Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.09

← Vissza az előző oldalra – Matematika A1a - Analízis

1. Írja fel az $x + 2 y + 3 z = 4$ és a $3 x + 4 y + 5 z$ síkokkal párhuzamos, a $P = (1, 2, 3)$ ponton átmenő egyenes egyenletét!

Megoldás

Vegyük a két sík normálvektorát: ${\vec{n}}_{1} (1, 2, 3)$ és ${\vec{n}}_{2} (3, 4, 5)$ . Az egyenes merőleges kell, hogy legyen mindkét normálvektorra, ezt vektoriális szorzással kapjuk meg:

$[\begin{array}{ccc} i & j & k \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 5 \end{array}] = (10 - 12) i - (5 - 9) j + (4 - 6) k = (- 2, 4, - 2) = \vec{v} (- 1, 2, - 1)$

Az egyenes egyenlete: $P + t \cdot \vec{v}$ , egyenletrendszerben:

\begin{array}{rcl} x & = & 1 - t \\ y & = & 2 + 2 t \\ z & = & 3 - t \end{array} ⟺ - (x - 1) = \frac{y - 2}{2} = - (z - 3)

2. Az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik nem?

a, Ha $(a_{n})$ konvergens $(a_{n}^{n})$ is konvergens

b, Ha $(a_{n}^{n})$ konvergens $(a_{n})$ is konvergens

c, Ha $a_{n} \to 1$ akkor $a_{n}^{n} \to 1$

d, Ha $a_{n}^{n} \to 1$ akkor $a_{n} \to 1$

Megoldás

a, Nem igaz, pl. ha $(a_{n}) \equiv 2$ , akkor $(a_{n}^{n}) \to \infty$ , divergál a végtelenbe. ( $a_{n} \to A$ , $| A | < 0 \Rightarrow a_{n}^{n} \to B \in R$ , de egyes esetekben $| A | = 1$ -re is lehet.)

b, Nem igaz, pl.: $\begin{array}{rcll} a_{n} & : = & 1, - 1, 1, - 1, \dots & \to̸ \\ a_{n}^{n} & : = & 1, 1, 1, 1, \dots & \to 1 \end{array}$

c, Nem igaz, pl.: $\begin{array}{ll} (1 + \frac{1}{n}) & \to 1 \\ {(1 + \frac{1}{n})}^{n} & \to e \end{array}$

d, Nem igaz, lásb (b) feladat megoldása.

3. Adott a következő függvény:

$f (x) = \frac{2 \sqrt{x} + 3 \sqrt[3]{x}}{6 \sqrt[3]{x} - 8 \sqrt{x}}$

$a, \lim_{x \to 0 +} f (x) = ?$

$b, \lim_{x \to \infty} f (x) = ?$

Megoldás

4. Legyen $n \geq 1$ tetszőleges egész és $f (x) = x \arctan \frac{1}{x^{n}}$ ha $x \neq 0$ és $f (0) = 0$ . Mely n-ekre deriválható az f függvény az origóban? Amikor létezik, folytonos-e a derivált itt?

Megoldás

5. Adja meg a valós számegyenes véges sok olyan intervallumra való felosztását, melyek mindegyikén az $f (x) = x^{5} - 80 x$ függvény kölcsönösen egyértelmű!

Megoldás

6. Határozza meg az alábbi határozott integrálok értékeit!

$a, \int_{0}^{π} \sin^{3} x d x = ?$

$b, \int_{0}^{π} x \sin x d x = ?$

Megoldás

Bejelentkezés

Keresés

Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.09

Névterek

Több

Lapműveletek

Tartalomjegyzék

1. Írja fel az $x + 2 y + 3 z = 4$ és a $3 x + 4 y + 5 z$ síkokkal párhuzamos, a $P = (1, 2, 3)$ ponton átmenő egyenes egyenletét!

2. Az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik nem?

3. Adott a következő függvény:

4. Legyen $n \geq 1$ tetszőleges egész és $f (x) = x \arctan \frac{1}{x^{n}}$ ha $x \neq 0$ és $f (0) = 0$ . Mely n-ekre deriválható az f függvény az origóban? Amikor létezik, folytonos-e a derivált itt?

5. Adja meg a valós számegyenes véges sok olyan intervallumra való felosztását, melyek mindegyikén az $f (x) = x^{5} - 80 x$ függvény kölcsönösen egyértelmű!

6. Határozza meg az alábbi határozott integrálok értékeit!

Navigáció

Navigáció

Egyetem

Wikieszközök

Wikieszközök

Bejelentkezés

Keresés

Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.09

1. Írja fel az x+2y+3z=4 és a 3x+4y+5z síkokkal párhuzamos, a P=(1,2,3) ponton átmenő egyenes egyenletét!

2. Az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik nem?

3. Adott a következő függvény:

4. Legyen n≥1 tetszőleges egész és f(x)=xarctan⁡1xn ha x≠0 és f(0)=0. Mely n-ekre deriválható az f függvény az origóban? Amikor létezik, folytonos-e a derivált itt?

5. Adja meg a valós számegyenes véges sok olyan intervallumra való felosztását, melyek mindegyikén az f(x)=x5−80x függvény kölcsönösen egyértelmű!

6. Határozza meg az alábbi határozott integrálok értékeit!

Navigáció

Wikieszközök

Eszközök

Kategóriák

1. Írja fel az $x + 2 y + 3 z = 4$ és a $3 x + 4 y + 5 z$ síkokkal párhuzamos, a $P = (1, 2, 3)$ ponton átmenő egyenes egyenletét!

4. Legyen $n \geq 1$ tetszőleges egész és $f (x) = x \arctan \frac{1}{x^{n}}$ ha $x \neq 0$ és $f (0) = 0$ . Mely n-ekre deriválható az f függvény az origóban? Amikor létezik, folytonos-e a derivált itt?

5. Adja meg a valós számegyenes véges sok olyan intervallumra való felosztását, melyek mindegyikén az $f (x) = x^{5} - 80 x$ függvény kölcsönösen egyértelmű!