Matematika A1 - Vizsga: 2007.06.07

Ez az oldal a korábbi SCH wikiről lett áthozva.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor, kérlek, javíts rajta egy rövid szerkesztéssel!

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót.

Feladatok:

6. Számítsa ki a következő integrálokat: (a) Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \int \frac{1}{x(x^2+1)}dx (b) \int \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+3}dx}

-- Gyurci - 2008.01.14.

Megoldások:

2. Oldja meg a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle z^2 = \overline{z}^ 2} egyenletet.

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle z^2 = \overline{z}^ 2}

Átírjuk másik alakba:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (a+bj)^2} =Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (a-bj)^2}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle a^2} +Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 2abj} +Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle b^2} Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle i^2} =Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle a^2} Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle -2abj} +Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle b^2} Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle i^2}

"hosszas" rendezés után:

abj=0

Egy szorzat eredménye akkor és csak akkor zérus, ha valamely tagja a szoraztnak 0.

Tehát:

a=0 és "b" Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \in} R vagy b=0 és "a" Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \in} R vagy a és b is 0

(A tördelés kicsit csúnya, sajnos nem értek ehhez, kérlek ha nem fáradtság javítsd ki) (*A megoldásomban nem vagyok biztos, senki sem ellenőrizte. Ha ellenőrizted, kérlek töröld ezt a sort.*)

-- GAbika -- 2009.01.15.

Nekem az előző megoldás nem jelent meg érthetően, itt az enyém:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle z^2 = \overline{z}^2 }

Írjuk ki z-t és z konjugáltat algebrai alakban:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (a+bi)^2 = (a-bi)^2 }

Zárójelek felbontása után:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle a^2+2abi-b^2 = a^2-2abi-b^2 }

Kihúzzuk a közös tagokat, osztunk 2i-vel:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle ab = -ab }

Ez akkor lehetséges, ha Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle a = 0 \vee b = 0 } , az összes ilyen alakú szám megoldás.

-- MP - 2012.01.09.

3. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét: (a) Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle a_n = (\frac{n^2-1}{n^2+2})^{3n^2}} (b) Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \sqrt[n]{\frac{2n^2-1}{n^2+2}}}

(a)

Először alkalmazzuk az OverLord féle algebrai trükköt, és a számlálót átalakítjuk:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (\frac{n^2+2-2-1}{n^2+2})^{3n^2} = (\frac{n^2+2}{n^2+2}+\frac{-3}{n^2+2})^{3n^2} = (1-\frac{3}{n^2+2})^{3n^2}.} A nevezőt alakítsuk úgy, hogy hasonlítson a kitevőhöz: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (1-\frac{9}{3n^2+6})^{3n^2} }

Felírjuk a kitevőt úgy, hogy nevezetes határértéket kapjunk, de ekkor persze még osztani is kell, hogy ne legyen csalás!

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \frac{(1-\frac{9}{3n^2+6})^{3n^2+6}}{(1-\frac{9}{3n^2+6})^6} } Látható, hogy a nevező 1-hez tart, így a határérték: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \underline{\underline{e^{-9} = \frac{1}{e^9}}}}

-- Gyurci - 2008.01.14.

(b)

Először vizsgáljuk meg az n-edik gyökjelen belüli törtet: Egyszerűsítsük a törtet Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle n^2} -el: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \frac{2n^2-1}{n^2+2} = \frac{2-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}} \rightarrow \underline{2} } Azaz a gyökjelen belüli rész 2-höz tart végtelennél. Így pedig már egy nevezetes határértéket kapunk: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \sqrt[n]{2} \rightarrow \underline{\underline{1}} }

-- OverLord - 2008.01.14.

Troll vagyok, de ez a megoldás hibás. Nem szabad gyökjel alatt vizsgálni, ha a "gyök" művelet n-től függ! Tekintsük a nevezetes Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (1+\frac{a}{n})^n = e^a } határértéket: Ha belül vizsgálom, a tört kinullázódik, 1 hatványa 1. Ott a hiba.

Rendőrelvvel (alias csendőrelv, közrefogási elv) oldjuk meg. Azt tudjuk, hogy az n. gyök szig. mon. növekvő függvény, tehát kisebb szám n. gyöke kisebb mint egy nagyobb számé. A gyökjel alatt végezzünk algebrai átalakítást, átrendezhető:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \sqrt[n]{2-\frac{5}{n^2+2}} }

Látjuk, hogy mindegyik elem kisebb lesz, mint Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \sqrt[n]{2} } , ez remek felső becslés, mert 1-hez tart. Az alsó becslés valamivel nehezebb. Az első elemnél Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \sqrt[n]{2-\frac{5}{3}} } , ezzel a konstans értékkel alulról becsülhető, mármint a gyökön belüli rész, és így ezzel a függvénnyel alulról becsülhető a sorozatunk. Ennek is 1 a határértéke, sikeresen közrefogtuk. ^^

-- MP - 2012.01.09.

6.

(a) Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \int \frac{1}{x(x^2+1)}dx }

Parciális törtekre bontjuk az integrandust: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx +C}{x^2+1}}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A(x^2+1)+ x(Bx +C)}{x(x^2+1)}}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{Ax^2 + A + Bx^2 + Cx)}{x(x^2+1)}}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle 1 = (A+B)x^2 + Cx + A}

$A=1$

$(A+B)=0\Rightarrow B=-1$

$C=0$

${\frac {1}{x(x^{2}+1)}}={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{x^{2}+1}}$ Így már könnyű integrálni: $\int {\frac {1}{x(x^{2}+1)}}\;dx=\int {\frac {1}{x}}-{\frac {1}{2}}\int {\frac {2x}{x^{2}+1}}=ln|x|-{\frac {1}{2}}ln|x^{2}+1|+C$

-- OverLord - 2008.01.14.

(b) $\int {\frac {\sqrt {x}}{x{\sqrt {x}}+3}}\;dx$

${\frac {x^{\frac {1}{2}}}{xx^{\frac {1}{2}}+3}}={\frac {x^{\frac {1}{2}}}{x^{\frac {3}{2}}+3}}$ Mi is a nevező deriváltja? Jéé, az majdnem a számláló! Ennek örülünk :)

${\frac {2}{3}}\int {\frac {{\frac {3}{2}}x^{\frac {1}{2}}}{x^{\frac {3}{2}}+3}}\;dx={\frac {2}{3}}\;ln{|x^{\frac {3}{2}}+3|+C}$

-- OverLord - 2008.01.14.