Matematika A1 - Vizsga: 2007.06.07

Ez az oldal a korábbi SCH wikiről lett áthozva.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor, kérlek, javíts rajta egy rövid szerkesztéssel!

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót.

Feladatok:

6. Számítsa ki a következő integrálokat: (a) $\int {\frac {1}{x(x^{2}+1)}}dx(b)\int {\frac {\sqrt {x}}{x{\sqrt {x}}+3}}dx$

-- Gyurci - 2008.01.14.

Megoldások:

2. Oldja meg a $z^{2}={\overline {z}}^{2}$ egyenletet.

$z^{2}={\overline {z}}^{2}$

Átírjuk másik alakba:

$(a+bj)^{2}$=$(a-bj)^{2}$

$a^{2}$+$2abj$+$b^{2}$$i^{2}$=$a^{2}$$-2abj$+$b^{2}$$i^{2}$

"hosszas" rendezés után:

abj=0

Egy szorzat eredménye akkor és csak akkor zérus, ha valamely tagja a szoraztnak 0.

Tehát:

a=0 és "b" $\in$ R vagy b=0 és "a" $\in$ R vagy a és b is 0

(A tördelés kicsit csúnya, sajnos nem értek ehhez, kérlek ha nem fáradtság javítsd ki) (*A megoldásomban nem vagyok biztos, senki sem ellenőrizte. Ha ellenőrizted, kérlek töröld ezt a sort.*)

-- GAbika -- 2009.01.15.

Nekem az előző megoldás nem jelent meg érthetően, itt az enyém:

$z^{2}={\overline {z}}^{2}$

Írjuk ki z-t és z konjugáltat algebrai alakban:

$(a+bi)^{2}=(a-bi)^{2}$

Zárójelek felbontása után:

$a^{2}+2abi-b^{2}=a^{2}-2abi-b^{2}$

Kihúzzuk a közös tagokat, osztunk 2i-vel:

$ab=-ab$

Ez akkor lehetséges, ha $a=0\vee b=0$, az összes ilyen alakú szám megoldás.

-- MP - 2012.01.09.

3. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét: (a) $a_{n}=({\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}})^{3n^{2}}$ (b) ${\sqrt[{n}]{\frac {2n^{2}-1}{n^{2}+2}}}$

(a)

Először alkalmazzuk az OverLord féle algebrai trükköt, és a számlálót átalakítjuk:

$({\frac {n^{2}+2-2-1}{n^{2}+2}})^{3n^{2}}=({\frac {n^{2}+2}{n^{2}+2}}+{\frac {-3}{n^{2}+2}})^{3n^{2}}=(1-{\frac {3}{n^{2}+2}})^{3n^{2}}.$ A nevezőt alakítsuk úgy, hogy hasonlítson a kitevőhöz: $(1-{\frac {9}{3n^{2}+6}})^{3n^{2}}$

Felírjuk a kitevőt úgy, hogy nevezetes határértéket kapjunk, de ekkor persze még osztani is kell, hogy ne legyen csalás!

${\frac {(1-{\frac {9}{3n^{2}+6}})^{3n^{2}+6}}{(1-{\frac {9}{3n^{2}+6}})^{6}}}$ Látható, hogy a nevező 1-hez tart, így a határérték: ${\underline {\underline {e^{-9}={\frac {1}{e^{9}}}}}}$

-- Gyurci - 2008.01.14.

(b)

Először vizsgáljuk meg az n-edik gyökjelen belüli törtet: Egyszerűsítsük a törtet $n^{2}$-el: ${\frac {2n^{2}-1}{n^{2}+2}}={\frac {2-{\frac {1}{n^{2}}}}{1+{\frac {2}{n^{2}}}}}\rightarrow {\underline {2}}$ Azaz a gyökjelen belüli rész 2-höz tart végtelennél. Így pedig már egy nevezetes határértéket kapunk: ${\sqrt[{n}]{2}}\rightarrow {\underline {\underline {1}}}$

-- OverLord - 2008.01.14.

Troll vagyok, de ez a megoldás hibás. Nem szabad gyökjel alatt vizsgálni, ha a "gyök" művelet n-től függ! Tekintsük a nevezetes $(1+{\frac {a}{n}})^{n}=e^{a}$ határértéket: Ha belül vizsgálom, a tört kinullázódik, 1 hatványa 1. Ott a hiba.

Rendőrelvvel (alias csendőrelv, közrefogási elv) oldjuk meg. Azt tudjuk, hogy az n. gyök szig. mon. növekvő függvény, tehát kisebb szám n. gyöke kisebb mint egy nagyobb számé. A gyökjel alatt végezzünk algebrai átalakítást, átrendezhető:

${\sqrt[{n}]{2-{\frac {5}{n^{2}+2}}}}$

Látjuk, hogy mindegyik elem kisebb lesz, mint ${\sqrt[{n}]{2}}$, ez remek felső becslés, mert 1-hez tart. Az alsó becslés valamivel nehezebb. Az első elemnél ${\sqrt[{n}]{2-{\frac {5}{3}}}}$, ezzel a konstans értékkel alulról becsülhető, mármint a gyökön belüli rész, és így ezzel a függvénnyel alulról becsülhető a sorozatunk. Ennek is 1 a határértéke, sikeresen közrefogtuk. ^^

-- MP - 2012.01.09.

6.

(a) $\int {\frac {1}{x(x^{2}+1)}}dx$

Parciális törtekre bontjuk az integrandust: ${\frac {1}{x(x^{2}+1)}}={\frac {A}{x}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+1}}$

${\frac {1}{x(x^{2}+1)}}={\frac {A(x^{2}+1)+x(Bx+C)}{x(x^{2}+1)}}$

${\frac {1}{x(x^{2}+1)}}={\frac {Ax^{2}+A+Bx^{2}+Cx)}{x(x^{2}+1)}}$

$1=(A+B)x^{2}+Cx+A$

$A=1$

$(A+B)=0\Rightarrow B=-1$

$C=0$

${\frac {1}{x(x^{2}+1)}}={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{x^{2}+1}}$ Így már könnyű integrálni: $\int {\frac {1}{x(x^{2}+1)}}\;dx=\int {\frac {1}{x}}-{\frac {1}{2}}\int {\frac {2x}{x^{2}+1}}=ln|x|-{\frac {1}{2}}ln|x^{2}+1|+C$

-- OverLord - 2008.01.14.

(b) $\int {\frac {\sqrt {x}}{x{\sqrt {x}}+3}}\;dx$

${\frac {x^{\frac {1}{2}}}{xx^{\frac {1}{2}}+3}}={\frac {x^{\frac {1}{2}}}{x^{\frac {3}{2}}+3}}$ Mi is a nevező deriváltja? Jéé, az majdnem a számláló! Ennek örülünk :)

${\frac {2}{3}}\int {\frac {{\frac {3}{2}}x^{\frac {1}{2}}}{x^{\frac {3}{2}}+3}}\;dx={\frac {2}{3}}\;ln{|x^{\frac {3}{2}}+3|+C}$

-- OverLord - 2008.01.14.