Matematika A1 - Vizsga: 2007.06.07

← Vissza az előző oldalra – Matematika A1a - Analízis

1. Határozza meg a (0,2,0), (1,0,-1) és (0,-1,2) pontokat tartalmazó sík egyenletét.

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

2. Oldja meg a $z^{2}={\overline {z}}^{2}$ egyenletet.

Megoldás

$z^{2}={\overline {z}}^{2}$

Írjuk ki z-t és z konjugáltat algebrai alakban:

$(a+bi)^{2}=(a-bi)^{2}$

Zárójelek felbontása után:

$a^{2}+2abi-b^{2}=a^{2}-2abi-b^{2}$

Kihúzzuk a közös tagokat, osztunk 2i-vel:

$ab=-ab$

Ez akkor lehetséges, ha $a=0\vee b=0$ és $a,b\in \mathbb {R}$, az összes ilyen alakú szám megoldás.

3. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét:

$a,\;a_{n}=({\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}})^{3n^{2}}$

$b,\;{\sqrt[{n}]{\frac {2n^{2}-1}{n^{2}+2}}}$

Megoldás

(a)

Először alkalmazzuk az OverLord féle algebrai trükköt, és a számlálót átalakítjuk:

$({\frac {n^{2}+2-2-1}{n^{2}+2}})^{3n^{2}}=({\frac {n^{2}+2}{n^{2}+2}}+{\frac {-3}{n^{2}+2}})^{3n^{2}}=(1-{\frac {3}{n^{2}+2}})^{3n^{2}}.$ A nevezőt alakítsuk úgy, hogy hasonlítson a kitevőhöz: $(1-{\frac {9}{3n^{2}+6}})^{3n^{2}}$

Felírjuk a kitevőt úgy, hogy nevezetes határértéket kapjunk, de ekkor persze még osztani is kell, hogy ne legyen csalás!

${\frac {(1-{\frac {9}{3n^{2}+6}})^{3n^{2}+6}}{(1-{\frac {9}{3n^{2}+6}})^{6}}}$ Látható, hogy a nevező 1-hez tart, így a határérték: ${\underline {\underline {e^{-9}={\frac {1}{e^{9}}}}}}$

-- Gyurci - 2008.01.14.

(b)

Először vizsgáljuk meg az n-edik gyökjelen belüli törtet: Egyszerűsítsük a törtet $n^{2}$-el: ${\frac {2n^{2}-1}{n^{2}+2}}={\frac {2-{\frac {1}{n^{2}}}}{1+{\frac {2}{n^{2}}}}}\rightarrow {\underline {2}}$ Azaz a gyökjelen belüli rész 2-höz tart végtelennél. Így pedig már egy nevezetes határértéket kapunk: ${\sqrt[{n}]{2}}\rightarrow {\underline {\underline {1}}}$

-- OverLord - 2008.01.14.

Troll vagyok, de ez a megoldás hibás. Nem szabad gyökjel alatt vizsgálni, ha a "gyök" művelet n-től függ! Tekintsük a nevezetes $(1+{\frac {a}{n}})^{n}=e^{a}$ határértéket: Ha belül vizsgálom, a tört kinullázódik, 1 hatványa 1. Ott a hiba.

Rendőrelvvel (alias csendőrelv, közrefogási elv) oldjuk meg. Azt tudjuk, hogy az n. gyök szig. mon. növekvő függvény, tehát kisebb szám n. gyöke kisebb mint egy nagyobb számé. A gyökjel alatt végezzünk algebrai átalakítást, átrendezhető:

${\sqrt[{n}]{2-{\frac {5}{n^{2}+2}}}}$

Látjuk, hogy mindegyik elem kisebb lesz, mint ${\sqrt[{n}]{2}}$, ez remek felső becslés, mert 1-hez tart. Az alsó becslés valamivel nehezebb. Az első elemnél ${\sqrt[{n}]{2-{\frac {5}{3}}}}$, ezzel a konstans értékkel alulról becsülhető, mármint a gyökön belüli rész, és így ezzel a függvénnyel alulról becsülhető a sorozatunk. Ennek is 1 a határértéke, sikeresen közrefogtuk. ^^

-- MP - 2012.01.09.

4. Legyen $f(x)=xarctan{\frac {1}{x^{2}}},x\neq 0$ és $0,x=0$.

a, Hol folytonos és hol deriválható $f(x)$?

b, Hol folytonos $f'(x)$?

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

5. Igaz vagy hamis? Válaszát indokolja!

a, Ha $a,b\neq 0$ és $ab=ac$, akkor $b=c$

b, Ha $\lim {a_{n}}=\lim {b_{n}}=0$ akkor $\lim {\frac {a_{n}}{b_{n}}}=1$

c, Ha f korlátos [a,b]-n, akkor folytonos [a,b]-n

d, Ha f szigorúan monoton nő $\mathbb {R}$-en, akkor $\lim _{x\rightarrow \infty }{f(x)}=\infty$

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

6. Számítsa ki a következő határozatlan integrálokat:

$a,\;\int {\frac {1}{x(x^{2}+1)}}dx$

$b,\;\int {\frac {\sqrt {x}}{x{\sqrt {x}}+3}}dx$

Megoldás

(a) $\int {\frac {1}{x(x^{2}+1)}}dx$

Parciális törtekre bontjuk az integrandust: ${\frac {1}{x(x^{2}+1)}}={\frac {A}{x}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+1}}$

${\frac {1}{x(x^{2}+1)}}={\frac {A(x^{2}+1)+x(Bx+C)}{x(x^{2}+1)}}$

${\frac {1}{x(x^{2}+1)}}={\frac {Ax^{2}+A+Bx^{2}+Cx)}{x(x^{2}+1)}}$

$1=(A+B)x^{2}+Cx+A$

$A=1$

$(A+B)=0\Rightarrow B=-1$

$C=0$

${\frac {1}{x(x^{2}+1)}}={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{x^{2}+1}}$ Így már könnyű integrálni: $\int {\frac {1}{x(x^{2}+1)}}\;dx=\int {\frac {1}{x}}-{\frac {1}{2}}\int {\frac {2x}{x^{2}+1}}=ln|x|-{\frac {1}{2}}ln|x^{2}+1|+C$

-- OverLord - 2008.01.14.

(b) $\int {\frac {\sqrt {x}}{x{\sqrt {x}}+3}}\;dx$

${\frac {x^{\frac {1}{2}}}{xx^{\frac {1}{2}}+3}}={\frac {x^{\frac {1}{2}}}{x^{\frac {3}{2}}+3}}$ Mi is a nevező deriváltja? Jéé, az majdnem a számláló! Ennek örülünk :)

${\frac {2}{3}}\int {\frac {{\frac {3}{2}}x^{\frac {1}{2}}}{x^{\frac {3}{2}}+3}}\;dx={\frac {2}{3}}\;ln{|x^{\frac {3}{2}}+3|+C}$

-- OverLord - 2008.01.14.