Anal2-magic

← Vissza az előző oldalra – Analízis II.

Fontos

Ezek a 2 félévnyi Analízis 2 (sima/kereszt) alatt gyűltek össze, többnyire típuspéldákra mennek rá, 2-est (elvileg) simán össze lehet vele szedni.

BTW, a kereszt nem azért jött össze, mert a sima nem ment, hanem mert már nem volt időm tanulni a vizsgára. A gyakorlást NEM helyettesíti. Tehát ezt bemagolod, és utána megoldasz sok zh-t / vizsgát, úgy már jó (elvileg :D ).

Keresztet nem ajánlom :D ua. az anyag, de máshogy kérdezik.

Ha nem mész át ezzel, az a TE hibád :P

A pontosításoknak természetesen mindenki örül

Deriválttábla, számológép nem art :P

Alapok

Azonosságok, amiket jó, ha tudsz

sin²(x) + cos²(x) = 1
cosh²(x) - sinh²(x) = 1
sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x)
sin(x + y) = sin(x) * cos(y) + cos(x) * sin(y)
sin(x ‒ y) = sin(x) * cos(y) ‒ cos(x) * sin(y)
cos(x ‒ y) = cos(x) * cos(y) + sin(x) * sin(y)
cos(x + y) = cos(x) * cos(y) ‒ sin(x) * sin(y)
sinh(a+b) = sinh(a) * cosh(b) + cosh(a) * sinh(b) // sincos-cossin (h)
cosh(a+b) = cosh(a) * cosh(b) + sinh(a) * sinh(b) // coscos-sinsin (h)
lim_x->0 sin(x) / x = 1 // ezek talán meg anal1-ről :P
lim_x->0 x / sin(x) = 1
f'(x0) = lim_x->0 ( f(x) - f(x0) ) / (x - x0)
f'(x0) = lim_Δx->0 ( f(x0 + Δx) - f(x0) ) / Δx
cosh(x) = ( e^x + e^-x ) / 2
sinh(x) = ( e^x - e^-x ) / 2

Deriválás

f'(c * x) = c * f'(x) // konstanssal szorzás
(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) // összeadás
(f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + g'(x) * f(x) // szorzás
(f / g)'(x) = ( f'(x) * g(x) - g'(x) * f(x) ) / g²(x) // osztás
f'( g(x) ) = f'( g(x) ) * g'(x) // összetett fv
(f^-1)'(x) = 1 / ( f'( f^-1(x) ) ) // inverz fv

Érintő egyenes egyenlete: f(x) = f(x0) + f'(x0) * (x - x0)

Integrálás

ʃ f(x) dx = F(x) + C
ʃ f( φ(x) ) * φ'(x) dx = F( φ(x) ) + C
ʃ f^a(x) * f'(x) dx = ( f(x)^{a + 1} ) / (a + 1) + C // a != -1
ʃ e^f(x) * f'(x) dx = e^f(x) + C
ʃ f'(x) / f(x) dx = ln| f(x) | + C
ʃ f' * g dx = f * g - ʃ f*g' // parciális integrálás
ʃ (a * x + b) dx = F(a * x + b) / a + C // a != 0

Helyettesítéses integrál:
ʃ f(x) dx // ez vmi bonyolult integrált akar lenni :P
u = f(x) // ez lesz a helyettesítés
du = f'(x) //lederiválod f(x)-et, mert le kell vele osztani
ʃ u / f'(x) du = kijön vmi --> visszahelyettesítesz

Parciális törtekre bontás integrálás
EZT VKI LEÍRHATNÁ IDE

Diffegyenletek (DE)

Szeparábilis DE

y'(x) = g(y) * f(x) // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x) !!!
Meg kell nézni, hogy g(y) mikor lesz 0
g(y) = 0
Megoldod, ha van megoldás, akkor az egy megoldás lesz!

ʃ 1 / g(y) dy = ʃ f(x) dx
ebből kijön: y = K * h(x) // itt a K = e^C ; C az integrálás során keletkezik
néha nem kell pont ilyen alakra hozni, azt jelzik.

Lineáris DE

y'(x) + g(x) * y = f(x) // ilyen alakban kell keresni
y'(x) + g(x) * y = 0 --> homogén lineáris DE --> innen szeparábilis, megoldható
y = K * h(x) --> az inhomogén általánoshoz kell K(x) is
K(x) = ʃ f(x) / h(x) dx
//inhomogén általános megoldása
y_ia = K * h(x) + K(x) * h(x) // homogén + inhomogén partikuláris megoldás
Kezdeti érték probléma: behelyettesítesz, kijön: K = valami
K-t visszahelyettesíted y_ia-ba --> megkapod: y_konkrét

DE helyettesítéssel

Példán keresztül bemutatva:
y' = 1 / (x + y)
ezt nehéz lenne bármelyik kategóriába besorolni (lineáris, szeparábilis), így valami helyettesítést kell alkalmazni.
Simán megadták, hogy mik lehetnek a helyettesítések, azokból kellett az egyiket alkalmazni.
Lehetséges helyettesítések:
u = x + y
u = y / x

Ehhez a feladathoz az elsőt választjuk. A célunk az, hogy az egyenletben ne legyen csak u alapú változó. Tehát:
u = x + y
kifejezzük y-t:
y = u - x
lederiváljuk:
y' = u' - 1
Tehát most már minden változó y', x+y megvan, behelyettesítünk:
u' - 1 = 1 / u
kicsit rendezzük:
u' = 1 + 1 / u = (u + 1) / u
Ez tehát szeparábilis, g(y) helyett g(u) van, f(x)-et pedig 1 fogja jelképezni.
Megnézzük a 0-re vonatkozó megoldást:
g(u) = (u + 1) / u = 0
u = -1
Tehát visszahelyettesítve: y = -1 - x egy megoldása lesz a DE-nek.
Tovább haladunk a megoldással:
ʃ u / (u + 1) du = ʃ 1 dx
A második fele: x + C
Az első fele:
ʃ u / (u + 1) du = ʃ (u + 1 - 1) / (u + 1) du = ʃ 1 - ( 1 / (u + 1) ) du = u - ln| u + 1 | + C

Ezekből:
u - ln| u + 1 | = x + C --> visszahelyettesítünk
x + y - ln| x + y + 1 | = x + c

Homogén lineáris, állandó együtthatós DE

Megoldás: C * e^λ*x alakban kell keresni. De néha bejön cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszerű.
Példa:
y⁽³⁾ + 2 * y⁽²⁾ + y' = 0
λ³ + 2 * λ² + λ = 0
λ * ( λ² + 2 * λ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatványa (itt 1)
λ * ( λ + 1 )² = 0
első feléből λ₁ = 0
második feléből λ₂ = -1
DE 3 megoldás kell!!!
ilyenkor a homogén megoldáshoz hozzárakunk meg x-el beszorzott tagokat

y_h = C1 * e^{0 * x} + C2 * e^{-1 * x} + C3 * x * e^{-1 * x}

Példa 2:
y⁽³⁾ + 4 * y⁽²⁾ + 13 * y' = 0
λ³ + 4 * λ² + 13 * λ = 0 // kiemelsz λ-t
λ( λ² + 4 * λ + 13 ) = 0
λ( (λ + 2)² + 9 ) = 0
első feléből λ₁ = 0
második feléből:
-9 = (λ + 2)²
-9^1/2 = λ + 2
-9^1/2 - 2 = λ
3*i - 2 = λ // két darab komplex megoldás lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldásba
-3*i - 2 = λ

y_h = C1 * e^{0 * x} + C2 * e^{-2 * x} * cos(3 * x) + C3 * e^{-2 * x} * sin(3 * x)
tehát a valós rész lesz a λ, a képzetes rész pedig a cos/sin (pozitív/negatív) belseje

Példa 3:
adott egy megoldás: 2 * e^{5 * x} - e^{-3 * x}
ebből kell a DE-et felírni.
ebből rögtön latjuk is, hogy λ₁ = 5
λ₂ = -3
tehát ebből következtethetünk a karakterisztikus egyenletre:
(λ - 5) * (λ + 3) = 0
innentől 'csak' át kell rendezni, és megoldani
λ² + 3 * λ - 5 * λ - 15 = 0
λ² - 2 * λ - 15 = 0
y⁽²⁾ - 2 * y - 15 = 0

Inhomogén lineáris, állandó együtthatós DE

absztrakt példa:
a(x) * y⁽²⁾ + b(x) * y' + c(x) * y = f(x)
Ebből kell a homogén DE megoldása.
a(x) * y⁽²⁾ + b(x) * y' + c(x) * y = 0
y_h = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) // ez ugye az e^λ*x -os alak
Az inhomogén partikuláris megoldása ebből az alábbi alakban lesz:
itt C1 és C2 ismeretlenek, y1, és (opcionálisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-ből 'generálódnak' (lásd alább)
c * | y_ip = C1 * y1(x) + C2 * y2(x)
b * | y'_ip = C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) + C1' * y1(x) + C2 * y2'(x)
// note: C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) = 0
a * | y⁽²⁾_ip = C1' * y1'(x) + C1 * y1⁽²⁾(x) + C2' * y2'(x) + C2 * y2⁽²⁾(x)
ezt C1, C2-re kell megoldani.
ezután az inhomogén általános megoldás = homogén megoldás + inhomogén partikuláris megoldás
Speciális f(x) esetek:
itt A, B_i ismeretlenek
f(x) = K * e^{a * x} --> y_ip = A * e^{a * x}
f(x) = a_mx^m+ ... + a₀ --> y_ip = B_mx^m+ ... + B₀
f(x) = K₁ * sin(a * x) --> y_ip = A * sin(a * x) + B * cos(a * x) // tehát bejön egy cos(a * x) is!
f(x) = K₂ * cos(b * x) --> y_ip = A * cos(b * x) + B * sin(b * x) // tehát bejön egy sin(b * x) is!

Konkrét példa:
y⁽²⁾ - 5 * y' + 6 * y = 2 * sin(2 * x)
λ² - 5 * λ + 6 = 0
λ₁ = 2
λ₂ = 3
y_h = C1 * e^{2 * x} + C2 * e^{3 * x}
y_ip = A * f(x) + B * f'(x)

// annyiszor kell deriválni y_ip-t, amennyi fokú az eredeti DE is (itt 2)
// ha a homogének között szerepel az y_ip, akkor külső rezonancia van!
// tehát y_ip *= x, és utána már lehet deriválni --> ezt kell gyakorolni
// magic: be kell szorozni a deriváltakat az együtthatókkal
6 * | y_ip = A * sin(2 * x) + B * cos(2 * x)
-5 * | y'_ip = 2 * A * cos(2 * x) - 2 * B * sin(2 * x)
1 * | y⁽²⁾_ip = -4 * A * sin(2 * x) - 4 * B * cos(2 * x)
// magic: Ha megnézed, akkor beszoroztam az elején levő számokkal ott ahol kellett.
sin(2 * x)-ből 2 volt az eredeti DE-ben, tehát:
2 = 6 * A + 5 * 2 * B - 4 * A
cos(2 * x)-ből 0 volt az eredeti DE-ben, tehat:
0 = 6 * B - 5 * 2 * A - 4 * B
ezekből:
A = 1 / 26
B = 5 / 26
y_ia = C1 * e^{2 * x} + C2 * e^{3 * x} + (1 / 26) * sin(2 * x) + (5 / 26) * cos(2 * x)

Izoklinák

példa:
y' = e^{y + 2} - x
ebből magic: K = e^{y + 2} - x
kifejezzük y-t:
y = ln( x + K ) - 2
Ha kérdeznek lokális szélsőértéket, akkor y'-at kell megvizsgálni helyettesítéssel
Az inflexiós ponthoz y⁽²⁾-at kell megnézni:
y⁽²⁾ > 0 --> lokális minimum
y⁽²⁾ < 0 --> lokális maximum
Ha párhuzamosságot kérdeznek, akkor a meredekség = K-val.
Ezekhez ajánlott megnézni par feladatot, és azon értelmezni :D

Lineáris rekurzió

(ez nagyon magic)
megoldás alakja: f(n) = qⁿ // q != 0
pelda:
f(n) = 4 * f * (n - 1) - 3 * f * (n - 2)
ebből:
qⁿ = 4 * q^{n - 1} - 3 * q^{n - 2}
a legalacsonyabb hatványú q-val osztunk.
q² = 4 * q - 3 --> másodfokú
q₁ = 1
q₂ = 3
ebből: f(n) = C1 * 1ⁿ + C2 * 3ⁿ
Ha O(1) típusú megoldások kellenek:
f(n) = O(1): létezik olyan K, hogy |f(n)| <= K * 1, n > N (veges sok kivétel)
tehát: f(n)-nek korlatosnak kell lenni:
C2 = 0

Taylor sorok

// easter egg :D, t.g.o.d.: JrVt10PTD8I
A Taylor sorok arra jók, hogy egy függvényt közelítsünk a deriváltjai segítségével.
Fun fact: ezt régebben arra is használták, hogy a 'drága' sin/cos és hasonló fv-eket helyettesítsek egy 'olcsó' változattal.
f(x) függvény x0 bázispontú n-ed fokú Taylor polinomja:
$\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(x0)}{k!}}*(x-x0)^{k}$

tehát ahhoz, hogy felírjuk a T-sorát egy függvénynek n db deriváltra lesz szükség.
Analitikus függvény: egy intervallumon analitikus egy függvény, ha ott előállítja a T-sora

Nevezetes függvények T-sorai

Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle \frac {x^m} {1-x} = \sum_{k=m}^{\infty} x^k \rightarrow Konvergencia tartomány: |x| < 1 }
$e^{x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}\rightarrow KT:x\in R$
$ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {x^{k}}{k}}\rightarrow KT:|x|<1$
$(1+x)^{a}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {a}{k}}*x^{k}\rightarrow |x|<1,a\in C$
$\sin(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-1^{k}}{(2*k+1)!}}*x^{2*k+1}\rightarrow KT:x\in R$
$\cos(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-1^{k}}{(2*k)!}}*x^{2*k}\rightarrow KT:x\in R$
$\sinh(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2*k+1)!}}*x^{2*k+1}\rightarrow KT:x\in R$
$\cosh(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2*k)!}}*x^{2*k}\rightarrow KT:x\in R$

Lagrange-hiba becsles

Tehát a hibát meg lehet becsülni az n+1-ik T-sor taggal.
xi eleme lesz az [x ; x0] tartománynak, érdemes úgy választani, hogy egyszerű legyen számolni (pl x0 általában jó)
Lagrange-hiba: ( f^{n + 1}(xi) / (n + 1)! ) * (x - xi)^{n + 1}
Példa (keresztről):
y' = sin( y ) + 2 + x
y( x = π ) = 1
y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell)
felső becsles a hibára?
y'( x = π ) = sin( 1 ) + 2 + π // itt az 1 elvileg radiánban van --> számológép!
y⁽²⁾( x = π ) = cos( y ) * y' + 1 = cos( 1 ) * ( sin( 1 ) + 2 + π ) + 1
T( x0 = π ) = y( π ) + y'( π ) * (x - π) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + π ) * (x - π)
y(3) ~= T( x0 = π, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + π ) * (3 - π) ~= -0.2 // ezt a tanár nagyon becsülte!
létezik olyan xi, hogy [3 ; π] tartományban van, mivel felső becslest csinálunk, ezert π-t választjuk xi-nek.
hiba = | y(3) - T( x0 = π, x = 3 ) | = Lagrange = ( f⁽²⁾(xi) / 2! ) * (3 - π)² ~= 0.1 // meg ezt is!
tehát a megoldás: -0.2 +- 0.1

Konvergencia tartomány (KT)

Általában meg van adva vmi T-sor, szummás alakban. Erre alkalmazzuk a hányados / gyökkritériumot.
|a_n|^1/n vagy | (a_n + 1) / a_n |
ezután kijön vmi, ami egyenlő 1 / R-el, kifejezzük R-t.
az (x - x0) = 0 egyenletből megkapjuk x-et, ez lesz a KT középpontja.
tehát KT = (x - R, x + R)
végpontokban külön meg kell nézni:
ha divergens --> (
ha konvergens --> [
kell.
Ha x² van (már nem tudom hol, nézz rá feladatot :D ), akkor u = x² (helyettesítünk)
a végén meg kell nézni, hogy a KT jó-e.
a <= u=x² <= b
ez minden x-re teljesül --> |x| < sqrt(a) --> KT: ( -sqrt(a), sqrt(a) )

Fourier-sorok

Megoldás lepései:

• fel kell rajzolni a függvényt
• ha a függvény páros --> b_k = 0
• ha a függvény páratlan --> a_k = 0, a0 = 0
• Φ(x) = a0 / 2 + sum( a_k^{cos(k * x) + sin(k * x)} )
• a_k = 1 / π * ʃ^π_-π f(x) * cos(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
• b_k = 1 / π * ʃ^π_-π f(x) * sin(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
• páratlan * páratlan = páros // ezt már nem tudom miért volt a lapon :D --> nézzél feladatot
• ha [-π ; 0] és [0 ; π] között ugyanaz a függvény, akkor ez páros függvény lesz
• ekkor elég [0 ; π] -ig integrálni. A 0 értékű tartományokat ezután ki lehet venni.
• ki kell integrálni a függvényt
• vissza kell helyettesíteni Φ(x)-be
• Φ(x) = f(x) --> be kell helyettesíteni, a szakadási helyeknél: ( f(x+) + f(x-) ) / 2

Gradiens (aka többváltozós fv-ek deriválása)

Általában adott P0 = (a, b) vektor.
gradf(P0) = f '_x(P0) * i + f '_y(P0) * j = (f '_x, f '_y) // itt i, j egységvektorok
f '_x illetve f '_y úgy jön ki, hogy x illetve y szerint deriválsz.
Pl ha x szerint deriválsz, akkor y csak egy konstans lesz, nem kell vele foglalkozni.
df/de|P0 = gradf(P0) * e // itt e az egységvektor, amit általában megadnak, néha normalizálni kell, a szorzás a két vektor komponensek szerinti szorzása (tehát nem skalár vagy vektor szorzás)
max df/de|P0 = |gradf(P0)| = sqrt((f '_x)² + (f '_y)²) // azaz a vektor hossza
a maximum iránya: v = gradf(P0) / |gradf(P0)| // normalizálod
Miért létezik gradf? mert a parciális deriváltak f 'x és f 'y léteznek és f(x,y) folytonos P0-ban
Akkor totálisan differenciálható, ha a parciális deriváltak folytonosak P0 pontban, tehát létezik a határértékük // vagy mi :D

f(x,y) P₀(x₀,y₀) érintősík egyenlete: f '_x(x₀,y₀) * (x - x₀) + f '_y(x₀,y₀) * (y - y₀) + f(x₀,y₀) = z

Megoldási menet kétváltozós szélsőértékszámítás:

1)
Adott f( x,y) kétváltozós függvény

f '_x = ....... = 0
f '_y = ....... = 0
lehetséges szélsőérték

p₁(..,..)
p₂(..,..)
p₃(..,..)

2)

f ′′xx = ...
f ′′xy = ...
f ′′yy = ...

3)
$D=\left({\begin{matrix}f''_{xx}&f''_{xy}\\f''_{yx}&f''_{yy}\end{matrix}}\right)=...$
Ha D(p1) =......> 0 akkor szélsőérték
Ha D(p1) =......< 0 akkor nem szélsőérték!

Vagy
D = f ′′xx f ′′yy − (f ′′xy)² = ...

4)
f _xx(p1) =.... ha > 0 akkor min vagy ha < 0 akkor max

Körintegrál

Ebből en két fajtával találkoztam:

• amikor az alakzat egy kor
• amikor az alakzat egy ellipszis

Az integrál alakja általában:
ʃ f(z) / (z - z0)^{n + 1} dz
A tartomány alakja:

• |z - a| = x // x sugarú, a középpontú kor
• |z - a| + |z - b| = x // ez meg egy ellipszis

Fel kell rajzolni az alakzatot (az ellipszisnek nézz utána!)
Itt négy eset jöhet szoba:

• ha z0 a koron kívülre esik, akkor a függvény reguláris, ʃ f(z) ds = 0
• ha z0 pont a körön van --> nem értelmezett az integrál
• ha z0 a körben van --> ʃ f(z) / (z - z0)^{n + 1} dz = (2 * π * i) / n! * f⁽ⁿ⁾(z0)
• ha több z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor kettő integrál összegére kell bontani, majd mind a kettőre |z|-t úgy kell választani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nézz feladatot!), természetesen ilyenkor előbb meg kell nézni az előző három pontot, hogy esetleg nem értelmezzük, kívül esik-e stb. mert akkor nem kell integrálni...

Példa:
ʃ ( f(z) + 1 / (z + 8) ) dz
tartomány: |z - 2 * i| = 2
tehát a középpont = 2 * i
z0 = -8
r = 2
ebből felrajzoljuk a kort, és akkor latjuk, hogy z0 kivul esik a koron, tehát ʃ f(z) dz = 0

Példa 2:
ʃ cos( z ) / ( z⁴ + 8 * z² + 16 ) dz
tartomány: |z + 2| + |z - 2| = 5
tehát ez egy ellipszis lesz, több z0 is van.
r = 5
A z0-ok kiszámolása:
z⁴ + 8 * z² + 16 = (z² + 4) * (z² + 4)
sqrt(z²) = -4
z₁ = 2 * i
z₂ = -2 * i
felrajzoljuk:
http://i.imgur.com/oon9cwS.png
Ki kell kiszámolni b hosszat, hogy megtudjuk, hogy a z0-ok merre vannak.
Azt tudjuk, hogy A = -2, B = 2.
Tehát (Pitagorasz-tétel, huh?): b = sqrt( (R / 2)² - 2² ) = 1.5 // a 2 az A-ból jött, R = 5 ugye
tehát a két z0 kívül esik, emiatt ʃ f(z) dz = 0

Érdemes a többi típusra is nézni feladatot!

Alternatív koordinátarendszerek

Polárkoordináták

Eredetileg ugye egy 2D-s vektor: v = (x, y)
polárban: v = (r, φ)
Átváltás:
x = r * cos( φ )
y = r * sin( φ )
itt r a vektor hossza, φ az x tengellyel bezárt szög
r = sqrt( x² + y² )
φ eleme [0 ; 2 * π]
Jakobi determináns |J|:
|matrix| = r // azaz az alábbi matrix determinánsa
A matrix első oszlopa az r szerinti deriváltakból áll, a második pedig a φ szerintiekből. // HF: számold ki ;)
Ha pl egy integrálnál at kell váltani a koordinátarendszert, akkor a függvényt az átváltás után be kell szorozni |J|-vel.
ez a típus hasznos x² + y² esetben (amikor ilyesmi van az integrálban)

Hengerkoordináták

ugyanaz mint a polar csak térben, hozzájön z = z is (nem változik)
ez a típus hasznos x² + y² + z² esetben
|J| ugyanaz mint a polárnal.

Gömbkoordináták

ugyanaz mint a henger, csak itt egy gömb felületen van az egész.
átváltás:
x = r * sin( β ) * cos( φ )
y = r * sin( β ) * sin( φ )
z = r * cos( β )
r = sqrt( x² + y² + z² )
φ eleme [0 ; 2 * π]
β eleme [0 ; π]
|J| = r² * sin( β )
A matrix első oszlopa az r szerinti deriváltak (már 3 elem), a második a φ szerinti deriváltak, a harmadik a β szerintiek. // HF: számold ki ;)

Példa:
ʃʃ (2 * x² + 2 * y² + 4)⁷ dT = ?
T: x² + y² <= 9, x <= 0, y >= 0
Itt kérdés a tartomány amin integrálni kéne.
Jah és van amikor két alakzat által bezárt területet/térfogatot kérdeznek, ekkor ahhoz, hogy megkapd r-t meg kell nézni, hogy hol metszenek ezek (egyenletmegoldás)
T első részéből megtudjuk, hogy ez egy kor lesz, illetve, hogy r = 3
A második, harmadik részből megtudjuk, hogy ennek a körnek a második negyedének a területe kell.
Tehát φ eleme [π / 2 ; π] tartománynak (itt kell majd integrálni)
x = r * cos( φ ) = 3 * cos( φ )
y = r * sin( φ ) = 3 * sin( φ )
Ne felejts el beszorozni |J|-vel!
átváltás után:
ʃʃ r * ( 2 * r² + 4 )⁷ dφ dr // tartomány: r: [0 ; 3], φ: [π / 2 ; π]
ezt már ki tudjuk integrálni, a megoldás: π / 64 * ( 22⁸ - 4⁸ )

Példa 2:
Térfogatszámítasos integrál.
T: sqrt( x² + y² ) <= z <= 6 - ( x² + y² )
Ilyenkor az integrált ʃʃ 1 dT-nek kell tekinteni, és itt ki kell találni, hogy hol integráljunk, illetve, hogy mit ( |J| )
T bal és jobb oldalából, ha felrajzoljuk, akkor latszik, hogy ez egy két görbe közötti terület lesz.
Mivel x² és y² illetve z van, ezert hengerkoordinátákat fogunk használni. (azért nem gömbit, mert az bonyolultabb)
T polárral: R <= z <= 6 - R²
amint az előző példánál említettem, itt meg kell nézni, hogy hol találkozik a két görbe.
R = 6 - R² --> másodfokú, R₁ = -3, R₂ = 2, ebből a -3 nem valószínű, hogy jó.
Tehát az integrál a következő lesz:
ʃʃʃ r dz dr dφ, a tartomány:
z: [r ; 6 - r² // ezzel nem tudunk mit csinálni, viszont meg így is számolható lesz.
r: [0 ; 2]
φ: [0 ; 2 * π] // mivel nem mondtak meg, hogy ezzel mi legyen, ezert az alapértelmezett tartományt használjuk.
Innen ez már simán kiintegrálható, nekem 33.51 jött ki.

Példa 3:
Tartománycserés integrál.
ʃʃ (1 + x³)^{1 / 5} dx dy
T: x: [sqrt(y) / 2 ; 2], y: [0 ; 16]
Ha felrajzoljuk a tartományt, akkor láthatjuk, hogy ez valami vitorla alakú izé lesz.
Mikmakról tanult GTK-s (elfordítod a koordinátarendszert, mert az milyen jó...) módszerrel a tartomány első felénél:
kifejezzük y-t: y = (2 * x)²
Tehát ami történt az az, hogy x(y)-ból áttranszformáltuk y(x)-re (tehát GTK-s ból a normálisra)
Ha ránézünk a rajzra, akkor láthatjuk, hogy x: [0 ; 2] lesz.
Tehát az integrál a következő lesz:
ʃʃ (1 + x³)^{1 / 5} dy dx
T: x: [0 ; 2], y: [0 ; (2 * x)²]
Innen ez is simán kiintegrálható.

Komplex függvénytan

Komplex számok

z = x + i * y // itt x a valós rész, y a képzetes, i = sqrt(-1)
f komplex differenciálható mindenhol --> u,v harmonikus fv-ek --> Δ u = u ' '_xx + u ' '_yy = 0

Azonosságok:
|z| = sqrt( x² + y² )
/z = x - i * y // konjugált
|z1 * z2| = |z1| * |z2|
|z1 / z2| = |z1| / |z2|
|z|² = z * /z
|z| = |/z|
arg(z) = -arg(/z) // arg(z): az x tengellyel bezárt szög, trigonometrikusnál φ
/(z1 + z2) = /z1 + /z2

Trigonometrikus alak:
z = r * ( cos(φ) + i * sin(φ) ) // itt r a vektor hossza, φ az x tengellyel bezárt szög
r = |z|
φ = arg(z) // φ: [-π ; π]

Exponenciális alak:
z = r * e^{φ * i} // úgy lehet megjegyezni, hogy Réffy J. (már akit tanított)

Komplex szorzás:
z1 * z2 = r1 * r2 * ( cos(φ + b) + i * sin(φ + b) ) = r1 * r2 * e^{(φ + b) * i}

Osztás:
z1 / z2 = r1 / r2 * ( cos(φ - b) + i * sin(φ - b) ) = r1 / r2 * e^{(φ - b) * i}

Hatványozás:
zⁿ = rⁿ * ( cos(φ * n) + i * sin(φ * n) )

Gyökvonás:
z^{1 / n} = r^{1 / n} * e^{( (φ + 2 * k * π) / n ) * i} = r^{1 / n} * ( cos( (φ + 2 * k * π) / n ) + i * sin( (φ + 2 * k * π) / n ) )

Euler-formula:
e^{i * φ} = cos(φ) + i * sin(φ) // erre nézz feladatot!

Harmonikus függvények

f(z) = u(x, y) + i * v(x, y) //azaz u a valós rész, v a képzetes rész (függvény)
Azonosságok:
u'x = v'y
u'y = -v'x
u⁽²⁾xx = v⁽²⁾yx
u⁽²⁾yy = -v⁽²⁾xy
u⁽²⁾xy = v⁽²⁾yy
u⁽²⁾yx = -v⁽²⁾xx
Young tétel: ha egy pont környékén a >= 2 fokú parciális deriváltak léteznek és folytonosak, akkor függetlenek a deriválás sorrendjétől. Tehát xy és yx ugyanaz lesz.
Δu = u⁽²⁾xx + u⁽²⁾yy
Lokális szélsőértékek:
van, ha f'x = f'y = 0, és // szükséges feltétel
|f⁽²⁾xx f⁽²⁾xy|
|f⁽²⁾yx f⁽²⁾yy|
|det| > 0
Ha f⁽²⁾xx > 0 --> lokális minimum
Ha f⁽²⁾xx < 0 --> lokális maximum
// note: néha a valós részből kell a képzetest kiszámolni. Ilyenkor kiszámolod az elsőfokú deriváltakat, abból ugye megkapod a képzetes elsőfokú deriváltjait, ezt viszont vissza lehet integrálni. --> erre nézz feladatot

← Vissza az előző oldalra – Analízis II.