„Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)” változatai közötti eltérés
→Konvolúció: Áttolgodzva, rendesen levezetve a második előadáson elhangzottak szerint. |
a Latex képletek fix, dollár jelek eltüntetve. |
||
| 68. sor: | 68. sor: | ||
* <math>u[k]</math> a ''k'' időbeli gerjesztés | * <math>u[k]</math> a ''k'' időbeli gerjesztés | ||
* <math>y[k]</math> a ''k'' időbeli válasza a rendszernek | * <math>y[k]</math> a ''k'' időbeli válasza a rendszernek | ||
* A teljes rendszert pedig a ''W''-vel jelöljük, így: <math>W | * A teljes rendszert pedig a ''W''-vel jelöljük, így: <math>W\left\{u[k]\right\} = y[k]</math> | ||
=== Gerjesztések, Válaszok száma === | === Gerjesztések, Válaszok száma === | ||
| 81. sor: | 81. sor: | ||
* Idő invariáns rendszereket. | * Idő invariáns rendszereket. | ||
A tárgy az utóbbiakkal foglalkozik. Itt mindig feltehetjük, hogy <math>W | A tárgy az utóbbiakkal foglalkozik. Itt mindig feltehetjük, hogy <math>W\left\{u[k]\right\} = y[k] \Rightarrow W\left\{u[k-L]\right\} = y[k-L]</math>. | ||
=== Lineáris rendszerek === | === Lineáris rendszerek === | ||
Igaz az alábbi összefüggés: | Igaz az alábbi összefüggés: | ||
<math>W | <math>W\left\{c_a \cdot u_a[k] + c_b \cdot u_b[k] \right\} = c_a \cdot W\left\{u_a[k]\right\} + c_b \cdot W\left\{u_b[k]\right\}</math> | ||
=== Memória mentes, vagy memóriás === | === Memória mentes, vagy memóriás === | ||
| 164. sor: | 164. sor: | ||
Hogyan írjuk fel egy rendszer válaszát? Általánosan leginkább sehogy. De ha a rendszerünk lineáris, s idő invariáns, akkor: | Hogyan írjuk fel egy rendszer válaszát? Általánosan leginkább sehogy. De ha a rendszerünk lineáris, s idő invariáns, akkor: | ||
* <math>y[k] = W | * <math>y[k] = W\left\{u[k]\right\}</math> | ||
* <math>y[k] = W | * <math>y[k] = W\left\{\sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]\right\}</math> | ||
* mivel ez lineáris rendszer, így: <math>y[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot W | * mivel ez lineáris rendszer, így: <math>y[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot W\left\{\delta[k-i]\right\}</math> | ||
* mivel ez idő invariáns rendszer, így: <math>y[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i]</math> | * mivel ez idő invariáns rendszer, így: <math>y[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i]</math> | ||
A lap 2017. szeptember 11., 15:45-kori változata
Előszó: Amíg nem megy a LaTeX képletek renderelése a wikin, addig ezt feltöltöm PDF-ben is, ide: File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_latex.pdf
A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.
Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a Rendszerelmélet lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)
Ez az oldal az előadáson elhangzott dolgokat, s a gyakorlatokon elhangzott elméleti anyagot tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Próbálom időrendi sorrendben tartani, de ha valami szerintem más sorrendben logikus, akkor kérdés nélkül megcserélem. Az gyakorlatjegyzetemet erre találod: Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Gyakorlatjegyzet_-_2017_(ősz)
Megjegyzések magamnak
Ezeket csak felvésem ide, hogy ne vesszen el. Még nem tudom, hova kellene ezeket bedolgozni...
- az első gyakon elhangzott, hogy az Euler-összefüggések még hasznosak lesznek. Innen a szinus és a koszinus kifejezése, ni.
Bevezetés
A tárgy keretében fizikai folyamatokat szeretnénk leírni. A fizikait értsd, hogy kb. bármilyen olyan folyamatot, amiben mérhető mennyiségek szerepelnek. Ezeket a mennyiségeket változókkal írjuk le. Ezekből a változókból, ha fizikai dimenzió nélkül kezeljük, lesznek a jeleink. Ilyen folyamat lehet, például:
- Az egyetem egyes évfolyamaira beiratkozott hallgatók száma.
- Híd deformációja a terhelés függvényében
- Lift sebessége a magasság függvényében, ha az ötödik emeletre akarunk menni.
- stb.
Rendszerek ábrázolása
Az alábbi ábrán egy egyszerű rendszer ábrázolása látható.
(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU )
Példa
A fenti rajz lehet az ábrája az alábbi rendszer-modellnek.
Egy egyszerű egyetemet, s az egyetemen tanuló hallgatók számát szeretnénk modellezni. Négy jelet veszünk fel: x1, x2, x3, y. Ebből az x-ek az adott évben az adott évfolyamra járó hallgatók száma, míg az y az adott évben végző hallgatók száma. Az x1 értéke egyenlő az adott évben beiratkozó hallgatók és az előző évben az első évfolyamot nem teljesítő hallgatók számával. Amennyiben az újonnan beiratkozókat u-val jelöljük, míg az egyes évfolyamokon megbukottakat a-val, sikeresen teljesítőket b-vel (ezt most önkényesen jelölöm a illetve b-vel):
- Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x_1[k+1] = a_1 \cdot x_1[k] + u[k+1] }
- Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x_2[k+1] = a_2 \cdot x_2[k] + b_1 \cdot x_1[k] }
- Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x_3[k+1] = a_3 \cdot x_3[k] + b_2 \cdot x_2[k] }
- Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y[k] = b_3 \cdot x_3[k]}
(szerk.: remélem semmit nem írtam el, de ezt a gyakorlat után még utánaszámolom. Amíg nem javítják meg a wiki-t, addig itt le tudod renderelni ezeket: http://quicklatex.com/)
Ebből ilyen szép táblázatot lehet rajzolni, ha:
- Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle u[k] = 500} minden k-ra
- Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle a_n = 0.3} minden n-re
- Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle b_n = 0.65} minden n-re
(vegyük észre, hogy Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle a_n + b_n} nem szükségszerűen 1. A maradékot kirúgták, elment, etc. belefér a modellbe).
| Év (k) | Elsőévesek | Másodévesek | Harmadévesek | Végzők |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 500 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 650 | 325 | 0 | 0 |
| 3 | 695 | 520 | 211 | 0 |
| 4 | 709 | 608 | 401 | 137 |
| 5 | 713 | 643 | 515 | 260 |
| 5 | 714 | 656 | 572 | 335 |
Nem számolom tovább, de ha ügyes vagy, néhány év múlva egy ~konstans értékre kéne beállnia a végzősök számának (~400 körül, valahol). Ez a tárgy ilyen (meg ennél bonyolultabb) modellekről, s azoknak az ennél egyszerűbb kiszámolásáról fog szólni.
Egyébként such wow, a fenti felállásban az u a gerjesztés, az y pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban.
Jelek osztályozása
Millióféleképpen lehet jeleket osztályozni. Kezdjünk néhány jelöléssel:
(én most mindent diszkrét idejű jelekre írok le, de ugyanígy jelölöd folytonos időben is)
- Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle u[k]} a k időbeli gerjesztés
- Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y[k]} a k időbeli válasza a rendszernek
- A teljes rendszert pedig a W-vel jelöljük, így: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle W\left\{u[k]\right\} = y[k]}
Gerjesztések, Válaszok száma
A tárgy keretein belül egy gerjesztéssel, és egy válasszal rendelkező rendszerekről (SISO: Single Input Single Output) beszélünk.
Léteznek MIMO, MISO, SIMO (m, mint multiple) rendszerek is, ezekről nem lesz szó.
A jelölés nagyrészt hasonló ott is, csak az u, y, etc. vektorokként értelmezendők
Idő variancia
A W operátor lehet idő függő, és időtől nem függő. Ezek alapján megkülönböztetünk
- Idő variáns rendszereket
- Idő invariáns rendszereket.
A tárgy az utóbbiakkal foglalkozik. Itt mindig feltehetjük, hogy Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle W\left\{u[k]\right\} = y[k] \Rightarrow W\left\{u[k-L]\right\} = y[k-L]} .
Lineáris rendszerek
Igaz az alábbi összefüggés:
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle W\left\{c_a \cdot u_a[k] + c_b \cdot u_b[k] \right\} = c_a \cdot W\left\{u_a[k]\right\} + c_b \cdot W\left\{u_b[k]\right\}}
Memória mentes, vagy memóriás
Def: Egy rendszer memória mentes, ha a válasza a t ill. k pillanatban csak a gerjesztés Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle u(t)} illetve Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle u[k]} értékétől függ.
Kauzális, vagy akauzális
Def: Egy rendszer kauzális, ha a válasza a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle t_1} ill. Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle k_1} pillanatban csak a gerjesztés Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle u(t), \quad t<t_1} illetve Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle u[k], \quad k<k_1} értékétől függ.
Folytonos / Diszkrét idejű jelek
Beszélhetünk időben folytonos, vagy diszkrét idejű jelekről.
- Folytonos idejű, jelölése Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x(t)}
A folytonos idejű jelek minden Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle t \in \mathbb{R}} értékben értelmezettek. - Diszkrét idejű, jelölése Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x[k]}
A diszkrét idejű jelek csak a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle k \in \mathbb{Z}} egész számok helyén értelmezettek.
Periodicitás
Folytonos időben
Egy folytonos idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle T \in \mathbb{R}} periódusidő, hogy Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x(t) = x(t + T)} minden t-re.
Diszkrét időben
Egy diszkrét idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle L \in \mathbb{Z}} periódusidő, hogy Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x[k] = x[k + L]} minden k-ra.
Egyéb osztályozás
Továbbá általában determinisztikus, belépő típusú jelekkel foglalkozik a tárgy.
- Determinisztikus: a rendszer válasza determinisztikus (megjósolható, nem véletlenszerű)
ez nyilván nem így hangzik matematikusul, de nekünk jó lesz - Belépő: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x(t) = 0} minden Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle t<0} esetén.
Említés szintjén előkerül sztochasztikus (nem determinisztikus), nem belépő, x-ben belépő, diszkrét értékű, etc. jelek. Ezekkel nem foglalkozik a tárgy, de kis gondolkodással megfejtheted, melyik micsoda.
Továbbá megkülönböztetünk páros és páratlan jeleket:
- páros: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x(t) = x(-t)} (az y tengelyre szimmetrikus)
- páratlan: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x(t) = -x(-t)} (az origóra szimmetrikus)
Állítás: Minden jel felírható egy páros és egy páratlan jel összegére.
Bizonyítás: Nem bizonyítjuk.
Jelek felírása
Diszkrét idejű jelek esetén
Speciális jelek
Egységimpulzus
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \delta[k]=\begin{cases} 1 & k=0 \\ 0 &\text{egyébként}\end{cases}}
Egységugrás
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \epsilon[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 1 & k\geq0 \end{cases}}
Állítás: Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként.
Bizonyítás: Nem bizonyítjuk.
Példa 1
Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \epsilon[k]= \sum_{i=-\infty}^{k} \delta[i]} (szerk.: ezt ellenőrizd le!)
Példa 2
Vegyük a következő jelet:
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 2 \cdot 0.1^k &\text{egyébként}\end{cases}} .
Ezt fel tudjuk írni egy sorban így:
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} 2 \cdot 0.1 ^ i * \delta[k-i]} .
Itt ugye a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \delta[k-i]} csak a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle k = i} esetben lesz 1, minden más esetben 0. Ezt kicsit tovább csavarva:
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]} .
Mivel fentebb már kimondtuk, hogy ennek csak Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle k = i} esetben van értelme. Így meg, az egyszerűsítések után egy triviális dolgot kapunk, miszerint:
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x[k]=x[k]}
DE!
LTI rendszer válasza
Nevezetes válaszok
- Impulzusválasz: a rendszer egységimpulzus gerjesztésre adott válasza. Jele: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle h[k]}
- Ugrásválasz: a rendszer egységugrásra gerjesztésre adott válasza
Konvolúció
Hogyan írjuk fel egy rendszer válaszát? Általánosan leginkább sehogy. De ha a rendszerünk lineáris, s idő invariáns, akkor:
- Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y[k] = W\left\{u[k]\right\}}
- Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y[k] = W\left\{\sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]\right\}}
- mivel ez lineáris rendszer, így: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot W\left\{\delta[k-i]\right\}}
- mivel ez idő invariáns rendszer, így: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i]}
Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor:
- egységimpulzussal gerjesztem a termet (tapsolok),
- lemérem leghátul a terem által adott impulzusválaszt,
- számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére.
Speciális esetek
Kauzális rendszer, belépő jel esetén
Kis gondolkodással belátható, hogy a belépő gerjesztés miatt 0 előtt nincs gerjesztés (a szorzat egyik tagja nulla), míg k után az impulzusválasz indexe lenne negatív, s így a kauzalitás miatt az impulzusválasz nulla (a szorzat másik tagja). Összefoglalva:
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y[k] = \sum_{i=0}^{k} x[i] \cdot h[k-i]}
Folytonos idejű jelek esetén
Speciális jelek
Egységugrás
Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \epsilon(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 & t>0 \end{cases}}
Megjegyzés: Az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \epsilon(0)} -t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc.
Egységimpulzus
Írjuk fel az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \epsilon(t, T)} függvényt a következőképpen:
Ez 0-tól T-ig 1/T értékű négyzet.
Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az -ben a T tart nullához.
