 \cdot i
z^{2} = -2 \cdot i
felrajzoljuk:
http://i.imgur.com/oon9cwS.png
Ki kell kiszamolni b hosszat, hogy megtudjuk, hogy a z0-ok merre vannak.
Azt tudjuk, hogy A = -2, B = 2.
Tehat (pitagorasz tetel, huh?): b = sqrt( (R / 2)^{2} - 2^{2} ) = 1.5 // a 2 az A-bol jott, R = 5 ugye
tehat a ket z0 kivul esik, emiatt \int f(z) dz = 0

Erdemes a tobbi tipusra is nezni feladatot!

Alternativ koordinatarendszerek

Polarkoordinatak

Eredetileg ugye egy 2D-s vektor: v = (x, y)
polarban: v = (r, fi)
Atvaltas:
x = r \cdot cos( fi )
y = r \cdot sin( fi )
itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog
r = sqrt( x^{2} + y^{2} )
fi eleme [0 ; 2 \cdot pi]
Jakobi determinans |J|:
|matrix| = r // azaz az alabbi matrix determinansa
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltakbol all, a masodik pedig a fi szerintiekbol. // HF: szamold ki ;)
Ha pl egy integralnal at kell valtani a koordinatarendszert, akkor a fuggvenyt az atvaltas utan be kell szorozni |J|-vel.
ez a tipus hasznos x^{2} + y^{2} esetben (amikor ilyesmi van az integralban)

Hengerkoordinatak

ugyanaz mint a polar csak terben, hozzajon z = z is (nem valtozik)
ez a tipus hasznos x^{2} + y^{2} + z^{2} esetben
|J| ugyanaz mint a polarnal.

Gombikoordinatak

ugyanaz mint a henger, csak itt egy gomb feluleten van az egesz.
atvaltas:
x = r \cdot sin( b ) \cdot cos( fi )
y = r \cdot sin( b ) \cdot sin( fi )
z = r \cdot cos( b )
r = sqrt( x^{2} + y^{2} + z^{2} )
fi eleme [0 ; 2 \cdot pi]
b eleme [0 ; pi] // am a b az beta, de mind1 hogy hivod :D
|J| = r^{2} \cdot sin( b )
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltak (mar 3 elem), a masodik a fi szerinti derivaltak, a harmadik a b szerintiek. // HF: szamold ki ;)

Pelda:
\int\int (2 \cdot x^{2} + 2 \cdot y^{2} + 4)^{7} dT = ?
T: x^{2} + y^{2} <= 9, x <= 0, y >= 0
Itt kerdes a tartomany amin integralni kene.
Jah es van amikor ket alakzat altal bezart teruletet/terfogatot kerdeznek, ekkor ahhoz, hogy megkapd r-t meg kell nezni, hogy hol metszenek ezek (egyenletmegoldas)
T elso reszebol megtudjuk, hogy ez egy kor lesz, illetve, hogy r = 3
A masodik, harmadik reszbol megtudjuk, hogy ennek a kornek a masodik negyedenek a terulete kell.
Tehat fi eleme [pi / 2 ; pi] tartomanynak (itt kell majd integralni)
x = r \cdot cos( fi ) = 3 \cdot cos( fi )
y = r \cdot sin( fi ) = 3 \cdot sin( fi )
Ne felejts el beszorozni |J|-vel!
atvaltas utan:
\int\int r \cdot ( 2 \cdot r^{2} + 4 )^{7} dfidr // tartomany: r: [0 ; 3], fi: [pi / 2 ; pi]
ezt mar ki tudjuk integralni, a megoldas: pi / 64 \cdot ( 22^{8} - 4^{8} )

Pelda2:
Terfogatszamitasos integral.
T: sqrt( x^{2} + y^{2} ) <= z <= 6 - ( x^{2} + y^{2} )
Ilyenkor az integralt \int\int 1 dT-nek kell tekinteni, es itt ki kell talalni, hogy hol integraljunk, illetve, hogy mit ( |J| )
T bal es jobb oldalabol, ha felrajzoljuk, akkor latszik, hogy ez egy ket gorbe kozotti terulet lesz.
Mivel x^{2} es y^{2} illetve z van, ezert hengerkoordinatakat fogunk hasznalni. (azert nem gombit, mert az bonyolultabb)
T polarral: R <= z <= 6 - R^{2}
amint az elozo peldanal emlitettem, itt meg kell nezni, hogy hol talalkozik a ket gorbe.
R = 6 - R^{2} --> masodfoku, R^{1} = -3, R^{2} = 2, ebbol a -3 nem valoszinu, hogy jo.
Tehat az integral a kovetkezo lesz:
\int\int\int r dzdrdfi, a tartomany:
z: [r ; 6 - r^{2} // ezzel nem tudunk mit csinalni, viszont meg igy is szamolhato lesz.
r: [0 ; 2]
fi: [0 ; 2 \cdot pi] // mivel nem mondtak meg, hogy ezzel mi legyen, ezert az alapertelmezett tartomanyt hasznaljuk.
Innen ez mar siman kiintegralhato, nekem 33.51 jott ki.

Pelda3:
Tartomanycseres integral.
\int\int (1 + x^{3})^{1 / 5} dxdy
T: x: [sqrt(y) / 2 ; 2], y: [0 ; 16]
Ha felrajzoljuk a tartomanyt, akkor lathatjuk, hogy ez valami vitorla alaku ize lesz.
Mikkmakkrol tanult GTK-s (elforditod a koordinatarendszert, mert az milyen jo...) modszerrel a tartomany elso felenel:
kifejezzuk y-t: y = (2 \cdot x)^{2}
Tehat ami tortent az az, hogy x(y)-bol attranszformaltuk y(x)-re (tehat GTK-s bol a normalira)
Ha ranezunk a rajzra, akkor lathatjuk, hogy x: [0 ; 2] lesz.
Tehat az integral a kovetkezo lesz:
\int\int (1 + x^{3})^{1 / 5} dydx
T: x: [0 ; 2], y: [0 ; (2 \cdot x)^{2}]
Innen ez is siman kiintegralhato.

Komplex fuggvenytan

Komplex szamok

z = x + i \cdot y // itt x a valos resz, y a kepzetes, i = sqrt(-1)
f komplex diffható mindenhol --> u,v harmonikus fv-ek --> delta u = u ' '^{xx} + u ' '^{yy} = 0

Azonossagok:
|z| = sqrt( x^{2} + y^{2} )
/z = x - i \cdot y // konjugalt
|z1 \cdot z2| = |z1| \cdot |z2|
|z1 / z2| = |z1| / |z2|
|z|^{2} = z \cdot /z
|z| = |/z|
arg(z) = -arg(/z) // arg(z): az x tengellyel bezart szog, trigonometrikusnal fi
/(z1 + z2) = /z1 + /z2

Trigonometrikus alak:
z = r \cdot ( cos(fi) + i \cdot sin(fi) ) // itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog
r = |z|
fi = arg(z) // fi: [-pi ; pi]

Exponencialis alak:
z = r \cdot e^{fi \cdot i} // ugy lehet megjegyezni, hogy Reffy J. (mar akit tanitott)

Komplex szorzas:
z1 \cdot z2 = r1 \cdot r2 \cdot ( cos(fi + b) + i \cdot sin(fi + b) ) = r1 \cdot r2 \cdot e^{(fi + b) \cdot i}

Osztas:
z1 / z2 = r1 / r2 \cdot ( cos(fi - b) + i \cdot sin(fi - b) ) = r1 / r2 \cdot e^{(fi - b) \cdot i}

Hatvanyozas:
z^{n} = r^{n} \cdot ( cos(fi \cdot n) + i \cdot sin(fi \cdot n) )

Gyokvonas:
z^{1 / n} = r^{1 / n} \cdot e^{( (fi + 2 \cdot k \cdot pi) / n ) \cdot i} = r^{1 / n} \cdot ( cos( (fi + 2 \cdot k \cdot pi) / n ) + i \cdot sin( (fi + 2 \cdot k \cdot pi) / n ) )

Euler-formula:
e^{i \cdot fi} = cos(fi) + i \cdot sin(fi) // erre nezz feladatot!

Harmonikus fuggvenyek

f(z) = u(x, y) + i \cdot v(x, y) //azaz u a valos resz, v a kepzetes resz (fuggveny)
Azonossagok:
u'x = v'y
u'y = -v'x
u^{(2)}xx = v^{(2)}yx
u^{(2)}yy = -v^{(2)}xy
u^{(2)}xy = v^{(2)}yy
u^{(2)}yx = -v^{(2)}xx
Young tetel: ha egy pont kornyeken a >= 2 foku parcialis derivaltak leteznek es folytonosak, akkor fuggetlenek a derivalas sorrendjetol. Tehat xy es yx ugyanaz lesz.
deltau = u^{(2)}xx + u^{(2)}yy
Lokalis szelso ertekek:
van, ha f'x = f'y = 0, es // szukseges feltetel
|f^{(2)}xx f^{(2)}xy|
|f^{(2)}yx f^{(2)}yy|
|det| > 0
Ha f^{(2)}xx > 0 --> lokalis minimum
Ha f^{(2)}xx < 0 --> lokalis maximum
// note: neha a valos reszbol kell a kepzetest kiszamolni. Ilyenkor kiszamolod az elso foku derivaltakat, abbol ugye megkapod a kepzetes elso foku derivaltjait, ezt viszont vissza lehet integralni. --> erre nezz feladatot

← Vissza az előző oldalra – Analízis II.