„Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.02” változatai közötti eltérés

A VIK Wikiből
David14 (vitalap | szerkesztései)
David14 (vitalap | szerkesztései)
167. sor: 167. sor:
===6. Konvergensek-e a következő improprius integrálok?===
===6. Konvergensek-e a következő improprius integrálok?===


<math>\displaystyle{ a.\;\; \int_{2}^\infty \frac{1}{\ln x} dx }</math>
<math>\displaystyle{ a,\;\; \int_{2}^\infty \frac{1}{\ln x} dx }</math>


<math>\displaystyle{ b.\;\; \int_{1}^\infty \frac{1}{1-\cos {(x/2)}} dx }</math>
<math>\displaystyle{ b,\;\; \int_{1}^\infty \frac{1}{1-\cos {(x/2)}} dx }</math>


{{Rejtett
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=
|szöveg=
Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!
Ha tudod, írd le ide ;)


}}
}}


[[Category:Villanyalap]]
[[Category:Villanyalap]]

A lap 2014. január 17., 22:49-kori változata

1. Mely z komplex számokra teljesül az alábbi feltétel?

(zz=2*i)&(z*z=1)

Megoldás

z1=22+22i__&z2=22+22i__

A megoldás menete: z-t algebrai alakban felírva: z = a+b*i

zz=2*i(a+b*i)(ab*i)=2*i2b*i=2*ib=22__

z*z=1(a+b*i)*(ab*i)=1a2ab*i+ab*ib2*i2=1&i2=1a2+b2=1

a2+b2=1&b2=12a2+12=1a2=12a1=22__&a2=22__

z1=a1+b*i&z2=a2+b*iz1=22+22i&z2=22+22i

2. Határozza meg a következő határértékeket!

a,limn(1+13n3)n3

b,limn(131n)n

c,limn(11n)n3

Megoldás

a, Feladat:

limn(1+13n3)n3=e1/3__=e3__

A megoldás menete: nevezetes határértékre való visszavezetés

limn(1+an)n=eaa,a=konstans

legyen m=n^3, n->végtelen, akkor n^3=m->végtelen

limm(1+1/3m)m=e1/3__=e3__


b, Feladat:

limn(131n)n=limn(1313*3n)n


Kiemelve:

limn(13)n*(1+3n)n=0


Mivel:

limn(13)n=0

limn(1+3n)n=e3=1e3=0


c, Feladat:

limn(11n)n3=0__

A megoldás menete: nevezetes határértékre való visszavezetés

limn(11n)n=1e

A feladatban szereplő kifejezés felírható a köv. alakban:

limn(11n)n3=limn((11n)n)n2

Mivel 1/e < 1

limn(1e)n2=0__

3. Válaszolja meg a kérdést!

limx0+(2x2*lnx+4x4*ln2x4x4*ln2x+6x2*lnx)=?

Megoldás

limx0+(2x2*lnx+4x4*ln2x4x4*ln2x+6x2*lnx)=13__

A megoldás menete:

A 2 nem 0, valós, konstans szám -> egyszerűsíthetünk vele.

limx0+2x2*lnx+4x4*ln2x4x4*ln2x+6x2*lnx=limx0+2x4*ln2x+x2*lnx2x4*ln2x+3x2*lnx

Az x^2 nem 0, valós (x tart a 0-hoz, de nem egyenlő vele) -> ezzel is egyszerűsíthetünk.

limx0+2x4*ln2x+x2*lnx2x4*ln2x+3x2*lnx=limx0+2x2*ln2x+lnx2x2*ln2x+3*lnx

Az ln(x) nem 0, valós ( ln(x) tart a -végtelenhez, de nem egyenlő vele) -> ezzel is egyszerűsíthetünk.

limx0+2x2*ln2x+lnx2x2*ln2x+3*lnx=limx0+2x2*lnx+12x2*lnx+3

Ezután vizsgáljuk meg, hova tart 2x^2 * ln(x), ha x -> 0+

Mivel "0" * "-végtelen" alakú a kifejezés, átalakítható "végtelen"/"végtelen" alakúra, ami után már gond nélkül alkalmazhatjuk a L'Hospital szabályt.

limx0+2x2*lnx=limx0+2*lnx1/(x2)=limx0+2*1/x2/x3=limx0+(x2)=0

Miután beláttuk, hogy a részkifejezés 0-hoz tart, megvizsgáljuk az egészet.

limx0+2x2*lnx+12x2*lnx+3=limx0+0+10+3=13__

4. Hol és milyen szakadása van a függvénynek?

f(x)=e1/x1+e1/x

Megoldás

f(x)=e1/x1+e1/x

Megoldás menete: Jobb bal oldali határérték.

A nevező nem lehet=0 mert 1+e1/x0 mivel e1/x1

Tehát csak x=0 ban van szakadás.

limx0+e1/x1+e1/x=limyey1+ey=limzzz+1LH11=1


limx0e1/x1+e1/x=limyey1+ey=limz0zz+1=01=0

Tehát a jobboldali és baloldali határérték nem ugyanaz -> x=0-ban ugrása van.

5. Válaszolja meg a kérdést!

Legyen f mindenütt deriválható függvény!

f(x)=sinxx,hax0

f(0)=?,f(0)=?

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

6. Konvergensek-e a következő improprius integrálok?

a,21lnxdx

b,111cos(x/2)dx

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)