Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.09

Ez az oldal a korábbi SCH wikiről lett áthozva.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor, kérlek, javíts rajta egy rövid szerkesztéssel!

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót.

2. Az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik nem?

(a) Ha $(a_n)$ konvergens $(a_n^n)$ is konvergens

(b) Ha $(a_n^n)$ konvergens $(a_n)$ is konvergens

(c) Ha $a_n\to 1$ akkor $a_n^n\to 1$

(d) Ha $a_n^n\to 1$ akkor $a_n\to 1$

3. Adott a következő függvény:

$f(x)=\frac{2\sqrt{x}+3\sqrt[3]{x}}{6\sqrt[3]{x}-8\sqrt{x}}$

$a.)\underset{x\to 0+}{\lim }f(x)=?$

$b.)\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=?$

6.

$a.)\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{3}x\mathrm{d}x=?$

$b.)\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}x\sin x\mathrm{d}x=?$

Megoldások

Megoldás

Vegyük a két sík normálvektorát: ${\overrightarrow{n}}_1(1,2,3)$ és ${\overrightarrow{n}}_2(3,4,5)$. Az egyenes merőleges kell, hogy legyen mindkét normálvektorra, ezt vektoriális szorzással kapjuk meg:

$\left[\begin{array}{ccc}i& j& k\\ 1& 2& 3\\ 3& 4& 5\end{array}\right]=(10-12)i-(5-9)j+(4-6)k=(-2,4,-2)=\overrightarrow{v}(-1,2,-1)$

Az egyenes egyenlete: $P+t\cdot \overrightarrow{v}$, egyenletrendszerben:

$\begin{array}{rcl}x& =& 1-t\\ y& =& 2+2t\\ z& =& 3-t\end{array}⟺-(x-1)=\frac{y-2}{2}=-(z-3)$

2. Az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik nem?

-======(a) Ha $(a_n)$ konvergens $(a_n^n)$ is konvergens======

-======(b) Ha $(a_n^n)$ konvergens $(a_n)$ is konvergens======

-======(c) Ha $a_n\to 1$ akkor $a_n^n\to 1$======

-======(d) Ha $a_n^n\to 1$ akkor $a_n\to 1$======

Megoldás

(a) Nem igaz, pl. ha $(a_n)\equiv 2$, akkor $(a_n^n)\to \mathrm{\infty }$, divergál a végtelenbe. ($a_n\to A$, $|A|<0\Rightarrow a_n^n\to B\in \mathbf{R}$, de egyes esetekben $|A|=1$-re is lehet.)

(b) Nem igaz, pl.: $\begin{array}{rcll}{a}_n& :=& 1,-1,1,-1,\dots & \to ̸\\ a_n^n& :=& 1,1,1,1,\dots & \to 1\end{array}$

(c) Nem igaz, pl.: $\begin{array}{ll}(1+\frac{1}{n})& \to 1\\ {(1+\frac{1}{n})}^n& \to e\end{array}$

(d) Nem igaz, lásb (b) feladat megoldása.

-- Gabesz - 2007.01.09.

-- Thanx to Tóth Gábor

-- Andris - 2007.01.10.