„Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Gyakorlatjegyzet - 2017 (ősz)” változatai közötti eltérés
(Teszt) |
(Első gyakorlat anyaga nagyrészt felskiccelve.) |
||
7. sor: | 7. sor: | ||
== 1. Gyakorlat == | == 1. Gyakorlat == | ||
=== Periodicitás vizsgálata === | === Periodicitás vizsgálata === | ||
− | ==== | + | ==== Diszkrét idejű jelek ==== |
+ | Adott <math>y[k] = \cos(\varphi k)</math>. Hogyan számoljuk ki, hogy periodikus-e? | ||
+ | |||
+ | Felírjuk az periodicitás definícióját, majd számolunk: | ||
+ | <math> | ||
+ | \cos(\varphi k) = \cos(\varphi \cdot (k + L)) \newline | ||
+ | \varphi k + 2n\pi = \varphi(k+L) \newline | ||
+ | 2n\pi = \varphi L \newline | ||
+ | L = \frac{2n\pi}{\varphi} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | Az így kapott ''L'' értéknek definíció szerint egész számnak kell lennie. Három eset lehet a számolás végén: | ||
+ | * Az ''L'' egész. Örülünk, a jel periodikus. | ||
+ | * Az ''L'' racionális tört. Szorozzuk fel, hogy egész legyen (erre van a képletben az ''n''), s örülünk, a jel periodikus. | ||
+ | * Az ''L'' irracionális tört. Ebből sehogy nem lesz egész, a jel nem periodikus. | ||
+ | |||
+ | Általánosságban a <math>2n\pi = \varphi L</math> összefüggést érdemes megjegyezni, majd abból számolni. | ||
+ | |||
+ | ===== Feladatok ===== | ||
Peridokusak-e az alábbi jelek? Amennyiben igen, mi a periódusideje? | Peridokusak-e az alábbi jelek? Amennyiben igen, mi a periódusideje? | ||
− | |||
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed"> | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed"> | ||
− | + | <math>y[k] = \cos(3k)</math> | |
− | <div class="mw-collapsible-content"> | + | <div class="mw-collapsible-content"> |
+ | Nem. | ||
+ | <math> | ||
+ | 2n\pi = \varphi L \newline | ||
+ | \varphi = 3 \newline | ||
+ | 2n\pi = 3L \newline | ||
+ | L = \frac{2n\pi}{3} | ||
+ | </math> | ||
+ | Erre semmilyen olyan ''n''-t nem tudunk mondani, hogy ''L'' egész legyen. | ||
+ | |||
+ | Kis számolással beláthatjuk, hogy a diszkrét idejű jelek csak akkor lesznek periodikusak, ha a ''k'' <math>\pi</math> racionális többszöröse. | ||
+ | </div> | ||
+ | </div> | ||
+ | |||
+ | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed"> | ||
+ | <math>y[k] = \cos(k\frac{\pi}{17} + \frac{\pi}{3})</math> | ||
+ | <div class="mw-collapsible-content"> | ||
+ | Igen. | ||
+ | <math> | ||
+ | y[k] = \cos(k\frac{\pi}{17} + \frac{\pi}{3}) \newline | ||
+ | 2n\pi = \varphi L \newline | ||
+ | \varphi = \frac{\pi}{17} \newline | ||
+ | 2n\pi = \frac{\pi}{17}L \newline | ||
+ | 2 = \frac{L}{17} \newline | ||
+ | L = 2 \cdot 17 = 34 | ||
+ | </math> | ||
+ | </div> | ||
+ | </div> | ||
+ | |||
+ | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed"> | ||
+ | <math>y[k] = \cos(k\frac{2}{5} + \frac{\pi}{2})</math> | ||
+ | <div class="mw-collapsible-content"> | ||
+ | Nem. | ||
+ | </div> | ||
+ | </div> | ||
+ | |||
+ | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed"> | ||
+ | <math>y[k] = \cos(k\frac{3\pi}{19} + \frac{\pi}{2})</math> | ||
+ | <div class="mw-collapsible-content"> | ||
+ | Igen. <math>L = 38</math> | ||
+ | </div> | ||
+ | </div> | ||
+ | |||
+ | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed"> | ||
+ | <math>y[k] = \sin(k\frac{5}{13} + \frac{\pi}{4})</math> | ||
+ | <div class="mw-collapsible-content"> | ||
+ | Nem. | ||
+ | </div> | ||
+ | </div> | ||
+ | |||
+ | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed"> | ||
+ | <math>y[k] = \sin(k\frac{5\pi}{13} + \frac{\pi}{4})</math> | ||
+ | <div class="mw-collapsible-content"> | ||
+ | Igen. <math>L = 26</math> | ||
</div> | </div> | ||
− | |||
− | |||
</div> | </div> |
A lap 2017. szeptember 5., 08:30-kori változata
A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.
Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a Rendszerelmélet lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)
Ez az oldal a gyakorlaton elhangzott feladatokat, s azok megoldásait tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Az előadásjegyzetemet erre találod: Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Előadásjegyzet_-_2017_(ősz)
Tartalomjegyzék
1. Gyakorlat
Periodicitás vizsgálata
Diszkrét idejű jelek
Adott [math]y[k] = \cos(\varphi k)[/math]. Hogyan számoljuk ki, hogy periodikus-e?
Felírjuk az periodicitás definícióját, majd számolunk: [math] \cos(\varphi k) = \cos(\varphi \cdot (k + L)) \newline \varphi k + 2n\pi = \varphi(k+L) \newline 2n\pi = \varphi L \newline L = \frac{2n\pi}{\varphi} [/math]
Az így kapott L értéknek definíció szerint egész számnak kell lennie. Három eset lehet a számolás végén:
- Az L egész. Örülünk, a jel periodikus.
- Az L racionális tört. Szorozzuk fel, hogy egész legyen (erre van a képletben az n), s örülünk, a jel periodikus.
- Az L irracionális tört. Ebből sehogy nem lesz egész, a jel nem periodikus.
Általánosságban a [math]2n\pi = \varphi L[/math] összefüggést érdemes megjegyezni, majd abból számolni.
Feladatok
Peridokusak-e az alábbi jelek? Amennyiben igen, mi a periódusideje?
[math]y[k] = \cos(3k)[/math]
Nem. [math] 2n\pi = \varphi L \newline \varphi = 3 \newline 2n\pi = 3L \newline L = \frac{2n\pi}{3} [/math] Erre semmilyen olyan n-t nem tudunk mondani, hogy L egész legyen.
Kis számolással beláthatjuk, hogy a diszkrét idejű jelek csak akkor lesznek periodikusak, ha a k [math]\pi[/math] racionális többszöröse.
[math]y[k] = \cos(k\frac{\pi}{17} + \frac{\pi}{3})[/math]
Igen. [math] y[k] = \cos(k\frac{\pi}{17} + \frac{\pi}{3}) \newline 2n\pi = \varphi L \newline \varphi = \frac{\pi}{17} \newline 2n\pi = \frac{\pi}{17}L \newline 2 = \frac{L}{17} \newline L = 2 \cdot 17 = 34 [/math]
[math]y[k] = \cos(k\frac{2}{5} + \frac{\pi}{2})[/math]
Nem.
[math]y[k] = \cos(k\frac{3\pi}{19} + \frac{\pi}{2})[/math]
Igen. [math]L = 38[/math]
[math]y[k] = \sin(k\frac{5}{13} + \frac{\pi}{4})[/math]
Nem.
[math]y[k] = \sin(k\frac{5\pi}{13} + \frac{\pi}{4})[/math]
Igen. [math]L = 26[/math]