„Számítógépes látórendszerek - Ellenőrző kérdések: Matematikai Alapok, Projektív Geometria” változatai közötti eltérés
a (→LS módszer: szigma) |
|||
37. sor: | 37. sor: | ||
== Mi az SVD felbontás és mire használható? Mit értünk szinguláris érték és vektor alatt? == | == Mi az SVD felbontás és mire használható? Mit értünk szinguláris érték és vektor alatt? == | ||
+ | Az SVD (szinguláris érték) felbontás bázistranszformáció, arra használjuk, hogy a mátrixainkat olyan ortonormált bázisban írhassuk fel, ahol diagonálisak. A diagonális mátrixokat azért szeretjük, mert ''irányfüggő erősítéseket'' jellemeznek (legnagyobb, legkisebb -> rendszerek stabilitása). | ||
+ | |||
+ | <math>A=U \Sigma V^T</math>, | ||
+ | |||
+ | ahol <math>U \in \mathbb{R}^{m \times m}; \Sigma \in \mathbb{R}^{m \times n}; V \in \mathbb{R}^{n \times n}</math>. | ||
+ | |||
+ | U és V bázistranszformációs mátrixok, ortogonálisak (ezért ortonormált bázisokra visznek). | ||
+ | |||
+ | <math>\Sigma</math> a szinguláris értékekből (<math>\sigma_1, \sigma_2 ... \sigma_m</math>) képzett diagonális mátrix. Konvencionálisan a szinguláris értékek csökkenő sorrendben szerepelnek. | ||
+ | |||
+ | [TODO: érték? vektor?] | ||
+ | |||
== Adja meg a lehetséges geometriai transzformációk típusait, és a mátrixaik általános alakját! Milyen tulajdonságokat őriznek meg az egyes típusok? == | == Adja meg a lehetséges geometriai transzformációk típusait, és a mátrixaik általános alakját! Milyen tulajdonságokat őriznek meg az egyes típusok? == | ||
A lap 2015. április 15., 20:01-kori változata
Tartalomjegyzék
- 1 Adja meg a lineáris egyenletrendszer általános alakját! Mi a megoldhatóság feltétele? Mutassa be a legkisebb négyzetek (LS) módszerét!
- 2 Mi az SVD felbontás és mire használható? Mit értünk szinguláris érték és vektor alatt?
- 3 Adja meg a lehetséges geometriai transzformációk típusait, és a mátrixaik általános alakját! Milyen tulajdonságokat őriznek meg az egyes típusok?
- 4 Mik a homogén koordináták és mi a használatuk előnye? Mi az az ideális pont?
- 5 Adja meg a projektív térből a projektív síkra történő vetítés egyenletét! Mi az eltűnő pont?
Adja meg a lineáris egyenletrendszer általános alakját! Mi a megoldhatóság feltétele? Mutassa be a legkisebb négyzetek (LS) módszerét!
Lineáris egyenletrendszer: [math]\underline{\underline{A}} \cdot \underline{x} = \underline{b}[/math], ahol [math]\underline{\underline{A}} \in \mathbb{R}^{m \times n} ; \underline{x} \in \mathbb{R}^n ; \underline{b} \in \mathbb{R}^m[/math]
[math]\underline{\underline{A}}[/math] az együtthatómátrix, ezt vizsgálhatjuk.
Az egyenletrendszer megoldása az oszlopvektorok lineáris kombinációja: [math]\underline{a_1} x_1 + \underline{a_2} x_2 + ... + \underline{a_n} x_n = \underline{b}[/math]
A lineáris egyenletrendszer megoldható, ha [math] \underline{b} [/math] előáll az [math] \underline{\underline{A}} [/math] mátrix oszlopvektorainak lineáris kombinációjaként, azaz benne van [math] \underline{\underline{A}} [/math] oszlopterében. A lineáris egyenletrendszer minden [math] \underline{b} \in \mathbb{R}^m [/math] vektorra megoldható, ha [math] \mathcal{O}(\underline{\underline{A}}) = \mathbb{R}^m [/math].
LS módszer
Általában a paraméterek számánál több mérési eredmény áll rendelkezésünkre, de a mérési pontatlanságok és zajok miatt az egyenletrendszer nagyon kis valószínűséggel oldható meg. A megoldás legjobb közelítése az LS (Least Squares) módszerrel kapható meg.
Mivel az oszloptér és transzponált nulltér egymás merőleges kiegészítő alterei, bármely [math] \underline{b} \in \mathbb{R}^m [/math] vektor előáll
[math] \underline{b} = \underline{\sigma} + \underline{n}, \ \ \underline{o} \in \mathcal{O} (\underline{\underline{A}}), \ \ \underline{n} \in \mathcal{N}(\underline{\underline{A}}^T)[/math]
formában. Ekkor
[math]
\underline{\underline{A}} \ \underline{x} = \underline{\sigma}
[/math]
[math] \underline{\underline{A}}^T \ \underline{b} = \underline{\underline{A}}^T \ \underline{\sigma} + \underline{\underline{A}}^T \ \underline{n} = \underline{\underline{A}}^T \underline{\sigma} = \underline{\underline{A}}^T ( \underline{\underline{A}} \ \underline{x} ) [/math]
[math] \underline{\hat{x}} = (\underline{\underline{A}}^T \ \underline{\underline{A}})^{-1} \ \underline{\underline{A}}^T \ \underline{b} [/math]
[math] \underline{\hat{x}} [/math] a megoldás legjobb közelítése (optimális megoldás, LS becslő).
Mi az SVD felbontás és mire használható? Mit értünk szinguláris érték és vektor alatt?
Az SVD (szinguláris érték) felbontás bázistranszformáció, arra használjuk, hogy a mátrixainkat olyan ortonormált bázisban írhassuk fel, ahol diagonálisak. A diagonális mátrixokat azért szeretjük, mert irányfüggő erősítéseket jellemeznek (legnagyobb, legkisebb -> rendszerek stabilitása).
[math]A=U \Sigma V^T[/math],
ahol [math]U \in \mathbb{R}^{m \times m}; \Sigma \in \mathbb{R}^{m \times n}; V \in \mathbb{R}^{n \times n}[/math].
U és V bázistranszformációs mátrixok, ortogonálisak (ezért ortonormált bázisokra visznek).
[math]\Sigma[/math] a szinguláris értékekből ([math]\sigma_1, \sigma_2 ... \sigma_m[/math]) képzett diagonális mátrix. Konvencionálisan a szinguláris értékek csökkenő sorrendben szerepelnek.
[TODO: érték? vektor?]
Adja meg a lehetséges geometriai transzformációk típusait, és a mátrixaik általános alakját! Milyen tulajdonságokat őriznek meg az egyes típusok?
Projektív transzformáció
[math]T_{proj} = \begin{bmatrix}t_{11} & t_{12} & t_{13} \\ t_{21} & t_{22} & t_{23} \\ t_{31} & t_{32} & t_{33}\end{bmatrix}[/math]
Affin transzformáció
Megőrzi az ideális pontokat.
[math]T_{aff} = \begin{bmatrix}t_{11} & t_{12} & t_{13} \\ t_{21} & t_{22} & t_{23} \\ 0 & 0 & t_{33}\end{bmatrix}[/math]
Hasonlósági transzformáció
- Nincs irányfüggő skálázás
- Nincs nyírás
[math]T_{simi} = \begin{bmatrix}cos(\alpha) & -sin(\alpha) & t_{13} \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) & t_{23} \\ 0 & 0 & t_{33}\end{bmatrix}[/math]
Euklideszi transzformáció
Nincs skálázás
[math]T_{eucl} = \begin{bmatrix}cos(\alpha) & -sin(\alpha) & t_{13} \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) & t_{23} \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}[/math]
Transzformációk és megőrzött tulajdonságok
Geometriák: | Euklideszi | Hasonlósági | Affin | Projektív |
Transzformációk | ||||
Eltolás | I | I | I | I |
Forgatás | I | I | I | I |
Uniform skálázás | X | I | I | I |
Nem uniform skálázás | X | X | I | I |
Nyírás | X | X | I | I |
Perspektív vetítés | X | X | X | I |
Invariáns jellemzők | ||||
Hossz | I | X | X | X |
Szög | I | I | X | X |
Hosszak aránya | I | I | X | X |
Párhuzamosság | I | I | I | X |
Egybeesés | I | I | I | I |
Keresztarány | I | I | I | I |
Mik a homogén koordináták és mi a használatuk előnye? Mi az az ideális pont?
Pontok leírása a projektív síkon
Euklideszi koordináták → Projektív: [math](x, y) \rightarrow (x, y, 1)[/math]
Tulajdonságok:
[math]( X ,Y ,W ) = (kX , kY , kW )[/math]
[math]k \neq 0 \rightarrow \not\exists (0,0,0)[/math]
Az egy síkbeli ponthoz tartozó számhármasok egy egyenest alkotnak [math]\mathbb{R}^3[/math]-ban. A homogén koordináták skála invariánsak.
Ideális pont
Homogén koordináták → Euklideszi: [math](X, Y, W) \rightarrow (X/W, Y/W)[/math]
Az ideális pont [math](X, Y, 0)[/math] alakú. Vegyük észre az előző képlet nullosztóját.
Az ideális pont egyfajta irányított végtelen, melynek minden koordinátája véges.
Adja meg a projektív térből a projektív síkra történő vetítés egyenletét! Mi az eltűnő pont?
Vetítés a projektív térből a projektív síkra: [math]P_3 \rightarrow P_2[/math]
Egyenlet
[math]\begin{bmatrix}x \\ y \\ w\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}t_{11} & t_{12} & t_{13} & t_{14} \\ t_{21} & t_{22} & t_{23} & t_{24} \\ t_{31} & t_{32} & t_{33} & t_{34}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}X \\ Y \\ Z \\ W\end{bmatrix}[/math]
Eltűnő pont
Párhuzamos [math]P_3[/math]-beli egyenesek metszéspontja, az adott irányban lévő ideális pont.
[math]\begin{bmatrix}x \\ y \\ w\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}t_{11} & t_{12} & t_{13} & t_{14} \\ t_{21} & t_{22} & t_{23} & t_{24} \\ t_{31} & t_{32} & t_{33} & t_{34}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}X \\ Y \\ Z \\ 0\end{bmatrix}[/math]
A [math]P_3[/math]-beli ideális pont képe [math]P_2[/math]-ben nem biztos, hogy ideális pont lesz!
- Csak, ha (X,Y,Z) merőleges [math](t_{31}, t_{32}, t_{33})[/math]-ra
- Ha az egyenesek párhuzamosak a képsíkkal!