„Anal2-magic” változatai közötti eltérés

Eredetileg ugye egy 2D-s vektor: v = (x, y)

polarban: v = (r, fi)

Atvaltas:

x = r * cos( fi )

y = r * sin( fi )

itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog

r = sqrt( x² + y² )

fi eleme [0 ; 2 * pi]

Jakobi determinans |J|:

|matrix| = r // azaz az alabbi matrix determinansa

A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltakbol all, a masodik pedig a fi szerintiekbol. // HF: szamold ki ;)

Ha pl egy integralnal at kell valtani a koordinatarendszert, akkor a fuggvenyt az atvaltas utan be kell szorozni |J|-vel.

ez a tipus hasznos x² + y² esetben (amikor ilyesmi van az integralban)

 

ugyanaz mint a polar csak terben, hozzajon z = z is (nem valtozik)

ez a tipus hasznos x² + y² + z² esetben

|J| ugyanaz mint a polarnal.

 

ugyanaz mint a henger, csak itt egy gomb feluleten van az egesz.

atvaltas:

x = r * sin( b ) * cos( fi )

y = r * sin( b ) * sin( fi )

y = r * cos( b )

r = sqrt( x² + y² + z² )

fi eleme [0 ; 2 * pi]

b eleme [0 ; pi] // am a b az beta, de mind1 hogy hivod :D

|J| = r² * sin( b )

A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltak (mar 3 elem), a masodik a fi szerinti derivaltak, a harmadik a b szerintiek. // HF: szamold ki ;)

 

'''Pelda:'''

ʃʃ (2 * x² + 2 * y² + 4)⁷ dT = ?

T: x² + y² <= 9, x <= 0, y >= 0

Itt kerdes a tartomany amin integralni kene.

Jah es van amikor ket alakzat altal bezart teruletet/terfogatot kerdeznek, ekkor ahhoz, hogy megkapd r-t meg kell nezni, hogy hol metszenek ezek (egyenletmegoldas)

T elso reszebol megtudjuk, hogy ez egy kor lesz, illetve, hogy r = 3

A masodik, harmadik reszbol megtudjuk, hogy ennek a kornek a masodik negyenek a terulete kell.

Tehat fi eleme [pi / 2 ; pi] tartomanynak (itt kell majd integralni)

x = r * cos( fi ) = 3 * cos( fi )

y = r * sin( fi ) = 3 * sin( fi )

Ne felejts el beszorozni |J|-vel!

atvaltas utan:

ʃʃ r * ( 2 * r² + 4 )⁷ dfidr // tartomany: r: [0 ; 3], fi: [pi / 2 ; pi]

ezt mar ki tudjuk integralni, a megoldas: pi / 64 * ( 22⁸ - 4⁸ )