„Anal2-magic” változatai közötti eltérés
Nincs szerkesztési összefoglaló |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
| 69. sor: | 69. sor: | ||
Kezdeti ertek problema: behelyettesitesz, kijon: K = valami<br /> | Kezdeti ertek problema: behelyettesitesz, kijon: K = valami<br /> | ||
K-t visszahelyettesited y<sub>ia</sub>-ba --> megkapod: y<sub>konkret</sub><br /> | K-t visszahelyettesited y<sub>ia</sub>-ba --> megkapod: y<sub>konkret</sub><br /> | ||
=== DE helyettesitessel === | |||
Peldan keresztul bemutatva:<br /> | |||
y' = 1 / (x + y)<br /> | |||
ezt nehez lenne barmelyik kategoriaba besorolni (linearis, szeparabilis), igy valami helyettesitest kell alkalmazni. <br /> | |||
Siman megadtak, hogy mik lehetnek a helyettesitesek, azokbol kellett az egyiket alkalmazni.<br /> | |||
Lehetseges helyettesitesek: <br /> | |||
u = x + y<br /> | |||
u = y / x<br /> | |||
Ehhez a feladathoz az elsot valasztjuk. A celunk az, hogy az egyenletben ne legyen csak u alapu valtozo. Tehat:<br /> | |||
u = x + y<br /> | |||
kifejezzuk y-t:<br /> | |||
y = u - x<br /> | |||
lederivaljuk:<br /> | |||
y' = u' - 1<br /> | |||
Tehat mostmar minden valtozo y', x+y megvan, behelyettesitunk:<br /> | |||
u' - 1 = 1 / u<br /> | |||
kicsit rendezzuk:<br /> | |||
u' = 1 + 1 / u = (u + 1) / u<br /> | |||
Ez tehat szeparabilis, g(y) helyett g(u) van, f(x)-et pedig 1 fogja jelkepezni.<br /> | |||
Megnezzuk a 0-re vonatkozo megoldast:<br /> | |||
g(u) = (u + 1) / u = 0<br /> | |||
u = -1<br /> | |||
Tehat visszahelyettesitve: y = -1 - x egy megoldasa lesz a DE-nek.<br /> | |||
Tovabb haladunk a megoldassal:<br /> | |||
ʃ u / (u + 1) du = ʃ 1 dx<br /> | |||
A masodik fele: x + C<br /> | |||
Az elso fele:<br /> | |||
ʃ u / (u + 1) du = ʃ (u + 1 - 1) / (u + 1) du = ʃ 1 - ( 1 / (u + 1) ) du = u - ln| u + 1 | + C<br /> | |||
Ezekbol:<br /> | |||
u - ln| u + 1 | = x + C --> visszahelyettesitunk<br /> | |||
x + y - ln| x + y + 1 | = x + c<br /> | |||
=== Magasabbrendu DE-k === | === Magasabbrendu DE-k === | ||