Számítógépes látórendszerek - Ellenőrző kérdések: Matematikai Alapok, Projektív Geometria

← Vissza az előző oldalra – Számítógépes látórendszerek

Adja meg a lineáris egyenletrendszer általános alakját! Mi a megoldhatóság feltétele? Mutassa be a legkisebb négyzetek (LS) módszerét!

Lineáris egyenletrendszer: ${\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {x}}={\underline {b}}$, ahol ${\underline {\underline {A}}}\in \mathbb {R} ^{m\times n};{\underline {x}}\in \mathbb {R} ^{n};{\underline {b}}\in \mathbb {R} ^{m}$

${\underline {\underline {A}}}$ az együtthatómátrix, ezt vizsgálhatjuk.

Az egyenletrendszer megoldása az oszlopvektorok lineáris kombinációja: ${\underline {a_{1}}}x_{1}+{\underline {a_{2}}}x_{2}+...+{\underline {a_{n}}}x_{n}={\underline {b}}$

Megoldhatóság

A lineáris egyenletrendszer megoldható, ha ${\underline {b}}$ előáll az ${\underline {\underline {A}}}$ mátrix oszlopvektorainak lineáris kombinációjaként, azaz benne van ${\underline {\underline {A}}}$ oszlopterében. A lineáris egyenletrendszer minden ${\underline {b}}\in \mathbb {R} ^{m}$ vektorra megoldható, ha ${\mathcal {O}}({\underline {\underline {A}}})=\mathbb {R} ^{m}$.

LS módszer

Általában a paraméterek számánál több mérési eredmény áll rendelkezésünkre, de a mérési pontatlanságok és zajok miatt az egyenletrendszer nagyon kis valószínűséggel oldható meg. A megoldás legjobb közelítése az LS (Least Squares) módszerrel kapható meg.

Mivel az oszloptér és transzponált nulltér egymás merőleges kiegészítő alterei, bármely ${\underline {b}}\in \mathbb {R} ^{m}$ vektor előáll

${\underline {b}}={\underline {\sigma }}+{\underline {n}},\ \ {\underline {o}}\in {\mathcal {O}}({\underline {\underline {A}}}),\ \ {\underline {n}}\in {\mathcal {N}}({\underline {\underline {A}}}^{T})$

formában. Ekkor

${\underline {\underline {A}}}\ {\underline {x}}={\underline {\sigma }}$

${\underline {\underline {A}}}^{T}\ {\underline {b}}={\underline {\underline {A}}}^{T}\ {\underline {\sigma }}+{\underline {\underline {A}}}^{T}\ {\underline {n}}={\underline {\underline {A}}}^{T}{\underline {\sigma }}={\underline {\underline {A}}}^{T}({\underline {\underline {A}}}\ {\underline {x}})$

${\underline {\hat {x}}}=({\underline {\underline {A}}}^{T}\ {\underline {\underline {A}}})^{-1}\ {\underline {\underline {A}}}^{T}\ {\underline {b}}$

${\underline {\hat {x}}}$ a megoldás legjobb közelítése (optimális megoldás, LS becslő).

Mi az SVD felbontás és mire használható? Mit értünk szinguláris érték és vektor alatt?

Az SVD (szinguláris érték) felbontás bázistranszformáció, arra használjuk, hogy a mátrixainkat olyan ortonormált bázisban írhassuk fel, ahol diagonálisak. A diagonális mátrixokat azért szeretjük, mert irányfüggő erősítéseket jellemeznek (legnagyobb, legkisebb -> rendszerek stabilitása).

$A=U\Sigma V^{T}$,

ahol $U\in \mathbb {R} ^{m\times m};\Sigma \in \mathbb {R} ^{m\times n};V\in \mathbb {R} ^{n\times n}$.

U és V bázistranszformációs mátrixok, ortogonálisak (ezért ortonormált bázisokra visznek).

$\Sigma$ a szinguláris értékekből ($\sigma _{1},\sigma _{2}...\sigma _{m}$) képzett diagonális mátrix. Konvencionálisan a szinguláris értékek csökkenő sorrendben szerepelnek.

[TODO: érték? vektor?]

Adja meg a lehetséges geometriai transzformációk típusait, és a mátrixaik általános alakját! Milyen tulajdonságokat őriznek meg az egyes típusok?

Projektív transzformáció

$T_{proj}={\begin{bmatrix}t_{11}&t_{12}&t_{13}\\t_{21}&t_{22}&t_{23}\\t_{31}&t_{32}&t_{33}\end{bmatrix}}$

Affin transzformáció

Megőrzi az ideális pontokat.

$T_{aff}={\begin{bmatrix}t_{11}&t_{12}&t_{13}\\t_{21}&t_{22}&t_{23}\\0&0&t_{33}\end{bmatrix}}$

Hasonlósági transzformáció

• Nincs irányfüggő skálázás
• Nincs nyírás

$T_{simi}={\begin{bmatrix}cos(\alpha )&-sin(\alpha )&t_{13}\\sin(\alpha )&cos(\alpha )&t_{23}\\0&0&t_{33}\end{bmatrix}}$

Euklideszi transzformáció

Nincs skálázás

$T_{eucl}={\begin{bmatrix}cos(\alpha )&-sin(\alpha )&t_{13}\\sin(\alpha )&cos(\alpha )&t_{23}\\0&0&1\end{bmatrix}}$

Transzformációk és megőrzött tulajdonságok

Geometriák:	Euklideszi	Hasonlósági	Affin	Projektív
Transzformációk
Eltolás	I	I	I	I
Forgatás	I	I	I	I
Uniform skálázás	X	I	I	I
Nem uniform skálázás	X	X	I	I
Nyírás	X	X	I	I
Perspektív vetítés	X	X	X	I
Invariáns jellemzők
Hossz	I	X	X	X
Szög	I	I	X	X
Hosszak aránya	I	I	X	X
Párhuzamosság	I	I	I	X
Egybeesés	I	I	I	I
Keresztarány	I	I	I	I

Mik a homogén koordináták és mi a használatuk előnye? Mi az az ideális pont?

Pontok leírása a projektív síkon

Euklideszi koordináták → Projektív: $(x,y)\rightarrow (x,y,1)$

Tulajdonságok:

$(X,Y,W)=(kX,kY,kW)$

$k\neq 0\rightarrow \not \exists (0,0,0)$

Az egy síkbeli ponthoz tartozó számhármasok egy egyenest alkotnak $\mathbb {R} ^{3}$-ban. A homogén koordináták skála invariánsak.

Ideális pont

Homogén koordináták → Euklideszi: $(X,Y,W)\rightarrow (X/W,Y/W)$

Az ideális pont $(X,Y,0)$ alakú. Vegyük észre az előző képlet nullosztóját.

Az ideális pont egyfajta irányított végtelen, melynek minden koordinátája véges.

Adja meg a projektív térből a projektív síkra történő vetítés egyenletét! Mi az eltűnő pont?

Vetítés a projektív térből a projektív síkra: $P_{3}\rightarrow P_{2}$

Egyenlet

${\begin{bmatrix}x\\y\\w\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}t_{11}&t_{12}&t_{13}&t_{14}\\t_{21}&t_{22}&t_{23}&t_{24}\\t_{31}&t_{32}&t_{33}&t_{34}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\\W\end{bmatrix}}$

Eltűnő pont

Párhuzamos $P_{3}$-beli egyenesek metszéspontja, az adott irányban lévő ideális pont.

${\begin{bmatrix}x\\y\\w\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}t_{11}&t_{12}&t_{13}&t_{14}\\t_{21}&t_{22}&t_{23}&t_{24}\\t_{31}&t_{32}&t_{33}&t_{34}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\\0\end{bmatrix}}$

A $P_{3}$-beli ideális pont képe $P_{2}$-ben nem biztos, hogy ideális pont lesz!

• Csak, ha (X,Y,Z) merőleges $(t_{31},t_{32},t_{33})$-ra
• Ha az egyenesek párhuzamosak a képsíkkal!