Matematika A1 - Vizsga: 2007.06.07

A VIK Wikiből


1. Feladat

Határozza meg a (0,2,0), (1,0,-1) és (0,-1,2) pontokat tartalmazó sík egyenletét.

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

2. Feladat

Oldja meg a z2=z2 egyenletet.

Megoldás

z2=z2

Írjuk ki z-t és z konjugáltat algebrai alakban:

(a+bi)2=(abi)2

Zárójelek felbontása után:

a2+2abib2=a22abib2

Kihúzzuk a közös tagokat, osztunk 2i-vel:

ab=ab

Ez akkor lehetséges, ha a=0b=0 és a,b, az összes ilyen alakú szám megoldás.

3. Feladat

Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét:

a,an=(n21n2+2)3n2

b,bn=2n21n2+2n

Megoldás

a, Feladat:


an=(n21n2+2)3n2=(n2+221n2+2)3n2=(n2+2n2+2+3n2+2)3n2=(13n2+2)3n2

A nevezőt alakítsuk úgy, hogy hasonlítson a kitevőhöz: (193n2+6)3n2

Felírjuk a kitevőt úgy, hogy nevezetes határértéket kapjunk, de ekkor persze még osztani is kell, hogy ne legyen csalás!

(193n2+6)3n2+6(193n2+6)6

Látható, hogy a nevező 1-hez tart, így a határérték:

e9=1e9__


b, Feladat:


A gyökjel alatt végezzünk algebrai átalakítást:

bn=25n2+2n

Most adjunk alsó és felső becslést a gyökjel alatti sorozatra:

Felső becslésnek tökéletes a 2, hiszen sosem érheti el a gyökjel alatti sorozat, és minden eleme kisebb nála.

Alsó becslésnek vegyük a gyökjel alatti sorozat első elemét, hiszen ha n nő, akkor egyre kisebb számokat vonunk ki a kettőből, tehát szigorúan monoton növekszik a gyökjel alatti sorozat.

253=13<25n2+2<2

Most alkalmazzuk a rendőrelvvet (alias csendőrelv, közrefogási elv), amit megtehetünk, mivel tudjuk, hogy az n-edik gyök szigorúan monoton növekvő függvény, tehát kisebb szám n-edik gyöke kisebb, mint egy nagyobb számé.

13n<25n2+2n<2n


Tudjuk, hogy:

limn13n=1

limn2n=1


Így a rendőrelv miatt:

limnbn=1

4. Feladat

Legyen f(x)=xarctan1x2,x0 és 0,x=0.

a, Hol folytonos és hol deriválható f(x)?

b, Hol folytonos f(x)?

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

5. Feladat

Igaz vagy hamis? Válaszát indokolja!

a, Ha a,b0 és ab=ac, akkor b=c

b, Ha liman=limbn=0 akkor limanbn=1

c, Ha f korlátos [a,b]-n, akkor folytonos [a,b]-n

d, Ha f szigorúan monoton nő -en, akkor limxf(x)=

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

6. Feladat

Számítsa ki a következő határozatlan integrálokat:

a,1x(x2+1)dx

b,xxx+3dx

Megoldás

a, Feladat:


Parciális törtekre bontjuk az integrandust:

1x(x2+1)=Ax+Bx+Cx2+1

1x(x2+1)=A(x2+1)+x(Bx+C)x(x2+1)

1x(x2+1)=Ax2+A+Bx2+Cx)x(x2+1)


1=(A+B)x2+Cx+A


Két polinom csakis akkor lehet egyenlő, ha megegyeznek a megfelelő együtthatóik:

A=1

(A+B)=0B=1

C=0


Tehát:

1x(x2+1)=1xxx2+1


Így már könnyű integrálni:

1x(x2+1)dx=1x122xx2+1=ln|x|12ln|x2+1|+C


b, Feladat:


x12xx12+3=x12x32+3

Mi is a nevező deriváltja? Jéé, az majdnem a számláló! Ennek örülünk :)

2332x12x32+3dx=23ln|x32+3|+C