Alkalmazott algebra - Előadások 2012

← Vissza az előző oldalra – Alkalmazott algebra

1. előadás (szeptember 3.)

Testek, polinomok, vektorterek. Altér, generátorrendszer, függetlenség, bázis, dimenzió. Lineáris leképezések és transzformációk, dimenziótétel. Egy alkalmazás: polinominterpoláció.

Tárgymutató

• Testek, polinomok, vektorterek: D6-10, J1-2
• Altér, generátorrendszer, függetlenség, bázis, dimenzió: D11-16, J2-3
• Lineáris leképezések és transzformációk, dimenziótétel: D17-20, J3-5
• Egy alkalmazás: polinominterpoláció: D22, "interpoláció".

2. előadás (szeptember 7.)

Lagrange- és Newton-féle interpolációs polinomok. A Shamir-féle titokmegosztás. Polinomok és polinomfüggvények kapcsolata véges, illetve végtelen test fölött. Műveletek lineáris leképezésekkel. Mátrixok, mátrixműveletek, mátrixhoz tartozó lineáris leképezés. Speciális mátrixok, blokkmátrixok. Lineáris leképezés mátrixa adott bázispárban.

Tárgymutató

• Lagrange-féle interpolációs polinom: D21-22, J5
• Newton-féle interpolációs polinom: -
• Shamir-féle titokmegosztás: D23-25, J6
• Polinomok és polinomfüggvények kapcsolata véges, illetve végtelen test fölött: -
• Műveletek lineáris leképezésekkel: D17-18, J4, J6
• Mátrixok, mátrixműveletek, mátrixhoz tartozó lineáris leképezés: D27-31, D37-38, J7-8
• Speciális mátrixok, blokkmátrixok: D31
• Lineáris leképezés mátrixa adott bázispárban: D35

Eltérések

Polinomok és polinomfüggvények kapcsolata véges, illetve végtelen test fölött

Newton-féle interpolációs polinom:

$f_0,\dots ,f_{n-1}:\mathrm{deg}{f}_i=i$

$f_i(x)=f_{i-1}(x)+A(x-a_1)\dots (x-a_i)$

$f(a_{i+1})=b_{i+1}$

??

Newton-féle interpolációs formula (innen):

$y=y_0+A_0(x-x_0)+A_1(x-x_0)(x-x_1)+\dots +A_m(x-x_0)(x-x_1)\dots (x-x_m),$

ahol az $A_i$ kifejezések a Newton-féle interpolációs együtthatók:

$A_0=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0};A_1=\frac{y_1-y_0-A_0(x_2-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)};\dots$

3. előadás (szeptember 14.)

Báziscsere. Elemi sorműveletek és elemi mátrixok. Az invertálhatóság ekvivalensei. Lineáris leképezés és mátrix rangja. A rang ekvivalensei és tulajdonságai. Egy alkalmazás: a Fischer-egyenlőtlenség.

Tárgymutató

• Báziscsere: D40, J9
• Elemi sorműveletek és elemi mátrixok: ??
• Az invertálhatóság ekvivalensei: ??
• Lineáris leképezés és mátrix rangja: ??
• A rang ekvivalensei és tulajdonságai: D49, J15
• Egy alkalmazás: a Fischer-egyenlőtlenség: -

Eltérések

Fischer-egyenlőtlenség: hiányzik a jegyzetből/diasorból.

Rang alkalmazása: Fischer-egyenlőtlenség

$n,\lambda \in {\mathbb{\mathbb{N}}}^{+}$. Legyen $|S|=n$ halmaz, ${\mathscr{H}}:S$ néhány részhalmazának halmaza (halmazrendszer) úgy, hogy

$h_1,h_2\in {\mathscr{H}}(h_1\ne h_2)$

$\lambda$-elemű részhalmazban metszik egymást ($|h_1\cap h_2|=\lambda$). Ekkor $|{\mathscr{H}}|\le n$

4. előadás (szeptember 17.)

Determináns definíciója, tulajdonságai, kiszámítási módjai. Cauchy-Binet-formula. Inverz mátrix előjeles aldeterminánsokkal. Lineáris egyenletrendszerek megoldása és megoldásszáma. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér. Vektorterek direkt összege, és ennek dimenziója. A különböző sajátértékekhez tartozó sajátalterek generátuma a sajátalterek direkt összege.

Tárgymutató

• Determináns definíciója, tulajdonságai, kiszámítási módjai: D43-48, J10-12
• Cauchy-Binet-formula: -
• Inverz mátrix előjeles aldeterminánsokkal: D48, J13
• Lineáris egyenletrendszerek megoldása és megoldásszáma: D52-63, J13-14. Megoldásszám: ??
• Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér: D64-68, J15-16
• Vektorterek direkt összege, és ennek dimenziója: J18
• A különböző sajátértékekhez tartozó sajátalterek generátuma a sajátalterek direkt összege: ??

Eltérések

Determináns: $A=[{\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n]$ esetén $\det A$ a ${\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n$ egy csúcsból kiinduló oldalak által határolt $n$-dimenziós paralelepipedon előjeles térfogata.

Szerepelt a determináns korábban ismert definíciója is (D43, J10).

Cauchy-Binet-formula: hiányzik a jegyzetből/diasorból.

$A\in \mathbb{ℝ}$, $B\in {\mathbb{ℝ}}^{n\times k}$, $k\le n$ esetén az $AB$ $k\times k$-as négyzetes mátrix determinánsa: $\det (AB)=\sum _i\det A_i\cdot \det B_i$

Az összegbe az összes lehetséges kiválasztással kapott $k\times k$-as részmátrixok kerülnek.

Formálisan (innen): $\sum _{F\subseteq \{1,\dots ,n\},|F|=k}\det A[F]\cdot \det B[F]$

$n=m$-re a tétel megegyezik a determinánsok szorzástételével (az összeg egy tagból áll).

5. előadás (szeptember 21.)

Mátrix magterének és képterének bázisa. Mátrixok hasonlósága. Diagonalizálhatóság és ekvivalensei. Karakterisztikus és minimálpolinom. Cayley-Hamilton-tétel. Jordan-féle normálalak.

Tárgymutató

• Mátrix magterének és képterének bázisa: ??
• Mátrixok hasonlósága: D40-42, J10
• Diagonalizálhatóság és ekvivalensei: -
• Karakterisztikus és minimálpolinom: D73 és J16, D77 és J22
• Cayley-Hamilton-tétel: D76 (Hamilton-Cayley-tétel) J21
• Jordan-féle normálalak: részletes leírás a tárgy honlapján