Számítógépes látórendszerek - Ellenőrző kérdések: Matematikai Alapok, Projektív Geometria

A VIK Wikiből

Adja meg a lineáris egyenletrendszer általános alakját! Mi a megoldhatóság feltétele? Mutassa be a legkisebb négyzetek (LS) módszerét!

Lineáris egyenletrendszer: A__x_=b_, ahol A__m×n;x_n;b_m

A__ az együtthatómátrix, ezt vizsgálhatjuk.

Az egyenletrendszer megoldása az oszlopvektorok lineáris kombinációja: a1_x1+a2_x2+...+an_xn=b_

Megoldhatóság

A lineáris egyenletrendszer megoldható, ha b_ előáll az A__ mátrix oszlopvektorainak lineáris kombinációjaként, azaz benne van A__ oszlopterében. A lineáris egyenletrendszer minden b_m vektorra megoldható, ha 𝒪(A__)=m.

LS módszer

Általában a paraméterek számánál több mérési eredmény áll rendelkezésünkre, de a mérési pontatlanságok és zajok miatt az egyenletrendszer nagyon kis valószínűséggel oldható meg. A megoldás legjobb közelítése az LS (Least Squares) módszerrel kapható meg.

Mivel az oszloptér és transzponált nulltér egymás merőleges kiegészítő alterei, bármely b_m vektor előáll

b_=σ_+n_,o_𝒪(A__),n_𝒩(A__T)

formában. Ekkor


A__x_=σ_

A__Tb_=A__Tσ_+A__Tn_=A__Tσ_=A__T(A__x_)

x^_=(A__TA__)1A__Tb_


x^_ a megoldás legjobb közelítése (optimális megoldás, LS becslő).

Mi az SVD felbontás és mire használható? Mit értünk szinguláris érték és vektor alatt?

Az SVD (szinguláris érték) felbontás bázistranszformáció, arra használjuk, hogy a mátrixainkat olyan ortonormált bázisban írhassuk fel, ahol diagonálisak. A diagonális mátrixokat azért szeretjük, mert irányfüggő erősítéseket jellemeznek (legnagyobb, legkisebb -> rendszerek stabilitása).

A=UΣVT,

ahol Um×m;Σm×n;Vn×n.

U és V bázistranszformációs mátrixok, ortogonálisak (ezért ortonormált bázisokra visznek).

Σ a szinguláris értékekből (σ1,σ2...σm) képzett diagonális mátrix. Konvencionálisan a szinguláris értékek csökkenő sorrendben szerepelnek.

[TODO: érték? vektor?]

Adja meg a lehetséges geometriai transzformációk típusait, és a mátrixaik általános alakját! Milyen tulajdonságokat őriznek meg az egyes típusok?

Projektív transzformáció

Tproj=[t11t12t13t21t22t23t31t32t33]

Affin transzformáció

Megőrzi az ideális pontokat.

Taff=[t11t12t13t21t22t2300t33]

Hasonlósági transzformáció

  • Nincs irányfüggő skálázás
  • Nincs nyírás

Tsimi=[cos(α)sin(α)t13sin(α)cos(α)t2300t33]

Euklideszi transzformáció

Nincs skálázás

Teucl=[cos(α)sin(α)t13sin(α)cos(α)t23001]

Transzformációk és megőrzött tulajdonságok

Geometriák: Euklideszi Hasonlósági Affin Projektív
Transzformációk
Eltolás I I I I
Forgatás I I I I
Uniform skálázás X I I I
Nem uniform skálázás X X I I
Nyírás X X I I
Perspektív vetítés X X X I
Invariáns jellemzők
Hossz I X X X
Szög I I X X
Hosszak aránya I I X X
Párhuzamosság I I I X
Egybeesés I I I I
Keresztarány I I I I

Mik a homogén koordináták és mi a használatuk előnye? Mi az az ideális pont?

Pontok leírása a projektív síkon

Euklideszi koordináták → Projektív: (x,y)(x,y,1)

Tulajdonságok:

(X,Y,W)=(kX,kY,kW)

k0(0,0,0)

Az egy síkbeli ponthoz tartozó számhármasok egy egyenest alkotnak 3-ban. A homogén koordináták skála invariánsak.

Ideális pont

Homogén koordináták → Euklideszi: (X,Y,W)(X/W,Y/W)

Az ideális pont (X,Y,0) alakú. Vegyük észre az előző képlet nullosztóját.

Az ideális pont egyfajta irányított végtelen, melynek minden koordinátája véges.

Adja meg a projektív térből a projektív síkra történő vetítés egyenletét! Mi az eltűnő pont?

Vetítés a projektív térből a projektív síkra: P3P2

Egyenlet

[xyw]=[t11t12t13t14t21t22t23t24t31t32t33t34][XYZW]

Eltűnő pont

Párhuzamos P3-beli egyenesek metszéspontja, az adott irányban lévő ideális pont.

[xyw]=[t11t12t13t14t21t22t23t24t31t32t33t34][XYZ0]

A P3-beli ideális pont képe P2-ben nem biztos, hogy ideális pont lesz!

  • Csak, ha (X,Y,Z) merőleges (t31,t32,t33)-ra
  • Ha az egyenesek párhuzamosak a képsíkkal!