Alkalmazott algebra - Előadások 2012

1. előadás (szeptember 3.)

Testek, polinomok, vektorterek. Altér, generátorrendszer, függetlenség, bázis, dimenzió. Lineáris leképezések és transzformációk, dimenziótétel. Egy alkalmazás: polinominterpoláció.

Tárgymutató

• Testek, polinomok, vektorterek: D6-10, J1-2
• Altér, generátorrendszer, függetlenség, bázis, dimenzió: D11-16, J2-3
• Lineáris leképezések és transzformációk, dimenziótétel: D17-20, J3-5
• Egy alkalmazás: polinominterpoláció: D22, "interpoláció".

2. előadás (szeptember 7.)

Lagrange- és Newton-féle interpolációs polinomok. A Shamir-féle titokmegosztás. Polinomok és polinomfüggvények kapcsolata véges, illetve végtelen test fölött. Műveletek lineáris leképezésekkel. Mátrixok, mátrixműveletek, mátrixhoz tartozó lineáris leképezés. Speciális mátrixok, blokkmátrixok. Lineáris leképezés mátrixa adott bázispárban.

Tárgymutató

• Lagrange-féle interpolációs polinom: D21-22, J5
• Newton-féle interpolációs polinom: -
• Shamir-féle titokmegosztás: D23-25, J6
• Polinomok és polinomfüggvények kapcsolata véges, illetve végtelen test fölött: -
• Műveletek lineáris leképezésekkel: D17-18, J4, J6
• Mátrixok, mátrixműveletek, mátrixhoz tartozó lineáris leképezés: D27-31, D37-38, J7-8
• Speciális mátrixok, blokkmátrixok: D31
• Lineáris leképezés mátrixa adott bázispárban: D35

Eltérések

Polinomok és polinomfüggvények kapcsolata véges, illetve végtelen test fölött

Newton-féle interpolációs polinom:

$f_{0},\dots ,f_{n-1}:\deg f_{i}=i$

$f_{i}(x)=f_{i-1}(x)+A(x-a_{1})\dots (x-a_{i})$

$f(a_{i+1})=b_{i+1}$

??

Newton-féle interpolációs formula (innen):

$y=y_{0}+A_{0}(x-x_{0})+A_{1}(x-x_{0})(x-x_{1})+\dots +A_{m}(x-x_{0})(x-x_{1})\dots (x-x_{m}),$

ahol az $A_{i}$ kifejezések a Newton-féle interpolációs együtthatók:

$A_{0}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}};\quad A_{1}={\frac {y_{1}-y_{0}-A_{0}(x_{2}-x_{1})}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})}};\quad \dots$

3. előadás (szeptember 14.)

Báziscsere. Elemi sorműveletek és elemi mátrixok. Az invertálhatóság ekvivalensei. Lineáris leképezés és mátrix rangja. A rang ekvivalensei és tulajdonságai. Egy alkalmazás: a Fischer-egyenlőtlenség.

Tárgymutató

• Báziscsere: D40, J9
• Elemi sorműveletek és elemi mátrixok: ??
• Az invertálhatóság ekvivalensei: ??
• Lineáris leképezés és mátrix rangja: ??
• A rang ekvivalensei és tulajdonságai: D49, J15
• Egy alkalmazás: a Fischer-egyenlőtlenség: -

Eltérések

Fischer-egyenlőtlenség: hiányzik a jegyzetből/diasorból.

Rang alkalmazása: Fischer-egyenlőtlenség

$n,\lambda \in \mathbb {N} ^{+}$. Legyen $|S|=n$ halmaz, ${\mathcal {H}}:S$ néhány részhalmazának halmaza (halmazrendszer) úgy, hogy

$h_{1},h_{2}\in {\mathcal {H}}(h_{1}\neq h_{2})$

$\lambda$-elemű részhalmazban metszik egymást ($|h_{1}\cap h_{2}|=\lambda$). Ekkor $|{\mathcal {H}}|\leq n$

4. előadás (szeptember 17.)

Determináns definíciója, tulajdonságai, kiszámítási módjai. Cauchy-Binet-formula. Inverz mátrix előjeles aldeterminánsokkal. Lineáris egyenletrendszerek megoldása és megoldásszáma. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér. Vektorterek direkt összege, és ennek dimenziója. A különböző sajátértékekhez tartozó sajátalterek generátuma a sajátalterek direkt összege.

Tárgymutató

• Determináns definíciója, tulajdonságai, kiszámítási módjai: D43-48, J10-12
• Cauchy-Binet-formula: -
• Inverz mátrix előjeles aldeterminánsokkal: D48, J13
• Lineáris egyenletrendszerek megoldása és megoldásszáma: D52-63, J13-14. Megoldásszám: ??
• Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér: D64-68, J15-16
• Vektorterek direkt összege, és ennek dimenziója: J18
• A különböző sajátértékekhez tartozó sajátalterek generátuma a sajátalterek direkt összege: ??

Eltérések

Determináns: $A=[\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n}]$ esetén $\det A$ a $\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n}$ egy csúcsból kiinduló oldalak által határolt $n$-dimenziós paralelepipedon előjeles térfogata.

Szerepelt a determináns korábban ismert definíciója is (D43, J10).

Cauchy-Binet-formula: hiányzik a jegyzetből/diasorból.

$A\in \mathbb {R}$, $B\in \mathbb {R} ^{n\times k}$, $k\leq n$ esetén az $AB$ $k\times k$-as négyzetes mátrix determinánsa: $\det(AB)=\sum _{i}\det A_{i}\cdot \det B_{i}$

Az összegbe az összes lehetséges kiválasztással kapott $k\times k$-as részmátrixok kerülnek.

Formálisan (innen): $\sum _{F\subseteq \left\{1,\ldots ,n\right\},|F|=k}\det A[F]\cdot \det B[F]$

$n=m$-re a tétel megegyezik a determinánsok szorzástételével (az összeg egy tagból áll).

5. előadás (szeptember 21.)

Mátrix magterének és képterének bázisa. Mátrixok hasonlósága. Diagonalizálhatóság és ekvivalensei. Karakterisztikus és minimálpolinom. Cayley-Hamilton-tétel. Jordan-féle normálalak.

Tárgymutató

• Mátrix magterének és képterének bázisa: ??
• Mátrixok hasonlósága: D40-42, J10
• Diagonalizálhatóság és ekvivalensei: -
• Karakterisztikus és minimálpolinom: D73 és J16, D77 és J22
• Cayley-Hamilton-tétel: D76 (Hamilton-Cayley-tétel) J21
• Jordan-féle normálalak: részletes leírás a tárgy honlapján