Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.02

Feladatok

1. Mely z komplex számokra teljesül az alábbi feltétel?

$(z-{\overline {z}}={\sqrt {2}}*i)\;\;\&\;\;(z*{\overline {z}}=1)$

(i a képzetes egység)

2. Határozza meg a következő határértékeket!

$a.\;\;\lim _{n\to \infty }(1+{\frac {1}{3*n^{3}}})^{n^{3}}$

$b.\;\;\lim _{n\to \infty }({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{n}})^{n}$

$c.\;\;\lim _{n\to \infty }(1-{\frac {1}{n}})^{n^{3}}$

3. Válaszolja meg a kérdést!

$\lim _{x\to {0+}}({\frac {2x^{2}*\ln {x}+4x^{4}*\ln ^{2}{x}}{4x^{4}*\ln ^{2}{x}+6x^{2}*\ln {x}}})=\;?$

4. Hol és milyen szakadása van a függvénynek?

$f(x)={\frac {e^{1/x}}{1+e^{1/x}}}$

5. Válaszolja meg a kérdést!

Legyen f mindenütt deriválható függvény!

$f(x)={\frac {\sin x}{x}}\;\;,ha\;\;x\neq 0$

$f(0)=\;?,\;f'(0)=\;?$

6. Konvergensek-e a következő improprius integrálok?

$\displaystyle {a.\;\;\int _{2}^{\infty }{\frac {1}{\ln x}}dx}$

$\displaystyle {b.\;\;\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{1-\cos {(x/2)}}}dx}$

-- Hanci - 2007.01.04.

Megoldások

1. Mely z komplex számokra teljesül az alábbi feltétel?

$(z-{\overline {z}}={\sqrt {2}}*i)\;\;\&\;\;(z*{\overline {z}}=1)$

(i a képzetes egység)

Megoldás -- Hanci - 2007.01.04.

$z_{1}={\underline {\underline {{\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i}}}\;\;\&\;\;z_{2}={\underline {\underline {-{\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i}}}$

A megoldás menete: z-t algebrai alakban felírva: z = a+b*i

$z-{\overline {z}}={\sqrt {2}}*i\Rightarrow (a+b*i)-(a-b*i)={\sqrt {2}}*i\Rightarrow 2b*i={\sqrt {2}}*i\Rightarrow b={\underline {\underline {\frac {\sqrt {2}}{2}}}}$

$z*{\overline {z}}=1\Rightarrow (a+b*i)*(a-b*i)=1\Rightarrow a^{2}-ab*i+ab*i-b^{2}*i^{2}=1\;\;\&\;\;i^{2}=-1\Rightarrow a^{2}+b^{2}=1$

$a^{2}+b^{2}=1\;\;\&\;\;b^{2}={\frac {1}{2}}\Rightarrow a^{2}+{\frac {1}{2}}=1\Rightarrow a^{2}={\frac {1}{2}}\Rightarrow a_{1}={\underline {\underline {\frac {\sqrt {2}}{2}}}}\;\;\&\;\;a_{2}={\underline {\underline {-{\frac {\sqrt {2}}{2}}}}}$

$z_{1}=a_{1}+b*i\;\;\&\;\;z_{2}=a_{2}+b*i\Rightarrow z_{1}={\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\;\;\&\;\;z_{2}=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i$

2. Határozza meg a következő határértékeket!

a, feladat

$a.\;\;\lim _{n\to \infty }(1+{\frac {1}{3*n^{3}}})^{n^{3}}$

Megoldás -- Hanci - 2007.01.04.

$\lim _{n\to \infty }(1+{\frac {1}{3*n^{3}}})^{n^{3}}={\underline {\underline {e^{1/3}}}}={\underline {\underline {\sqrt[{3}]{e}}}}$

A megoldás menete: nevezetes határértékre való visszavezetés

$\lim _{n\to \infty }(1+{\frac {a}{n}})^{n}=e^{a}\;\;a\in \mathbb {R} ,a=konstans$

legyen m=n^3, n->végtelen, akkor n^3=m->végtelen

$\lim _{m\to \infty }(1+{\frac {1/3}{m}})^{m}={\underline {\underline {e^{1/3}}}}={\underline {\underline {\sqrt[{3}]{e}}}}$

b, feladat

$b.\;\;\lim _{n\to \infty }({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{n}})^{n}$

Megoldás -- Hanci - 2007.01.04.

$\lim _{n\to \infty }({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{n}})^{n}={\underline {\underline {0}}}$

A megoldás menete: a^n alakra visszavezetés

$\lim _{n\to \infty }a^{n}=0\;\;,ha\;\;|a|<1\;\;a\in \mathbb {R} ,a=konstans$

A hatványalap határértéke:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}({\frac{1}{3}-\frac{1}{n}}) = \frac{1}{3} < 1}

A hatványalap tart az 1/3-hoz , n->végtelen, (1/3)^n -> *0*

b, feladat 2. megoldása (ha a 0*0 alak nem indefinite?!)

megoldás -- Pogo - 2007.01.04.

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}(\frac{1}{3}-\frac{1}{n})^n = \lim_{n\to\infty}(1*\frac{1}{3}-\frac{1}{3}*\frac{3}{n})^n } Kiemelve: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}(\frac{1}{3})^n*(1+\frac{-3}{n})^n =0 } Mivel: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}(\frac{1}{3})^n = 0 } és Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}(1+\frac{-3}{n})^n=e^{-3}=\frac{1}{e^3}=0 }

c, feladat

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle c.\;\; \lim_{n\to\infty}(1-{\frac{1}{n}})^{n^3} }

Megoldás -- Hanci - 2007.01.04.

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}(1-{\frac{1}{n}})^{n^3} = \underline{\underline{0}} }

A megoldás menete: nevezetes határértékre való visszavezetés

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}(1-{\frac{1}{n}})^n = \frac{1}{e} }

A feladatban szereplő kifejezés felírható a köv. alakban:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}(1-{\frac{1}{n}})^{n^3} = \lim_{n\to\infty}((1-{\frac{1}{n}})^n)^{n^2} }

Mivel 1/e < 1

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}(\frac{1}{e})^{n^2} = \underline{\underline{0}} }

3. Válaszolja meg a kérdést!

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{x\to{0+}}({\frac{2x^2*\ln{x}+4x^4*\ln^2{x}}{4x^4*\ln^2{x}+6x^2*\ln{x}}}) = \;? }

Megoldás -- Hanci - 2007.01.05.

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{x\to{0+}}({\frac{2x^2*\ln{x}+4x^4*\ln^2{x}}{4x^4*\ln^2{x}+6x^2*\ln{x}}}) = \underline{\underline{\frac{1}{3}}} }

A megoldás menete:

A 2 nem 0, valós, konstans szám -> egyszerűsíthetünk vele.

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{x\to{0+}}{\frac{2x^2*\ln{x}+4x^4*\ln^2{x}}{4x^4*\ln^2{x}+6x^2*\ln{x}}} = \lim_{x\to{0+}}{\frac{2x^4*\ln^2{x}+x^2*\ln{x}}{2x^4*\ln^2{x}+3x^2*\ln{x}}} }

Az x^2 nem 0, valós (x tart a 0-hoz, de nem egyenlő vele) -> ezzel is egyszerűsíthetünk.

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{x\to{0+}}{\frac{2x^4*\ln^2{x}+x^2*\ln{x}}{2x^4*\ln^2{x}+3x^2*\ln{x}}} = \lim_{x\to{0+}}{\frac{2x^2*\ln^2{x}+\ln{x}}{2x^2*\ln^2{x}+3*\ln{x}}} }

Az ln(x) nem 0, valós ( ln(x) tart a -végtelenhez, de nem egyenlő vele) -> ezzel is egyszerűsíthetünk.

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{x\to{0+}}{\frac{2x^2*\ln^2{x}+\ln{x}}{2x^2*\ln^2{x}+3*\ln{x}}} = \lim_{x\to{0+}}{\frac{2x^2*\ln{x}+1}{2x^2*\ln{x}+3}} }

Ezután vizsgáljuk meg, hova tart 2x^2 * ln(x), ha x -> 0+

Mivel "0" * "-végtelen" alakú a kifejezés, átalakítható "végtelen"/"végtelen" alakúra, ami után már gond nélkül alkalmazhatjuk a L'Hospital szabályt.

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{x\to{0+}}{2x^2*\ln{x}} = \lim_{x\to{0+}}{-2*\frac{-\ln{x}}{1/(x^2)}} = \lim_{x\to{0+}}{-2*\frac{-1/x}{-2/x^3}} = \lim_{x\to{0+}}{-(x^2)} = 0 }

Miután beláttuk, hogy a részkifejezés 0-hoz tart, megvizsgáljuk az egészet.

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{x\to{0+}}{\frac{2x^2*\ln{x}+1}{2x^2*\ln{x}+3}} = \lim_{x\to{0+}}{\frac{0+1}{0+3}} = \underline{\underline{\frac{1}{3}}} }

4. Hol és milyen szakadása van a függvénynek?

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f(x) = {\frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}}} }

Megoldás -- Pogo - 2007.01.05.

Megoldás menete:jobb bal oldali hat érték. A nevező nem lehet=0 mert Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle {1+{e^{1/x}}} \neq 0 } mivel Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle {e^{1/x}} \neq -1 }

Tehát csak x=0 ban van szakadás.

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{x\to{0+}} \frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}} = \lim_{y\to\infty} \frac{e^y}{1+e^y}= \lim_{z\to\infty} \frac{z}{z+1} \approx \frac{\infty}{\infty} L'H \frac{1}{1}=1 }

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{x\to{0-}} \frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}} = \lim_{y\to{-\infty}} \frac{e^y}{1+e^y} = \lim_{z\to{0}} \frac{z}{z+1} = \frac{0}{1}=0 }

Tehát a Jo. és bo. hat érték nem ua. -> x=0-ban ugrása van.