Adja meg a lineáris egyenletrendszer általános alakját! Mi a megoldhatóság feltétele? Mutassa be a legkisebb négyzetek (LS) módszerét!
Lineáris egyenletrendszer:
, ahol
az együtthatómátrix, ezt vizsgálhatjuk.
Az egyenletrendszer megoldása az oszlopvektorok lineáris kombinációja:
A lineáris egyenletrendszer megoldható, ha
előáll az
mátrix oszlopvektorainak lineáris kombinációjaként, azaz benne van
oszlopterében. A lineáris egyenletrendszer minden
vektorra megoldható, ha
.
LS módszer
Általában a paraméterek számánál több mérési eredmény áll rendelkezésünkre, de a mérési pontatlanságok és zajok miatt az egyenletrendszer nagyon kis valószínűséggel oldható meg. A megoldás legjobb közelítése az LS (Least Squares) módszerrel kapható meg.
Mivel az oszloptér és transzponált nulltér egymás merőleges kiegészítő alterei, bármely
vektor előáll
formában. Ekkor
a megoldás legjobb közelítése.
Mi az SVD felbontás és mire használható? Mit értünk szinguláris érték és vektor alatt?
Adja meg a lehetséges geometriai transzformációk típusait, és a mátrixaik általános alakját! Milyen tulajdonságokat őriznek meg az egyes típusok?
Projektív transzformáció
Affin transzformáció
Megőrzi az ideális pontokat.
Hasonlósági transzformáció
- Nincs irányfüggő skálázás
- Nincs nyírás
Euklideszi transzformáció
Nincs skálázás
Transzformációk és megőrzött tulajdonságok
Geometriák:
|
Euklideszi
|
Hasonlósági
|
Affin
|
Projektív
|
Transzformációk
|
Eltolás
|
I
|
I
|
I
|
I
|
Forgatás
|
I
|
I
|
I
|
I
|
Uniform skálázás
|
X
|
I
|
I
|
I
|
Nem uniform skálázás
|
X
|
X
|
I
|
I
|
Nyírás
|
X
|
X
|
I
|
I
|
Perspektív vetítés
|
X
|
X
|
X
|
I
|
Invariáns jellemzők
|
Hossz
|
I
|
X
|
X
|
X
|
Szög
|
I
|
I
|
X
|
X
|
Hosszak aránya
|
I
|
I
|
X
|
X
|
Párhuzamosság
|
I
|
I
|
I
|
X
|
Egybeesés
|
I
|
I
|
I
|
I
|
Keresztarány
|
I
|
I
|
I
|
I
|
Mik a homogén koordináták és mi a használatuk előnye? Mi az az ideális pont?
Pontok leírása a projektív síkon
Euklideszi koordináták → Projektív:
Tulajdonságok:
Az egy síkbeli ponthoz tartozó számhármasok egy egyenest alkotnak
-ban. A homogén koordináták skála invariánsak.
Ideális pont
Homogén koordináták → Euklideszi:
Az ideális pont
alakú. Vegyük észre az előző képlet nullosztóját.
Az ideális pont egyfajta irányított végtelen, melynek minden koordinátája véges.
Adja meg a projektív térből a projektív síkra történő vetítés egyenletét! Mi az eltűnő pont?
Vetítés a projektív térből a projektív síkra:
Egyenlet
Eltűnő pont
Párhuzamos
-beli egyenesek metszéspontja, az adott irányban lévő ideális pont.
A
-beli ideális pont képe
-ben nem biztos, hogy ideális pont lesz!
- Csak, ha (X,Y,Z) merőleges
-ra
- Ha az egyenesek párhuzamosak a képsíkkal!