„Anal2-magic” változatai közötti eltérés

71. sor:

=== DE helyettesitessel ===

Peldan keresztul bemutatva:

'''Peldan keresztul bemutatva:'''

y' = 1 / (x + y)

ezt nehez lenne barmelyik kategoriaba besorolni (linearis, szeparabilis), igy valami helyettesitest kell alkalmazni.

149. sor:

=== Inhomogen linearis, allando egyutthatos DE ===

absztrakt pelda:

'''absztrakt pelda:'''

a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = f(x)

Ebbol kell a homogen DE megoldasa.

155. sor:

yh = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) // ez ugye az eʎ*x -os alak

Az inhomogen partikularis megoldasa ebbol az alabbi alakban lesz:

itt C1 es C2 ismeretlenek, y1, es (opcionalisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-bol 'generalodnak' (lasd alabb)

c * | yip = C1 * y1(x) + C2 * y2(x)

b * | y'ip = C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) + C1' * y1(x) + C2 * y2'(x)

160. sor:

161. sor:

a * | y(2)ip = C1' * y1'(x) + C1 * y1(2)(x) + C2' * y2'(x) + C2 * y2(2)(x)

ezt C1, C2-re kell megoldani.

ezutan az inhomogen altalanos megoldas = homogen megoldas + inhomogen partikularis megoldas

'''Specialis f(x) esetek:'''

itt A, Bi ismeretlenek

f(x) = K * ea * x --> yip = A * ea * x

f(x) = amxm+ ... + a0 --> yip = Bmxm+ ... + B0

f(x) = K1 * sin(a * x) --> yip = A * sin(a * x) + B * cos(a * x) // tehat bejon egy cos(a * x) is!

f(x) = K2 * cos(b * x) --> yip = A * cos(b * x) + B * sin(b * x) // tehat bejon egy sin(b * x) is!

'''Konkret pelda:'''

y(2) - 5 * y' + 6 * y = 2 * sin(2 * x)

ʎ2 - 5 * ʎ + 6 = 0

ʎ1 = 2

ʎ2 = 3

yh = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x

yip = A * f(x) + B * f'(x)

// annyiszor kell derivalni yip-t, amennyi foku az eredeti DE is (itt 2)

// ha a homogenek kozott szerepel az yip, akkor kulso rezonancia van!

// tehat yip *= x, es utana mar lehet derivalni --> ezt kell gyakorolni

// magic: be kell szorozni a derivaltakat az egyutthatokkal

6 * | yip = A * sin(2 * x) + B * cos(2 * x)

-5 * | y'ip = 2 * A * cos(2 * x) - 2 * B * sin(2 * x)

1 * | y(2)ip = -4 * A * sin(2 * x) - 4 * B * cos(2 * x)

// magic: Ha megnezed, akkor beszoroztam az elejen levo szamokkal ott ahol kellett.

sin(2 * x)-bol 2 volt az eredeti DE-ben, tehat:

2 = 6 * A + 5 * 2 * B - 4 * A

cos(2 * x)-bol 0 volt az eredeti DE-ben, tehat:

0 = 6 * B - 5 * 2 * A - 4 * B

ezekbol:

A = 1 / 26

B = 5 / 26

yia = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x + (1 / 26) * sin(2 * x) + (5 / 26) * cos(2 * x)

== Izoklinak ==

pelda:

'''pelda:'''

y' = ey + 2 - x

ebbol magic: K = ey + 2 - x

@@ 71. sor: / 71. sor: @@
 <br />
 === DE helyettesitessel ===
-Peldan keresztul bemutatva:<br />
+'''Peldan keresztul bemutatva:'''<br />
 y' = 1 / (x + y)<br />
 ezt nehez lenne barmelyik kategoriaba besorolni (linearis, szeparabilis), igy valami helyettesitest kell alkalmazni. <br />
@@ 149. sor: / 149. sor: @@
 === Inhomogen linearis, allando egyutthatos DE ===
-absztrakt pelda:<br />
+'''absztrakt pelda:'''<br />
 a(x) * y<sup>(2)</sup> + b(x) * y' + c(x) * y = f(x)<br />
 Ebbol kell a homogen DE megoldasa.<br />
@@ 155. sor: / 155. sor: @@
 y<sub>h</sub> = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) // ez ugye az e<sup>ʎ*x</sup> -os alak<br />
 Az inhomogen partikularis megoldasa ebbol az alabbi alakban lesz:<br />
+itt C1 es C2 ismeretlenek, y1, es (opcionalisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-bol 'generalodnak' (lasd alabb)
 c * | y<sub>ip</sub> = C1 * y1(x) + C2 * y2(x)<br />
 b * | y'<sub>ip</sub> = C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) + C1' * y1(x) + C2 * y2'(x)<br />
@@ 160. sor: / 161. sor: @@
 a * | y<sup>(2)</sup><sub>ip</sub> = C1' * y1'(x) + C1 * y1<sup>(2)</sup>(x) + C2' * y2'(x) + C2 * y2<sup>(2)</sup>(x)<br />
 ezt C1, C2-re kell megoldani.<br />
+ezutan az inhomogen altalanos megoldas = homogen megoldas + inhomogen partikularis megoldas
+<br />
+'''Specialis f(x) esetek:'''<br />
+itt A, B<sub>i</sub> ismeretlenek<br />
+f(x) = K * e<sup>a * x</sup> --> y<sub>ip</sub> = A * e<sup>a * x</sup><br />
+f(x) = a<sub>m</sub>x<sup>m</sup>+ ... + a<sub>0</sub> --> y<sub>ip</sub> = B<sub>m</sub>x<sup>m</sup>+ ... + B<sub>0</sub><br />
+f(x) = K<sub>1</sub> * sin(a * x) --> y<sub>ip</sub> = A * sin(a * x) + B * cos(a * x) // tehat bejon egy cos(a * x) is!<br />
+f(x) = K<sub>2</sub> * cos(b * x) --> y<sub>ip</sub> = A * cos(b * x) + B * sin(b * x) // tehat bejon egy sin(b * x) is!<br />
+<br />
+'''Konkret pelda:'''<br />
+y<sup>(2)</sup> - 5 * y' + 6 * y = 2 * sin(2 * x)<br />
+ʎ<sup>2</sup> - 5 * ʎ + 6 = 0<br />
+ʎ<sub>1</sub> = 2<br />
+ʎ<sub>2</sub> = 3<br />
+y<sub>h</sub> = C1 * e<sup>2 * x</sup> + C2 * e<sup>3 * x</sup><br />
+y<sub>ip</sub> = A * f(x) + B * f'(x)<br />
+<br />
+// annyiszor kell derivalni y<sub>ip</sub>-t, amennyi foku az eredeti DE is (itt 2)<br />
+// ha a homogenek kozott szerepel az y<sub>ip</sub>, akkor kulso rezonancia van!<br />
+// tehat y<sub>ip</sub> *= x, es utana mar lehet derivalni --> ezt kell gyakorolni<br />
+// magic: be kell szorozni a derivaltakat az egyutthatokkal<br />
+* | y<sub>ip</sub> = A * sin(2 * x) + B * cos(2 * x)<br />
+-5 * | y'<sub>ip</sub> = 2 * A * cos(2 * x) - 2 * B * sin(2 * x)<br />
+* | y<sup>(2)</sup><sub>ip</sub> = -4 * A * sin(2 * x) - 4 * B * cos(2 * x)<br />
+// magic: Ha megnezed, akkor beszoroztam az elejen levo szamokkal ott ahol kellett.<br />
+sin(2 * x)-bol 2 volt az eredeti DE-ben, tehat:<br />
+= 6 * A + 5 * 2 * B - 4 * A<br />
+cos(2 * x)-bol 0 volt az eredeti DE-ben, tehat:<br />
+= 6 * B - 5 * 2 * A - 4 * B<br />
+ezekbol:<br />
+A = 1 / 26<br />
+B = 5 / 26<br />
+y<sub>ia</sub> = C1 * e<sup>2 * x</sup> + C2 * e<sup>3 * x</sup> + (1 / 26) * sin(2 * x) + (5 / 26) * cos(2 * x)<br />
 <br />
 == Izoklinak ==
-pelda:<br />
+'''pelda:'''<br />
 y' = e<sup>y + 2</sup> - x<br />
 ebbol magic: K = e<sup>y + 2</sup> - x<br />