Matematika A1 - Vizsga: 2007.06.07

← Vissza az előző oldalra – Matematika A1a - Analízis

1. Feladat

Határozza meg a (0,2,0), (1,0,-1) és (0,-1,2) pontokat tartalmazó sík egyenletét.

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

2. Feladat

Oldja meg a $z^{2}={\overline {z}}^{2}$ egyenletet.

Megoldás

$z^{2}={\overline {z}}^{2}$

Írjuk ki z-t és z konjugáltat algebrai alakban:

$(a+bi)^{2}=(a-bi)^{2}$

Zárójelek felbontása után:

$a^{2}+2abi-b^{2}=a^{2}-2abi-b^{2}$

Kihúzzuk a közös tagokat, osztunk 2i-vel:

$ab=-ab$

Ez akkor lehetséges, ha $a=0\vee b=0$ és $a,b\in \mathbb {R}$, az összes ilyen alakú szám megoldás.

3. Feladat

Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét:

$a,\;a_{n}=\left({\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}\right)^{3n^{2}}$

$b,\;b_{n}={\sqrt[{n}]{\frac {2n^{2}-1}{n^{2}+2}}}$

Megoldás

a, Feladat:

$a_{n}=\left({\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}\right)^{3n^{2}}=\left({\frac {n^{2}+2-2-1}{n^{2}+2}}\right)^{3n^{2}}=\left({\frac {n^{2}+2}{n^{2}+2}}+{\frac {-3}{n^{2}+2}}\right)^{3n^{2}}=\left(1-{\frac {3}{n^{2}+2}}\right)^{3n^{2}}$

A nevezőt alakítsuk úgy, hogy hasonlítson a kitevőhöz: $\left(1-{\frac {9}{3n^{2}+6}}\right)^{3n^{2}}$

Felírjuk a kitevőt úgy, hogy nevezetes határértéket kapjunk, de ekkor persze még osztani is kell, hogy ne legyen csalás!

${\frac {\left(1-{\frac {9}{3n^{2}+6}}\right)^{3n^{2}+6}}{\left(1-{\frac {9}{3n^{2}+6}}\right)^{6}}}$

Látható, hogy a nevező 1-hez tart, így a határérték:

${\underline {\underline {e^{-9}={\frac {1}{e^{9}}}}}}$

b, Feladat:

A gyökjel alatt végezzünk algebrai átalakítást:

$b_{n}={\sqrt[{n}]{2-{\frac {5}{n^{2}+2}}}}$

Most adjunk alsó és felső becslést a gyökjel alatti sorozatra:

Felső becslésnek tökéletes a 2, hiszen sosem érheti el a gyökjel alatti sorozat, és minden eleme kisebb nála.

Alsó becslésnek vegyük a gyökjel alatti sorozat első elemét, hiszen ha n nő, akkor egyre kisebb számokat vonunk ki a kettőből, tehát szigorúan monoton növekszik a gyökjel alatti sorozat.

$2-{\frac {5}{3}}={\frac {1}{3}}<2-{\frac {5}{n^{2}+2}}<2$

Most alkalmazzuk a rendőrelvvet (alias csendőrelv, közrefogási elv), amit megtehetünk, mivel tudjuk, hogy az n-edik gyök szigorúan monoton növekvő függvény, tehát kisebb szám n-edik gyöke kisebb, mint egy nagyobb számé.

${\sqrt[{n}]{\frac {1}{3}}}<{\sqrt[{n}]{2-{\frac {5}{n^{2}+2}}}}<{\sqrt[{n}]{2}}$

Tudjuk, hogy:

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {1}{3}}}=1$

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{2}}=1$

Így a rendőrelv miatt:

$\lim _{n\to \infty }{b_{n}}=1$

4. Feladat

Legyen $f(x)=xarctan{\frac {1}{x^{2}}},x\neq 0$ és $0,x=0$.

a, Hol folytonos és hol deriválható $f(x)$?

b, Hol folytonos $f'(x)$?

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

5. Feladat

Igaz vagy hamis? Válaszát indokolja!

a, Ha $a,b\neq 0$ és $ab=ac$, akkor $b=c$

b, Ha $\lim {a_{n}}=\lim {b_{n}}=0$ akkor $\lim {\frac {a_{n}}{b_{n}}}=1$

c, Ha f korlátos [a,b]-n, akkor folytonos [a,b]-n

d, Ha f szigorúan monoton nő $\mathbb {R}$-en, akkor $\lim _{x\rightarrow \infty }{f(x)}=\infty$

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

6. Feladat

Számítsa ki a következő határozatlan integrálokat:

$a,\;\int {\frac {1}{x(x^{2}+1)}}dx$

$b,\;\int {\frac {\sqrt {x}}{x{\sqrt {x}}+3}}dx$

Megoldás

a, Feladat:

Parciális törtekre bontjuk az integrandust:

${\frac {1}{x(x^{2}+1)}}={\frac {A}{x}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+1}}$

${\frac {1}{x(x^{2}+1)}}={\frac {A(x^{2}+1)+x(Bx+C)}{x(x^{2}+1)}}$

${\frac {1}{x(x^{2}+1)}}={\frac {Ax^{2}+A+Bx^{2}+Cx)}{x(x^{2}+1)}}$

$1=(A+B)x^{2}+Cx+A$

Két polinom csakis akkor lehet egyenlő, ha megegyeznek a megfelelő együtthatóik:

$A=1$

$(A+B)=0\Rightarrow B=-1$

$C=0$

Tehát:

${\frac {1}{x(x^{2}+1)}}={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{x^{2}+1}}$

Így már könnyű integrálni:

$\int {\frac {1}{x(x^{2}+1)}}\;dx=\int {\frac {1}{x}}-{\frac {1}{2}}\int {\frac {2x}{x^{2}+1}}=ln|x|-{\frac {1}{2}}ln|x^{2}+1|+C$

b, Feladat:

${\frac {x^{\frac {1}{2}}}{xx^{\frac {1}{2}}+3}}={\frac {x^{\frac {1}{2}}}{x^{\frac {3}{2}}+3}}$

Mi is a nevező deriváltja? Jéé, az majdnem a számláló! Ennek örülünk :)

${\frac {2}{3}}\int {\frac {{\frac {3}{2}}x^{\frac {1}{2}}}{x^{\frac {3}{2}}+3}}\;dx={\frac {2}{3}}\;ln{|x^{\frac {3}{2}}+3|+C}$