„Anal2-magic” változatai közötti eltérés

231. sor:

Fun fact: ezt regebben arra is hasznaltak, hogy a 'draga' sin/cos es hasonlo fv-eket helyettesitsek egy 'olcso' valtozattal.

f(x) fuggveny x0 bazispontu n-ed foku Taylor polinomja:

sumnk( ( f(k)(x0) / k! ) * (x - x0)k )

sumnk=0( ( f(k)(x0) / k! ) * (x - x0)k )

tehat ahhoz, hogy felirjuk a T-sorat egy fuggvenynek k db derivaltra lesz szukseg.

tehat ahhoz, hogy felirjuk a T-sorat egy fuggvenynek n db derivaltra lesz szukseg.

'''Nevezetes fuggvenyek T-sorai:'''

xm / (1 - x) = sumnk=m( xk ) --> Konvergencia tartomany: |x| < 1

ex = sumnk=0( xk / k! ) --> KT: x eleme R-nek

ln(1 + x) = sumnk=0( ( -1k / (k + 1)! ) * xk + 1 ) --> KT: |x| < 1

(1 + x)a = sumnk=0( (a choose k) * xk ) --> |x| < 1, a eleme C-nek

sin(x) = sumnk=0( ( -1k / (2 * k + 1)! ) * x2 * k + 1 ) --> KT: x eleme R-nek

cos(x) = sumnk=0( ( -1k / (2 * k)! ) * x2 * k ) --> KT: x eleme R-nek

sinh(x) = sumnk=0( ( 1 / (2 * k + 1)! ) * x2 * k + 1 ) --> KT: x eleme R-nek

cosh(x) = sumnk=0( ( 1 / (2 * k)! ) * x2 * k ) --> KT: x eleme R-nek

'''Lagrange-hiba becsles:'''

Tehat a hibat meg lehet becsulni az n+1-ik T-sor taggal.

xi eleme lesz az [x ; x0] tartomanynak, erdemes ugy valasztani, hogy egyszeru legyen szamolni (pl x0 altalaban jo)

Lagrange-hiba: ( fn + 1(xi) / (n + 1)! ) * (x - x0)n + 1

'''Pelda (keresztrol):'''

y' = sin( y ) + 2 + x

y( x = pi ) = 1

y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell)

felso becsles a hibara?

y'( x = pi ) = sin( 1 ) + 2 + pi // itt az 1 elvileg radianban van --> szamologep!

y(2)( x = pi ) = cos( y ) * y' + 1 = cos( 1 ) * ( sin( 1 ) + 2 + pi ) + 1

T( x0 = pi ) = y( pi ) + y'( pi ) * (x - pi) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (x - pi)

y(3) ~= T( x0 = pi, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (3 - pi) ~= -0.2 // ezt a tanar nagyon becsulte!

letezik olyan xi, hogy [3 ; pi] tartomanyban van, mivel felso becslest csinalunk, ezert pi-t valaszjuk xi-nek.

hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f(2)(xi) / 2! ) * (3 - pi)2 ~= 0.1 // meg ezt is!

tehat a megoldas: -0.2 +- 0.1

@@ 231. sor: / 231. sor: @@
 Fun fact: ezt regebben arra is hasznaltak, hogy a 'draga' sin/cos es hasonlo fv-eket helyettesitsek egy 'olcso' valtozattal.<br />
 f(x) fuggveny x0 bazispontu n-ed foku Taylor polinomja:<br />
-sum<sup>n</sup><sub>k</sub>( ( f<sup>(k)</sup>(x0) / k! ) * (x - x0)<sup>k</sup> )<br />
+sum<sup>n</sup><sub>k=0</sub>( ( f<sup>(k)</sup>(x0) / k! ) * (x - x0)<sup>k</sup> )<br />
-tehat ahhoz, hogy felirjuk a T-sorat egy fuggvenynek k db derivaltra lesz szukseg.<br />
+tehat ahhoz, hogy felirjuk a T-sorat egy fuggvenynek n db derivaltra lesz szukseg.<br />
+'''Nevezetes fuggvenyek T-sorai:'''
+x<sup>m</sup> / (1 - x) = sum<sup>n</sup><sub>k=m</sub>( x<sup>k</sup> ) --> Konvergencia tartomany: |x| < 1
+e<sup>x</sup> = sum<sup>n</sup><sub>k=0</sub>( x<sup>k</sup> / k! ) --> KT: x eleme R-nek
+ln(1 + x) = sum<sup>n</sup><sub>k=0</sub>( ( -1<sup>k</sup> / (k + 1)! ) * x<sup>k + 1</sup> ) --> KT: |x| < 1
+(1 + x)<sup>a</sup> = sum<sup>n</sup><sub>k=0</sub>( (a choose k) * x<sup>k</sup> ) --> |x| < 1, a eleme C-nek
+sin(x) = sum<sup>n</sup><sub>k=0</sub>( ( -1<sup>k</sup> / (2 * k + 1)! ) * x<sup>2 * k + 1</sup> ) --> KT: x eleme R-nek
+cos(x) = sum<sup>n</sup><sub>k=0</sub>( ( -1<sup>k</sup> / (2 * k)! ) * x<sup>2 * k</sup> ) --> KT: x eleme R-nek
+sinh(x) = sum<sup>n</sup><sub>k=0</sub>( ( 1 / (2 * k + 1)! ) * x<sup>2 * k + 1</sup> ) --> KT: x eleme R-nek
+cosh(x) = sum<sup>n</sup><sub>k=0</sub>( ( 1 / (2 * k)! ) * x<sup>2 * k</sup> ) --> KT: x eleme R-nek
+'''Lagrange-hiba becsles:'''
+Tehat a hibat meg lehet becsulni az n+1-ik T-sor taggal.
+xi eleme lesz az [x ; x0] tartomanynak, erdemes ugy valasztani, hogy egyszeru legyen szamolni (pl x0 altalaban jo)
+Lagrange-hiba: ( f<sup>n + 1</sup>(xi) / (n + 1)! ) * (x - x0)<sup>n + 1</sup>
+'''Pelda (keresztrol):'''
+y' = sin( y ) + 2 + x
+y( x = pi ) = 1
+y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell)
+felso becsles a hibara?
+y'( x = pi ) = sin( 1 ) + 2 + pi // itt az 1 elvileg radianban van --> szamologep!
+y<sup>(2)</sup>( x = pi ) = cos( y ) * y' + 1 = cos( 1 ) * ( sin( 1 ) + 2 + pi ) + 1
+T( x0 = pi ) = y( pi ) + y'( pi ) * (x - pi) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (x - pi)
+y(3) ~= T( x0 = pi, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (3 - pi) ~= -0.2 // ezt a tanar nagyon becsulte!
+letezik olyan xi, hogy [3 ; pi] tartomanyban van, mivel felso becslest csinalunk, ezert pi-t valaszjuk xi-nek.
+hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f<sup>(2)</sup>(xi) / 2! ) * (3 - pi)<sup>2</sup> ~= 0.1 // meg ezt is!
+tehat a megoldas: -0.2 +- 0.1