„Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)” változatai közötti eltérés

← Régebbi szerkesztés Újabb szerkesztés →

VizuálisWikiszöveges

@@ 218. sor: / 218. sor: @@
 == Jelek állapotváltozós leírása ==
 === Diszkrét idejű jelek esetén ===
+==== Állapotváltozós leírás ====
 Egy rendszer általánosságban leírható az alábbi két képlettel:
-* <math>\vec{x[k+1]} = \vec{A} \cdot \vec{x[k]} + \vec{B} \ cdot u[k]</math>
+* <math>\underline{x[k+1]} = \underline{A} \cdot \underline{x[k]} + \underline{B} \ cdot u[k]</math>
-* <math>\vec{y[k]} = \vec{C} \cdot \vec{x[k]} + \vec{D} \ cdot u[k]</math>
+* <math>\underline{y[k]} = \underline{C} \cdot \underline{x[k]} + \underline{D} \ cdot u[k]</math>
 Ennek így elsőre semmi értelme, de:
@@ 235. sor: / 236. sor: @@
 * <math>y[k] = C_1 \cdot x_1[k] + C_2 \cdot x_2[k] + D \cdot u[k]</math>
-Kétszer kettes esetben az ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' vektorok így írhatóak fel:
+==== Impulzusválasz állapotváltozós leírásból ====
+Az így felírt rendszer impulzusválasza:
-* <math>A = \begin{amatrix}
+<math>h[k] = d \cdot \delta[k] + \epsilon[k-1] \cdot (\underline{c} \cdot \underline{\underline{A}}^{k-1} \cdot \underline{B})</math>
-    A_{11}       & A_{12} \\
-    A_{21}       & A_{22} \\
+===== Mátrix egyszerű hatványozása =====
-\end{amatrix}</math>
+Ebből az <math>\underline{\underline{A}}^{k-1}</math> kiszámolása okozhat nekünk gondot. Ennek a matematikai levezetését én sosem értettem meg, és nem is kell a ketteshez (remélem).
-* <math></math>
-* <math></math>
+Általánosan egy mátrix hatványozása leírható (legalábbis, nekünk ez így jó lesz):
-* <math></math>
+<math>\sum_{i=0}^{k} {\lambda_{i}}^k \cdot \underline{\underline{L_i}}</math>
+Ahol az egyes <math>\underline{\underline{L_i}}</math>-k az ''A'' mátrix Lagrange mátrixai, míg a <math>\lambda_{i}</math>-k az ''A'' mátrix sajátértékei.
+A mátrix sajátértékeit kiszámolhatjuk, ha az alábbi egyenletet megoldjuk:
+<math>\det (\mathbf{A} -\lambda \mathbf{I} )=0</math>
+Azaz:
+<math>((A_{11} - \lambda) \cdot (A_{22} - \lambda)) - (A_{12} \cdot A_{21}) = 0</math>
+A Lagrange mátrix pedig általánosságban:
+<math>\underline{\underline{L_{i}}} = \prod_{p=1}^{N} \frac{\underline{\underline{A}} - \lambda_p \cdot \underline{\underline{E}}}{\lambda_i - \lambda_p}</math>
+Konkrétabban:
+* <math>\underline{\underline{L_{1}}} = \frac{\underline{\underline{A}} - \lambda_2 \cdot \underline{\underline{E}}}{\lambda_1 - \lambda_2}</math>
+* <math>\underline{\underline{L_{2}}} = \frac{\underline{\underline{A}} - \lambda_1 \cdot \underline{\underline{E}}}{\lambda_2 - \lambda_1}</math>
+Ön-ellenőrzéshez (vagy ha éppen késésben vagy), hasznos tulajdonsága a Lagrange mátrixnak, hogy: \sum \underline{\underline{L_i}} = \underline{\underline{E}}