Matematika A3 - Differenciálegyenlet-rendszerek

Homogén differenciálegyenlet-rendszerek

Definíció

Olyan egyenletrendszer, mely a változóinak deriváltjait megadja a változóinak konstans-szorosának összegével.

${\underline {x}}'(t)={\underline {\underline {A}}}{\underline {x}}(t)$

$\Updownarrow$

$x_{1}'=A_{11}x_{1}+A_{12}x_{2}$

$x_{2}'=A_{21}x_{1}+A_{22}x_{2}$

Példa

$x_{1}'=x_{1}+2x_{2}$

$x_{2}'=2x_{1}+x_{2}$

Kezdeti feltételek:

$x_{1}(0)=1$

$x_{2}(0)=-1$

A probléma kétféleképpen oldható meg: analitikusan és Laplace-transzformáció segítségével.

Az analitikus megoldás

A megoldás általános alakja

$x_{ha}={\underline {\underline {\Phi }}}(t){\underline {k}}$

ahol ${\underline {\underline {\Phi }}}$ az alaprendszer mátrixa, ${\underline {k}}$ pedig egy konstans vektor.

${\underline {\underline {\Phi }}}(t)=\left[{\begin{array}{rr}{\underline {s}}_{1}e^{\lambda _{1}t}&{\underline {s}}_{2}e^{\lambda _{2}t}\\\end{array}}\right]$

ahol $\lambda _{i}$-k ${\underline {\underline {A}}}$ sajátértékei, ${\underline {s}}_{i}$-k pedig az i. sajátértékhez tartozó sajátvektorok.

A fenti példa analitikus megoldása

$x_{1}'=x_{1}+2x_{2}$

$x_{2}'=2x_{1}+x_{2}$

$\Updownarrow$

${\underline {\underline {A}}}=\left[{\begin{array}{rr}1&2\\2&-1\end{array}}\right]$

Sajátértékek kiszámítása:

$\det({\underline {\underline {A}}}-\lambda {\underline {\underline {I}}})=0$

$\Downarrow$

$\left|{\begin{array}{rr}1-\lambda &2\\2&1-\lambda \end{array}}\right|=\left(1-\lambda \right)^{2}-2^{2}=0$

$\Downarrow$

$\lambda _{1,2}=3;-1$

A $\lambda _{1}$-hez tartozó sajátvektor kiszámítása:

$\left({\underline {\underline {A}}}-\lambda _{1}{\underline {\underline {I}}}\right){\underline {s}}_{1}=0$

$\left[{\begin{array}{rr}-2&2\\2&-2\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{rr}s_{11}\\s_{12}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rr}0\\0\end{array}}\right]$

$\Updownarrow$

$s_{11}=s_{12}\Rightarrow {\underline {s}}_{1}=\left[{\begin{array}{rr}1\\1\end{array}}\right]$

A $\lambda _{2}$-hez tartozó sajátvektor kiszámítása:

$\left({\underline {\underline {A}}}-\lambda _{2}{\underline {\underline {I}}}\right){\underline {s}}_{2}=0$

$\left[{\begin{array}{rr}2&2\\2&2\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{rr}s_{21}\\s_{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rr}0\\0\end{array}}\right]$

$\Updownarrow$

$s_{21}=-s_{22}\Rightarrow {\underline {s}}_{2}=\left[{\begin{array}{rr}1\\-1\end{array}}\right]$

Tehát az alaprendszer mátrixa:

${\underline {\underline {\Phi }}}(t)=\left[{\begin{array}{rr}e^{3t}&e^{-t}\\e^{3t}&-e^{-t}\end{array}}\right]$

Tehát a homogén, általános megoldás:

${\underline {x}}_{ha}={\underline {\underline {\Phi }}}(t){\underline {k}}$

$\Downarrow$

$x_{ha1}=k_{1}e^{3t}+k_{2}e^{-t}$

$x_{ha2}=k_{1}e^{3t}-k_{2}e^{-t}$

Kezdeti feltételek érvényesítése:

$x_{1}(0)=1\Rightarrow k_{1}+k_{2}=1$

$x_{2}(0)=-1\Rightarrow k_{1}-k_{2}=-1$

$\Downarrow$

$k_{1}=0\Rightarrow k_{2}=1$

$\Downarrow$

$x_{ha1}=e^{-t}$

$x_{ha2}=-e^{-t}$

Megoldás Laplace-transzformációval

A megoldás általános alakja

Ha adott egy differenciálegyenlet(-rendszer), ahol ismertek a kezdeti feltételek, akkor alkalmazható a Laplace-transzformációs megoldás: az egyenlet(rendszer) minden elemére alkalmazzuk a Laplace-transzformációt, ezáltal egy egyszerű algebrai egyenlet(rendszer)hez jutunk. Ezt megoldjuk, majd a megoldást visszatranszformáljuk.

Fontosabb Laplace-transzformáltak

A Laplace-transzformált jelölése: $\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)$

$f(t)$	$F(s)$
$0$	$0$
$t^{n}$	${\frac {n!}{s^{n+1}}}$
$e^{at}$	${\frac {1}{s-a}}$
$\sin(\alpha t)$	${\frac {\alpha }{s^{2}+\alpha ^{2}}}$
$\cos(\alpha t)$	${\frac {s}{s^{2}+\alpha ^{2}}}$
$f'(t)$	$sF(s)-f(0)$
$\int f(t)dt$	${\frac {F(s)}{s}}$
$f(t-t_{0})$	$e^{-t_{0}s}F(s)$
$e^{-\alpha t}f(t)$	$F(s+\alpha )$

A fenti példa megoldása Laplace-transzformáció segítségével

$x_{1}'=x_{1}+2x_{2}$

$x_{2}'=2x_{1}+x_{2}$

Kezdeti feltételek:

$x_{1}(0)=1$

$x_{2}(0)=-1$

A Laplace-transzformáció után a következő egyenletrendszer adódik:

$sX_{1}-1=X_{1}+2X_{2}\Rightarrow X_{1}(s-1)=1+2X_{2}\Rightarrow \underbrace {X_{1}={\frac {2X_{2}+1}{s-1}}} _{\searrow }$

$sX_{2}+1=2X_{1}+X_{2}\Rightarrow 1+X_{2}(s-1)=2X_{1}\Rightarrow X_{2}(s-1)=2{\frac {2X_{2}+1}{s-1}}-1$

$X_{2}(s-1)=2{\frac {2X_{2}+1}{s-1}}-1$

$X_{2}(s-1)^{2}=4X_{2}+2-(s-1)$

$X_{2}\left[(s-1)^{2}-4\right]=2-(s-1)$

$X_{2}={\frac {2-(s-1)}{(s-1)^{2}-4}}={\frac {3-s}{s^{2}-2s-3}}={\frac {-(s-3)}{(s-3)(s+1)}}=-{\frac {1}{s+1}}$

$\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{-{\frac {1}{s+1}}\right\}=x_{2}(t)=-e^{-t}$

Ezt visszahelyettesítve az eredeti első egyenletbe:

$X_{1}(s-1)=1-2{\frac {1}{s+1}}$

$X_{1}={\frac {1}{s-1}}-{\frac {2}{s-1}}{\frac {1}{s+1}}={\frac {s+1}{(s+1)(s-1)}}-{\frac {2}{(s+1)(s-1)}}={\frac {s+1-2}{(s+1)(s-1)}}={\frac {s-1}{(s+1)(s-1)}}={\frac {1}{s+1}}$

$\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s+1}}\right\}=x_{1}(t)=e^{-t}$

Visszakaptuk az analitikus módszerrel nyert megoldásainkat.

Inhomogén differenciálegyenlet-rendszerek

Definíció

Olyan egyenletrendszer, mely a változóinak deriváltjait megadja a változóinak konstans-szorosának összegével, valamint további időfüggvényekkel.

${\underline {x}}'(t)={\underline {\underline {A}}}{\underline {x}}(t)+{\underline {b}}(t)$

$\Updownarrow$

$x_{1}'=A_{11}x_{1}+A_{12}x_{2}+b_{1}(t)$

$x_{2}'=A_{21}x_{1}+A_{22}x_{2}+b_{2}(t)$

A megoldás általános alakja

Differenciálegyenlet-rendszerek esetében is igaz, hogy az inhomogén, általános megoldást a homogén, általános megoldás és az inhomogén egyenletrendszer egy partikuláris megoldásának összege adja.

${\underline {x}}_{ia}(t)={\underline {x}}_{ha}(t)+{\underline {x}}_{ip}(t)$

A homogén, általános megoldás megkeresésének két módja fent látható. Az inhomogén partikuláris megoldás megtalálására alkalmas pedig az úgynevezett állandók variálásának módszere. Azért hívják ennek, mert látszólag ugyanúgy kell elkezdeni, mint a homogén rendszer megoldását, csak a konstansok helyett t-től függő függvényekkel ($c_{i}(t)$) kell megszorozni a változók oszlopvektorait.

${\underline {x}}_{ip}=c_{1}(t){\underline {x}}_{1}+c_{2}(t){\underline {x}}_{2}={\underline {\underline {\Phi }}}(t){\underline {c}}(t)$

Ezt behelyettesítve az eredeti egyenletrendszerbe, azt nyerjük, hogy:

${\underline {\underline {\Phi }}}(t){\underline {c}}'(t)={\underline {b}}(t)$

Innen, tehát, _c_ deriváltja meghatározható úgy, mint:

${\underline {c}}'(t)={\underline {\underline {\Phi }}}^{-1}(t){\underline {b}}(t)$

Tehát _c_:

${\underline {c}}(t)=\int {\underline {\underline {\Phi }}}^{-1}(t){\underline {b}}(t)dt$

Tehát, az inhomogén, partikuláris megoldás:

${\underline {x}}_{ip}(t)={\underline {\underline {\Phi }}}(t)\int {\underline {\underline {\Phi }}}^{-1}(t){\underline {b}}(t)dt$