Számítógépes látórendszerek - Ellenőrző kérdések: Matematikai Alapok, Projektív Geometria
Adja meg a lineáris egyenletrendszer általános alakját! Mi a megoldhatóság feltétele? Mutassa be a legkisebb négyzetek (LS) módszerét!
Lineáris egyenletrendszer: , ahol
az együtthatómátrix, ezt vizsgálhatjuk.
Az egyenletrendszer megoldása az oszlopvektorok lineáris kombinációja:
Megoldhatóság
A lineáris egyenletrendszer megoldható, ha előáll az mátrix oszlopvektorainak lineáris kombinációjaként, azaz benne van oszlopterében. A lineáris egyenletrendszer minden vektorra megoldható, ha .
LS módszer
Általában a paraméterek számánál több mérési eredmény áll rendelkezésünkre, de a mérési pontatlanságok és zajok miatt az egyenletrendszer nagyon kis valószínűséggel oldható meg. A megoldás legjobb közelítése az LS (Least Squares) módszerrel kapható meg.
Mivel az oszloptér és transzponált nulltér egymás merőleges kiegészítő alterei, bármely vektor előáll
formában. Ekkor
a megoldás legjobb közelítése (optimális megoldás, LS becslő).
Mi az SVD felbontás és mire használható? Mit értünk szinguláris érték és vektor alatt?
Az SVD (szinguláris érték) felbontás bázistranszformáció, arra használjuk, hogy a mátrixainkat olyan ortonormált bázisban írhassuk fel, ahol diagonálisak. A diagonális mátrixokat azért szeretjük, mert irányfüggő erősítéseket jellemeznek (legnagyobb, legkisebb -> rendszerek stabilitása).
,
ahol .
U és V bázistranszformációs mátrixok, ortogonálisak (ezért ortonormált bázisokra visznek).
a szinguláris értékekből () képzett diagonális mátrix. Konvencionálisan a szinguláris értékek csökkenő sorrendben szerepelnek.
[TODO: érték? vektor?]
Adja meg a lehetséges geometriai transzformációk típusait, és a mátrixaik általános alakját! Milyen tulajdonságokat őriznek meg az egyes típusok?
Projektív transzformáció
Affin transzformáció
Megőrzi az ideális pontokat.
Hasonlósági transzformáció
- Nincs irányfüggő skálázás
- Nincs nyírás
Euklideszi transzformáció
Nincs skálázás
Transzformációk és megőrzött tulajdonságok
Geometriák: | Euklideszi | Hasonlósági | Affin | Projektív |
Transzformációk | ||||
Eltolás | I | I | I | I |
Forgatás | I | I | I | I |
Uniform skálázás | X | I | I | I |
Nem uniform skálázás | X | X | I | I |
Nyírás | X | X | I | I |
Perspektív vetítés | X | X | X | I |
Invariáns jellemzők | ||||
Hossz | I | X | X | X |
Szög | I | I | X | X |
Hosszak aránya | I | I | X | X |
Párhuzamosság | I | I | I | X |
Egybeesés | I | I | I | I |
Keresztarány | I | I | I | I |
Mik a homogén koordináták és mi a használatuk előnye? Mi az az ideális pont?
Pontok leírása a projektív síkon
Euklideszi koordináták → Projektív:
Tulajdonságok:
Az egy síkbeli ponthoz tartozó számhármasok egy egyenest alkotnak -ban. A homogén koordináták skála invariánsak.
Ideális pont
Homogén koordináták → Euklideszi:
Az ideális pont alakú. Vegyük észre az előző képlet nullosztóját.
Az ideális pont egyfajta irányított végtelen, melynek minden koordinátája véges.
Adja meg a projektív térből a projektív síkra történő vetítés egyenletét! Mi az eltűnő pont?
Vetítés a projektív térből a projektív síkra:
Egyenlet
Eltűnő pont
Párhuzamos -beli egyenesek metszéspontja, az adott irányban lévő ideális pont.
A -beli ideális pont képe -ben nem biztos, hogy ideális pont lesz!
- Csak, ha (X,Y,Z) merőleges -ra
- Ha az egyenesek párhuzamosak a képsíkkal!