Szerkesztő:Hegyi Zsolt Gábor

Wiki szerkesztői pályázathoz

- Saját BSz1 jegyzet belinkelve és a forráskódja

- Saját BSz2 jegyzet belinkelve és a forráskódja

- Anal2 magic LaTeX (lentebb)

Anal2 magicjegyzet LaTeX-esitve

Fontos

Ezen tippeket és trükköket az eredeti szerző 2 félév alatt, egyenes és kereszt viszontagságain keresztül gyűjtötte. A jegyzet elolvasása a gyakorlást NEM helyettesíti. Amennyiben hibát találsz ebben az összefoglalóban, akkor kérlek, hogy jelezd az egyik szerkesztőnek vagy javítsd ki a hibát. Deriválttábla természetesen nem árt.

Alapok

Azonosságok, amiket jó, ha tudsz

[math]sin^2(x) + cos^2(x) = 1[/math]
[math]cosh^{2}(x) - sinh^{2}(x) = 1[/math]
[math]sin(2x) = 2 \cdot sin(x) \cdot cos(x)[/math]
[math]sin(x + y) = sin(x) \cdot cos(y) + cos(x) \cdot sin(y)[/math]

[math]sin(x ‒ y) = sin(x) \cdot cos(y) - cos(x) \cdot sin(y)[/math]

[math]cos(x ‒ y) = cos(x) \cdot cos(y) + sin(x) \cdot sin(y)[/math]

[math]cos(x + y) = cos(x) \cdot cos(y) - sin(x) \cdot sin(y)[/math]

[math]sinh(a+b) = sinh(a) \cdot cosh(b) + cosh(a) \cdot sinh(b)[/math] // sincos-cossin (h)

[math]cosh(a+b) = cosh(a) \cdot cosh(b) + sinh(a) \cdot sinh(b)[/math] // coscos-sinsin (h)

[math]\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x}{sin(x)} = 1[/math] // Analízis 1.-ből

[math]\lim_{x\rightarrow 0} \frac{sin(x)}{x} = 1[/math]

[math]f'(x_{0}) = \lim_{x-\gt 0} ( f(x) - f(x_{0}) ) / (x - x_{0})[/math]

[math]f'(x_{0}) = \lim_{\Delta x-\gt 0} \frac{( f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0}) )}{\Delta x}[/math]

[math]cosh(x) = \frac{( e^{x} + e^{-x} )}{2}[/math]

[math]sinh(x) = \frac{( e^{x} - e^{-x} )}{2}[/math]

Deriválás

[math]f'(c \cdot x) = c \cdot f'(x)[/math] // konstanssal szorzás

[math](f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)[/math] // összeadás

[math](f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + g'(x) \cdot f(x)[/math] // szorzás

[math](f / g)'(x) = \frac{( f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x) )}{g^{2}(x)}[/math] // osztás

[math]f'( g(x) ) = f'( g(x) ) \cdot g'(x)[/math] // összetett függvény

[math](f^{-1})'(x) = \frac{1}{( f'( f^{-1}(x) ) )}[/math] // inverz függvény


Érintő egyenes egyenlete: [math]f(x) = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x - x_0)[/math]

Integrálás

[math]\int f(x) dx = F(x) + C[/math]

[math]\int f( fi(x) ) \cdot fi'(x) dx = F( fi(x) ) + C[/math]

[math]\int f^{a}(x) \cdot f'(x) dx = \frac{( f(x)^{a + 1} )}{(a + 1)} + C[/math] // a != -1

[math]\int e^{f(x)} \cdot f'(x) dx = e^{f(x)} + C[/math]

[math]\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = ln| f(x) | + C[/math]

[math]\int f' \cdot g dx = f \cdot g - \int f\cdot g'[/math] // parciális integrálás

[math]\int (a \cdot x + b) dx = \frac{F(a \cdot x + b)}{a} + C[/math] // a != 0


Helyettesítéses integrál:
[math]\int f(x) dx[/math] // Ez egy bonyolult integrál
[math]u = f(x)[/math] // Ez lesz a helyettesítés
[math]du = f'(x)[/math] // Lederiválod f(x)-et, mert le kell vele osztani
[math]\int \frac{u}{f'(x)} du[/math] = kijön valami --> visszahelyettesítesz

Parciális törtekre bontással való integrálás
WIP

Differenciálegyenletek (DE)

Szeparábilis DE-k

[math]y'(x) = g(y) \cdot f(x)[/math] // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x)
Meg kell nézni, hogy g(y) mikor lesz 0
[math]g(y) = 0[/math]
Megoldod, ha van megoldás, akkor az egy megoldása lesz a differenciálegyenletnek!

[math]\int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx[/math]

Ebből kijön, hogy: [math]y = K \cdot h(x)[/math] // itt a [math]K = e^{C}[/math] ; C az integrálás során keletkezik
Néha nem ilyen alakban kérik, de azt jelezni szokták.

Lineáris DE-k

[math]y'(x) + g(x) \cdot y = f(x) [/math]// ilyen alakban kell keresni

[math]y'(x) + g(x) \cdot y = 0 [/math]// homogén lineáris DE --> innen szeparábilis, megoldható

[math]y = K \cdot h(x) [/math] az inhomogén általánoshoz kell K(x) is

[math]K(x) = \int f(x) / h(x) dx[/math]
//inhomogén általános megoldása
[math]y_{ia} = K \cdot h(x) + K(x) \cdot h(x)[/math] // homogén + inhomogén partikuláris megoldás
Kezdeti érték probléma: behelyettesítesz, kijön: [math]K = valami[/math]
K-t visszahelyettesíted [math]y^{ia}[/math]-ba --> megkapod: [math]y^{konkret}[/math]

DE helyettesítéssel

Példán keresztül bemutatva:
[math]y' = \frac{1}{(x + y)}[/math]
Ezt nehéz lenne bármelyik kategóriába besorolni, így helyettesítést kell használni
Simán meg szokták adni, hogy mivel kell, de ha nem, akkor a lehetséges helyettesítések:
[math]u = x + y[/math]

[math]u = y / x[/math]

Ehhez a feladathoz az elsőt választjuk. A célunk az, hogy az egyenletben ne legyen csak u alapú változó. Tehát:
[math]u = x + y[/math]
kifejezzük y-t:
[math]y = u - x[/math]
lederiváljuk:
[math]y' = u' - 1[/math]
Tehát mostmár minden változó u, x+y megvan, behelyettesítünk:
[math]u' - 1 = \frac{1}{u}[/math]
kicsit rendezzük:
[math]u' = 1 + \frac{1}{u} = (u + 1) / u[/math]
Ez tehat szeparábilis, g(y) helyett g(u) van, f(x)-et pedig 1 fogja jelképezni.
Megnézzük a 0-ra vonatkozó megoldást:
[math]g(u) = \frac{u+1}{u} = 0[/math]

[math]u = -1[/math]
Tehát visszahelyettesítve: [math]y = -1 - x[/math] egy megoldása lesz a DE-nek.
Tovább haladunk a megoldással:
[math]\int \frac{u}{(u + 1)} du = \int 1 dx[/math]
A második fele: [math]x + C[/math]
Az első fele:
[math]\int \frac{u}{(u + 1)} du = \int \frac{(u + 1 - 1)}{(u + 1)} du = \int 1 - ( \frac{1}{(u + 1)} ) du = u - ln| u + 1 | + C[/math]

Ezekből:
[math]u - ln| u + 1 | = x + C[/math]--> visszahelyettesítünk

[math]x + y - ln| x + y + 1 | = x + c[/math]

Homogén lineáris, állandó együtthatós DE

Megoldás: [math]C \cdot e^{\lambda\cdot x}[/math] alakban kell keresni. De néha bejön cos/sin is mellé, hogy ne legyen egyszerű.
Példa:
[math]y^{(3)} + 2 \cdot y^{(2)} + y' = 0[/math]

[math]\lambda ^{3} + 2 \cdot \lambda ^{2} + \lambda = 0[/math]

[math]\lambda \cdot ( \lambda ^{2} + 2 \cdot \lambda + 1 ) = 0[/math] // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatvanya (itt 1)

[math]\lambda \cdot ( \lambda + 1 )^{2} = 0[/math]

első feléből [math]\lambda ^{1} = 0[/math]
második feléből [math]\lambda ^{2} = -1[/math]
DE 3 megoldás kell!!!
ilyenkor a homogén megoldáshoz hozzárakunk még x-el beszorzott tagokat

[math]y^{h} = C_1 \cdot e^{0 \cdot x} + C_2 \cdot e^{-1 \cdot x} + C_3 \cdot x \cdot e^{-1 \cdot x}[/math]

Példa 2:
[math]y^{(3)} + 4 \cdot y^{(2)} + 13 \cdot y' = 0[/math]

[math]\lambda ^{3} + 4 \cdot \lambda ^{2} + 13 \cdot \lambda = 0[/math] // kiemelsz \lambda -et

[math]\lambda ( \lambda ^{2} + 4 \cdot \lambda + 13 ) = 0[/math]

[math]\lambda ( (\lambda + 2)^{2} + 9 ) = 0[/math]

elso felebol [math]\lambda ^{1} = 0[/math]
masodik felebol:
[math]-9 = (\lambda + 2)^{2}\lt [/math]
br /> [math]-9^{1/2} = \lambda + 2[/math]

[math]-9^{1/2} - 2 = \lambda [/math]

[math]3\cdot i - 2 = \lambda [/math] //ket darab komplex megoldas lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldasba

[math]-3\cdot i - 2 = \lambda [/math]

[math]y^{h} = C1 \cdot e^{0 \cdot x} + C2 \cdot e^{-2 \cdot x} \cdot cos(3 \cdot x) + C3 \cdot e^{-2 \cdot x} \cdot sin(3 \cdot x)[/math]
Tehát a valós rész lesz a [math]\lambda[/math] , a képzetes rész pedig a cos/sin (pozitív/negatív) belseje

Pelda3:
adott egy megoldas: 2 \cdot e^{5 \cdot x} - e^{-3 \cdot x}
ebbol kell a DE-et felirni.
ebbol rogton latjuk is, hogy \lambda ^{1} = 5
\lambda ^{2} = -3
tehat ebbol kovetkeztethetunk a karakterisztikus egyenletre:
(\lambda - 5) \cdot (\lambda + 3) = 0
innentol 'csak' at kell rendezni, es megoldani
\lambda ^{2} + 3 \cdot \lambda - 5 \cdot \lambda - 15 = 0
\lambda ^{2} - 2 \cdot \lambda - 15 = 0
y^{(2)} - 2 \cdot y - 15 = 0

Inhomogen linearis, allando egyutthatos DE

absztrakt pelda:
a(x) \cdot y^{(2)} + b(x) \cdot y' + c(x) \cdot y = f(x)
Ebbol kell a homogen DE megoldasa.
a(x) \cdot y^{(2)} + b(x) \cdot y' + c(x) \cdot y = 0
y^{h} = C1 \cdot y1(x) + C2 \cdot y2(x) // ez ugye az e^{\lambda \cdot x} -os alak
Az inhomogen partikularis megoldasa ebbol az alabbi alakban lesz:
itt C1 es C2 ismeretlenek, y1, es (opcionalisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-bol 'generalodnak' (lasd alabb)
c \cdot | y^{ip} = C1 \cdot y1(x) + C2 \cdot y2(x)
b \cdot | y'^{ip} = C1' \cdot y1(x) + C2 \cdot y2'(x) + C1' \cdot y1(x) + C2 \cdot y2'(x)
// note: C1' \cdot y1(x) + C2 \cdot y2'(x) = 0
a \cdot | y^{(2)}^{ip} = C1' \cdot y1'(x) + C1 \cdot y1^{(2)}(x) + C2' \cdot y2'(x) + C2 \cdot y2^{(2)}(x)
ezt C1, C2-re kell megoldani.
ezutan az inhomogen altalanos megoldas = homogen megoldas + inhomogen partikularis megoldas
Specialis f(x) esetek:
itt A, B^{i} ismeretlenek
f(x) = K \cdot e^{a \cdot x} --> y^{ip} = A \cdot e^{a \cdot x}
f(x) = a^{m}x^{m}+ ... + a^{0} --> y^{ip} = B^{m}x^{m}+ ... + B^{0}
f(x) = K^{1} \cdot sin(a \cdot x) --> y^{ip} = A \cdot sin(a \cdot x) + B \cdot cos(a \cdot x) // tehat bejon egy cos(a \cdot x) is!
f(x) = K^{2} \cdot cos(b \cdot x) --> y^{ip} = A \cdot cos(b \cdot x) + B \cdot sin(b \cdot x) // tehat bejon egy sin(b \cdot x) is!

Konkret pelda:
y^{(2)} - 5 \cdot y' + 6 \cdot y = 2 \cdot sin(2 \cdot x)
\lambda ^{2} - 5 \cdot \lambda + 6 = 0
\lambda ^{1} = 2
\lambda ^{2} = 3
y^{h} = C1 \cdot e^{2 \cdot x} + C2 \cdot e^{3 \cdot x}
y^{ip} = A \cdot f(x) + B \cdot f'(x)

// annyiszor kell derivalni y^{ip}-t, amennyi foku az eredeti DE is (itt 2)
// ha a homogenek kozott szerepel az y^{ip}, akkor kulso rezonancia van!
// tehat y^{ip} \cdot = x, es utana mar lehet derivalni --> ezt kell gyakorolni
// magic: be kell szorozni a derivaltakat az egyutthatokkal
6 \cdot | y^{ip} = A \cdot sin(2 \cdot x) + B \cdot cos(2 \cdot x)
-5 \cdot | y'^{ip} = 2 \cdot A \cdot cos(2 \cdot x) - 2 \cdot B \cdot sin(2 \cdot x)
1 \cdot | y^{(2)}^{ip} = -4 \cdot A \cdot sin(2 \cdot x) - 4 \cdot B \cdot cos(2 \cdot x)
// magic: Ha megnezed, akkor beszoroztam az elejen levo szamokkal ott ahol kellett.
sin(2 \cdot x)-bol 2 volt az eredeti DE-ben, tehat:
2 = 6 \cdot A + 5 \cdot 2 \cdot B - 4 \cdot A
cos(2 \cdot x)-bol 0 volt az eredeti DE-ben, tehat:
0 = 6 \cdot B - 5 \cdot 2 \cdot A - 4 \cdot B
ezekbol:
A = 1 / 26
B = 5 / 26
y^{ia} = C1 \cdot e^{2 \cdot x} + C2 \cdot e^{3 \cdot x} + (1 / 26) \cdot sin(2 \cdot x) + (5 / 26) \cdot cos(2 \cdot x)

Izoklinak

pelda:
y' = e^{y + 2} - x
ebbol magic: K = e^{y + 2} - x
kifejezzuk y-t:
y = ln( x + K ) - 2
Ha kerdeznek lokalis szelso erteket, akkor y'-at kell megvizsgalni helyettesitessel
Az inflexios ponthoz y^{(2)}-at kell megnezni:
y^{(2)} > 0 --> lokalis minimum
y^{(2)} < 0 --> lokalis maximum
Ha parhuzamossagot kerdeznek, akkor a meredekseg = K-val.
Ezekhez ajanlott megnezni par feladatot, es azon ertelmezni :D

Linearis rekurzio

(ez nagyon magic)
megoldas alakja: f(n) = q^{n} // q != 0
pelda:
f(n) = 4 \cdot f \cdot (n - 1) - 3 \cdot f \cdot (n - 2)
ebbol:
q^{n} = 4 \cdot q^{n - 1} - 3 \cdot q^{n - 2}
a legalacsonyabb hatvanyu q-val osztunk.
q^{2} = 4 \cdot q - 3 --> masodfoku
q^{1} = 1
q^{2} = 3
ebbol: f(n) = C1 \cdot 1^{n} + C2 \cdot 3^{n}
Ha O(1) tipusu megoldasok kellenek:
f(n) = O(1): letezik olyan K, hogy |f(n)| <= K \cdot 1, n > N (veges sok kivetel)
tehat: f(n)-nek korlatosnak kell lenni:
C2 = 0

Taylor sorok

// easter egg :D, t.g.o.d.: JrVt10PTD8I
A Taylor sorok arra jok, hogy egy fuggvenyt kozelitsunk a derivaltjai segitsegevel.
Fun fact: ezt regebben arra is hasznaltak, hogy a 'draga' sin/cos es hasonlo fv-eket helyettesitsek egy 'olcso' valtozattal.
f(x) fuggveny x0 bazispontu n-ed foku Taylor polinomja:
[math] \sum_{k=0}^{n} \frac {f^{(k)}(x0)} { k!} \cdot (x - x0)^k [/math]

tehat ahhoz, hogy felirjuk a T-sorat egy fuggvenynek n db derivaltra lesz szukseg.
Analitikus fuggveny: egy intervallumon ananlitikus egy fuggveny, ha ott eloallitja a T-sora

Nevezetes fuggvenyek T-sorai

[math]\frac {x^m} {1-x} = \sum_{k=m}^{\infty} x^k \rightarrow Konvergencia tartomany: |x| \lt 1 [/math]
[math]e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {x^k} { k!} \rightarrow KT: x \in R [/math]
[math]ln(1+x) = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{x^{k}}{k} \rightarrow KT :|x| \lt 1 [/math]
[math](1 + x)^a = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{a}{k}\cdot x^k \rightarrow |x| \lt 1, a \in C [/math]
[math]\sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 \cdot k + 1)!} \cdot x^{2 \cdot k + 1} \rightarrow KT: x \in R[/math]
[math]\cos(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 \cdot k)!} \cdot x^{2 \cdot k } \rightarrow KT: x \in R [/math]
[math]\sinh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 \cdot k+1)!} \cdot x^{2 \cdot k + 1} \rightarrow KT: x \in R [/math]
[math]\cosh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 \cdot k)!} \cdot x^{2 \cdot k } \rightarrow KT: x \in R [/math]

Lagrange-hiba becsles

Tehat a hibat meg lehet becsulni az n+1-ik T-sor taggal.
xi eleme lesz az [x ; x0] tartomanynak, erdemes ugy valasztani, hogy egyszeru legyen szamolni (pl x0 altalaban jo)
Lagrange-hiba: ( f^{n + 1}(xi) / (n + 1)! ) \cdot (x - xi)^{n + 1}
Pelda (keresztrol):
y' = sin( y ) + 2 + x
y( x = pi ) = 1
y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell)
felso becsles a hibara?
y'( x = pi ) = sin( 1 ) + 2 + pi // itt az 1 elvileg radianban van --> szamologep!
y^{(2)}( x = pi ) = cos( y ) \cdot y' + 1 = cos( 1 ) \cdot ( sin( 1 ) + 2 + pi ) + 1
T( x0 = pi ) = y( pi ) + y'( pi ) \cdot (x - pi) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) \cdot (x - pi)
y(3) ~= T( x0 = pi, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) \cdot (3 - pi) ~= -0.2 // ezt a tanar nagyon becsulte!
letezik olyan xi, hogy [3 ; pi] tartomanyban van, mivel felso becslest csinalunk, ezert pi-t valaszjuk xi-nek.
hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f^{(2)}(xi) / 2! ) \cdot (3 - pi)^{2} ~= 0.1 // meg ezt is!
tehat a megoldas: -0.2 +- 0.1

Konvergencia tartomany (KT)

Altalaban meg van adva vmi T-sor, szummas alakban. Erre alkalmazzuk a hanyados / gyokkriteriumot.
|a^{n}|^{1/n} vagy | (a^{n} + 1) / a^{n} |
ezutan kijon vmi, ami egyenlo 1 / R-el, kifejezzuk R-t.
az (x - x0) = 0 egyenletbol megkapjuk x-et, ez lesz a KT kozeppontja.
tehat KT = (x - R, x + R)
vegpontokban kulon meg kell nezni:
ha divergens --> (
ha konvergens --> [
kell.
Ha x^{2} van (mar nem tudom hol, nezz ra feladatot :D ), akkor u = x^{2} (helyettesitunk)
a vegen meg kell nezni, hogy a KT jo-e.
a <= u=x^{2} <= b
ez minden x-re teljesul --> |x| < sqrt(a) --> KT: ( -sqrt(a), sqrt(a) )

Fourier-sorok

Megoldas lepesei:
\cdot fel kell rajzolni a fuggvenyt \cdot ha a fuggveny paros --> b^{k} = 0 \cdot ha a fuggveny paratlan --> a^{k} = 0, a0 = 0 \cdot fi(x) = a0 / 2 + sum( a^{k}^{cos(k \cdot x) + sin(k \cdot x)} ) \cdot a^{k} = 1 / pi \cdot \int^{pi}^{-pi} f(x) \cdot cos(k \cdot x) dx // itt k = 0, 1, 2, ... \cdot b^{k} = 1 / pi \cdot \int^{pi}^{-pi} f(x) \cdot sin(k \cdot x) dx // itt k = 0, 1, 2, ... \cdot paratlan \cdot paratlan = paros // ezt mar nem tudom miert volt a lapon :D --> nezzel feladatot \cdot ha [-pi ; 0] es [0 ; pi] kozott ugyanaz a fuggveny, akkor ez paros fuggveny lesz \cdot ekkor eleg [0 ; pi] -ig integralni. A 0 erteku tartomanyokat ezutan ki lehet venni. \cdot ki kell integralni a fuggvenyt \cdot vissza kell helyettesiteni fi(x)-be \cdot fi(x) = f(x) --> be kell helyettesiteni, a szakadasi helyeknel: ( f(x+) + f(x-) ) / 2

Gradiens (aka tobbvaltozos fv-ek derivalasa)

Altalaban adott P0 = (a, b) vektor.
gradf(P0) = f '^{x}(P0) \cdot i + f '^{y}(P0) \cdot j = (f '^{x}, f '^{y}) // itt i, j egysegvektorok
f '^{x} illetve f '^{y} ugy jon ki, hogy x illetve y szerint derivalsz.
Pl ha x szerint derivalsz, akkor y csak egy konstans lesz, nem kell vele foglalkozni.
df/de|P0 = gradf(P0) \cdot e // itt e az egysegvektor, amit altalaban megadnak, neha normalizalni kell, a szorzas a ket vektor komponensek szerinti szorzasa (tehat nem skalar vagy vektor szorzas)
max df/de|P0 = |gradf(P0)| = sqrt((f '^{x})^{2} + (f '^{y})^{2}) // azaz a vektor hossza
a maximum iranya: v = gradf(P0) / |gradf(P0)| // normalizalod
Miert letezik gradf? mert a parcialis derivaltak f 'x es f 'y leteznek es f(x,y) folytonos P0-ban
Akkor totalisan differencialhato, ha a parcialis derivaltak folytonosak P0 pontban, tehat letezik a hatarertekuk // vagy mi :D

f(x,y) P^{0}(x^{0},y^{0}) érintősík egyenlete: f '^{x}(x^{0},y^{0}) \cdot (x - x^{0}) + f '^{y}(x^{0},y^{0}) \cdot (y - y^{0}) + f(x^{0},y^{0}) = z

Megoldási menet kétváltozós szélsőértékszámítás:

1)
Adott f( x,y) kétváltozós függvény

f '^{x} = ....... = 0
f '^{y} = ....... = 0
lehetséges szélsőérték

p^{1}(..,..)
p^{2}(..,..)
p^{3}(..,..)

2)

f ′′xx = ...
f ′′xy = ...
f ′′yy = ...

3)
[math] D= \left (\begin{matrix} f'' _{xx} & f'' _{xy} \\ f'' _{yx} & f'' _{yy} \end{matrix} \right) = ... [/math]
Ha D(p1) =......> 0 akkor szélsőérték
Ha D(p1) =......< 0 akkor nem szélsőérték!

Vagy
D = f ′′xx f ′′yy − (f ′′xy)^{2} = ...

4)
f ^{xx}(p1) =.... ha > 0 akkor min vagy ha < 0 akkor max

Korintegral

Ebbol en ket fajtaval talalkoztam:
\cdot amikor az alakzat egy kor \cdot amikor az alakzat egy ellipszis Az integral alakja altalaban:
\int f(z) / (z - z0)^{n + 1} dz
A tartomany alakja:
\cdot |z - a| = x // x sugaru, a kozeppontu kor \cdot |z - a| + |z - b| = x // ez meg egy ellipszis Fel kell rajzolni az alakzatot (az ellipszisnek nezz utana!)
Itt negy eset johet szoba:
\cdot ha z0 a koron kivulre esik, akkor a fuggveny regularis, \int f(z) ds = 0 \cdot ha z0 pont a koron van --> nem ertelmezett az integral \cdot ha z0 a korben van --> \int f(z) / (z - z0)^{n + 1} dz = (2 \cdot pi \cdot i) / n! \cdot f^{(n)}(z0) \cdot ha tobb z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor ketto integral osszegere kell bontani, majd mind a kettore |z|-t ugy kell valasztani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nezz feladatot!), termeszetesen ilyenkor elobb meg kell nezni az elozo harom pontot, hogy esetleg nem ertelmezzuk, kivul esik-e stb. mert akkor nem kell integralni...
Pelda:
\int ( f(z) + 1 / (z + 8) ) dz
tartomany: |z - 2 \cdot i| = 2
tehat a kozeppont = 2 \cdot i
z0 = -8
r = 2
ebbol felrajzoljuk a kort, es akkor latjuk, hogy z0 kivul esik a koron, tehat \int f(z) dz = 0

Pelda2:
\int cos( z ) / ( z^{4} + 8 \cdot z^{2} + 16 ) dz
tartomany: |z + 2| + |z - 2| = 5
tehat ez egy ellipszis lesz, tobb z0 is van.
r = 5
A z0-ok kiszamolasa:
z^{4} + 8 \cdot z^{2} + 16 = (z^{2} + 4) \cdot (z^{2} + 4)
sqrt(z^{2}) = -4
z^{1} = 2 \cdot i
z^{2} = -2 \cdot i
felrajzoljuk:

Ki kell kiszamolni b hosszat, hogy megtudjuk, hogy a z0-ok merre vannak.
Azt tudjuk, hogy A = -2, B = 2.
Tehat (pitagorasz tetel, huh?): b = sqrt( (R / 2)^{2} - 2^{2} ) = 1.5 // a 2 az A-bol jott, R = 5 ugye
tehat a ket z0 kivul esik, emiatt \int f(z) dz = 0

Erdemes a tobbi tipusra is nezni feladatot!

Alternativ koordinatarendszerek

Polarkoordinatak

Eredetileg ugye egy 2D-s vektor: v = (x, y)
polarban: v = (r, fi)
Atvaltas:
x = r \cdot cos( fi )
y = r \cdot sin( fi )
itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog
r = sqrt( x^{2} + y^{2} )
fi eleme [0 ; 2 \cdot pi]
Jakobi determinans |J|:
|matrix| = r // azaz az alabbi matrix determinansa
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltakbol all, a masodik pedig a fi szerintiekbol. // HF: szamold ki ;)
Ha pl egy integralnal at kell valtani a koordinatarendszert, akkor a fuggvenyt az atvaltas utan be kell szorozni |J|-vel.
ez a tipus hasznos x^{2} + y^{2} esetben (amikor ilyesmi van az integralban)

Hengerkoordinatak

ugyanaz mint a polar csak terben, hozzajon z = z is (nem valtozik)
ez a tipus hasznos x^{2} + y^{2} + z^{2} esetben
|J| ugyanaz mint a polarnal.

Gombikoordinatak

ugyanaz mint a henger, csak itt egy gomb feluleten van az egesz.
atvaltas:
x = r \cdot sin( b ) \cdot cos( fi )
y = r \cdot sin( b ) \cdot sin( fi )
z = r \cdot cos( b )
r = sqrt( x^{2} + y^{2} + z^{2} )
fi eleme [0 ; 2 \cdot pi]
b eleme [0 ; pi] // am a b az beta, de mind1 hogy hivod :D
|J| = r^{2} \cdot sin( b )
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltak (mar 3 elem), a masodik a fi szerinti derivaltak, a harmadik a b szerintiek. // HF: szamold ki ;)

Pelda:
\int\int (2 \cdot x^{2} + 2 \cdot y^{2} + 4)^{7} dT = ?
T: x^{2} + y^{2} <= 9, x <= 0, y >= 0
Itt kerdes a tartomany amin integralni kene.
Jah es van amikor ket alakzat altal bezart teruletet/terfogatot kerdeznek, ekkor ahhoz, hogy megkapd r-t meg kell nezni, hogy hol metszenek ezek (egyenletmegoldas)
T elso reszebol megtudjuk, hogy ez egy kor lesz, illetve, hogy r = 3
A masodik, harmadik reszbol megtudjuk, hogy ennek a kornek a masodik negyedenek a terulete kell.
Tehat fi eleme [pi / 2 ; pi] tartomanynak (itt kell majd integralni)
x = r \cdot cos( fi ) = 3 \cdot cos( fi )
y = r \cdot sin( fi ) = 3 \cdot sin( fi )
Ne felejts el beszorozni |J|-vel!
atvaltas utan:
\int\int r \cdot ( 2 \cdot r^{2} + 4 )^{7} dfidr // tartomany: r: [0 ; 3], fi: [pi / 2 ; pi]
ezt mar ki tudjuk integralni, a megoldas: pi / 64 \cdot ( 22^{8} - 4^{8} )

Pelda2:
Terfogatszamitasos integral.
T: sqrt( x^{2} + y^{2} ) <= z <= 6 - ( x^{2} + y^{2} )
Ilyenkor az integralt \int\int 1 dT-nek kell tekinteni, es itt ki kell talalni, hogy hol integraljunk, illetve, hogy mit ( |J| )
T bal es jobb oldalabol, ha felrajzoljuk, akkor latszik, hogy ez egy ket gorbe kozotti terulet lesz.
Mivel x^{2} es y^{2} illetve z van, ezert hengerkoordinatakat fogunk hasznalni. (azert nem gombit, mert az bonyolultabb)
T polarral: R <= z <= 6 - R^{2}
amint az elozo peldanal emlitettem, itt meg kell nezni, hogy hol talalkozik a ket gorbe.
R = 6 - R^{2} --> masodfoku, R^{1} = -3, R^{2} = 2, ebbol a -3 nem valoszinu, hogy jo.
Tehat az integral a kovetkezo lesz:
\int\int\int r dzdrdfi, a tartomany:
z: [r ; 6 - r^{2} // ezzel nem tudunk mit csinalni, viszont meg igy is szamolhato lesz.
r: [0 ; 2]
fi: [0 ; 2 \cdot pi] // mivel nem mondtak meg, hogy ezzel mi legyen, ezert az alapertelmezett tartomanyt hasznaljuk.
Innen ez mar siman kiintegralhato, nekem 33.51 jott ki.

Pelda3:
Tartomanycseres integral.
\int\int (1 + x^{3})^{1 / 5} dxdy
T: x: [sqrt(y) / 2 ; 2], y: [0 ; 16]
Ha felrajzoljuk a tartomanyt, akkor lathatjuk, hogy ez valami vitorla alaku ize lesz.
Mikkmakkrol tanult GTK-s (elforditod a koordinatarendszert, mert az milyen jo...) modszerrel a tartomany elso felenel:
kifejezzuk y-t: y = (2 \cdot x)^{2}
Tehat ami tortent az az, hogy x(y)-bol attranszformaltuk y(x)-re (tehat GTK-s bol a normalira)
Ha ranezunk a rajzra, akkor lathatjuk, hogy x: [0 ; 2] lesz.
Tehat az integral a kovetkezo lesz:
\int\int (1 + x^{3})^{1 / 5} dydx
T: x: [0 ; 2], y: [0 ; (2 \cdot x)^{2}]
Innen ez is siman kiintegralhato.

Komplex fuggvenytan

Komplex szamok

z = x + i \cdot y // itt x a valos resz, y a kepzetes, i = sqrt(-1)
f komplex diffható mindenhol --> u,v harmonikus fv-ek --> delta u = u ' '^{xx} + u ' '^{yy} = 0

Azonossagok:
|z| = sqrt( x^{2} + y^{2} )
/z = x - i \cdot y // konjugalt
|z1 \cdot z2| = |z1| \cdot |z2|
|z1 / z2| = |z1| / |z2|
|z|^{2} = z \cdot /z
|z| = |/z|
arg(z) = -arg(/z) // arg(z): az x tengellyel bezart szog, trigonometrikusnal fi
/(z1 + z2) = /z1 + /z2

Trigonometrikus alak:
z = r \cdot ( cos(fi) + i \cdot sin(fi) ) // itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog
r = |z|
fi = arg(z) // fi: [-pi ; pi]

Exponencialis alak:
z = r \cdot e^{fi \cdot i} // ugy lehet megjegyezni, hogy Reffy J. (mar akit tanitott)

Komplex szorzas:
z1 \cdot z2 = r1 \cdot r2 \cdot ( cos(fi + b) + i \cdot sin(fi + b) ) = r1 \cdot r2 \cdot e^{(fi + b) \cdot i}

Osztas:
z1 / z2 = r1 / r2 \cdot ( cos(fi - b) + i \cdot sin(fi - b) ) = r1 / r2 \cdot e^{(fi - b) \cdot i}

Hatvanyozas:
z^{n} = r^{n} \cdot ( cos(fi \cdot n) + i \cdot sin(fi \cdot n) )

Gyokvonas:
z^{1 / n} = r^{1 / n} \cdot e^{( (fi + 2 \cdot k \cdot pi) / n ) \cdot i} = r^{1 / n} \cdot ( cos( (fi + 2 \cdot k \cdot pi) / n ) + i \cdot sin( (fi + 2 \cdot k \cdot pi) / n ) )

Euler-formula:
e^{i \cdot fi} = cos(fi) + i \cdot sin(fi) // erre nezz feladatot!

Harmonikus fuggvenyek

f(z) = u(x, y) + i \cdot v(x, y) //azaz u a valos resz, v a kepzetes resz (fuggveny)
Azonossagok:
u'x = v'y
u'y = -v'x
u^{(2)}xx = v^{(2)}yx
u^{(2)}yy = -v^{(2)}xy
u^{(2)}xy = v^{(2)}yy
u^{(2)}yx = -v^{(2)}xx
Young tetel: ha egy pont kornyeken a >= 2 foku parcialis derivaltak leteznek es folytonosak, akkor fuggetlenek a derivalas sorrendjetol. Tehat xy es yx ugyanaz lesz.
deltau = u^{(2)}xx + u^{(2)}yy
Lokalis szelso ertekek:
van, ha f'x = f'y = 0, es // szukseges feltetel
|f^{(2)}xx f^{(2)}xy|
|f^{(2)}yx f^{(2)}yy|
|det| > 0
Ha f^{(2)}xx > 0 --> lokalis minimum
Ha f^{(2)}xx < 0 --> lokalis maximum
// note: neha a valos reszbol kell a kepzetest kiszamolni. Ilyenkor kiszamolod az elso foku derivaltakat, abbol ugye megkapod a kepzetes elso foku derivaltjait, ezt viszont vissza lehet integralni. --> erre nezz feladatot

← Vissza az előző oldalra – Analízis II.