„Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)” változatai közötti eltérés

* az első gyakon elhangzott, hogy az Euler-összefüggések még hasznosak lesznek. [https://hu.wikipedia.org/wiki/Euler-k%C3%A9plet#Kapcsolata_a_trigonometri.C3.A1val Innen] a szinus és a koszinus kifejezése, ni.

A tárgy keretében ''fizikai'' folyamatokat szeretnénk leírni. A fizikait értsd, hogy kb. bármilyen olyan folyamatot, amiben mérhető mennyiségek szerepelnek. Ezeket a mennyiségeket változókkal írjuk le. Ezekből a változókból, ha fizikai dimenzió nélkül kezeljük, lesznek a jeleink. Ilyen folyamat lehet, például:

* Az egyetem egyes évfolyamaira beiratkozott hallgatók száma.

* stb.

''<small>(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU )</small>''

[[File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_rendszerek_ábrázolása.png]]

A fenti rajz lehet az ábrája az alábbi rendszer-modellnek.

Egyébként such wow, a fenti felállásban az ''u'' a gerjesztés, az ''y'' pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban.

Millióféleképpen lehet jeleket osztályozni. Ebből én csak azt jegyzetelem le, amivel foglalkozik a tárgy, a többi nem érdekes.

Beszélhetünk időben folytonos, vagy diszkrét idejű jelekről.

* Folytonos idejű, jelölése <math>x(t)</math> <br/> A folytonos idejű jelek minden <math>t \in \mathbb{R}</math> értékben értelmezettek.

* Diszkrét idejű, jelölése <math>x[k]</math> <br/> A diszkrét idejű jelek csak a <math>k \in \mathbb{Z}</math> egész számok helyén értelmezettek.

Egy folytonos idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>T \in \mathbb{R}</math> periódusidő, hogy

<math>x(t) = x(t + T)</math> minden ''t''-re.

Egy diszkrét idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>L \in \mathbb{Z}</math> periódusidő, hogy

<math>x[k] = x[k + L]</math> minden ''k''-ra.

* Determinisztikus: minden értéke ''megjósolható'' (nem véletlenszerű)<br/><small>ez nyilván nem így hangzik matematikusul, de nekünk jó lesz</small>

* Belépő: <math>x(t) = 0</math> minden <math>t<0</math> esetén.

<br/> '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk.

<math>\delta[k]=\begin{cases} 1 & k=0 \\ 0 &\text{egyébként}\end{cases}</math>

<math>\epsilon[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 1 & k\geq0 \end{cases}</math>

<br/> '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk.

Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként:

<math>\epsilon[k]= \sum_{i=-\infty}^{k} \delta[i]</math>

''<small>(szerk.: ezt ellenőrizd le!)</small>''

Vegyük a következő jelet:

DE!

Tegyük fel, hogy a rendszerek válasza is szuperpozíciónálható. Továbbá tegyük fel, hogy egy rendszer egységimpulzusra adott válaszát ''h[k]''-val jelöljük.

<br/><small>'''Megjegyzés:''' Ez így általánosságban nem igaz. Biztosan szükséges, hogy a rendszer lineáris, s időinvariáns legyen (lehet, még ez sem elég). Ezekről később lesz szó, ott érdemes végiggondolni, miért is van ezekre szükség - s hogy ennyi elég-e.</small>

Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor:

* számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére.

<math>\epsilon(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 & t>0 \end{cases}</math>

'''Megjegyzés:''' Az <math>\epsilon(0)</math>-t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc.

Írjuk fel az <math>\epsilon(t, T)</math> függvényt a következőképpen: