VIK Wiki

„Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.02” változatai közötti eltérés

← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
VizuálisWikiszöveges
David14 (vitalap | szerkesztései)
4 081 szerkesztés
David14 (vitalap | szerkesztései)
4 081 szerkesztés
23. sor: 23. sor:
===2. Határozza meg a következő határértékeket! ===
===2. Határozza meg a következő határértékeket! ===


<math> a,\;\; \lim_{n\to\infty}(1+{\frac{1}{3*n^3}})^{n^3} </math>
<math> a,\;\; \lim_{n\to\infty} \left(1+{\frac{1}{3n^3}} \right)^{n^3} </math>


<math> b,\;\; \lim_{n\to\infty}({\frac{1}{3}}-{\frac{1}{n}})^n </math>
<math> b,\;\; \lim_{n\to\infty} \left({\frac{1}{3}}-{\frac{1}{n}} \right)^n </math>


<math> c,\;\; \lim_{n\to\infty}(1-{\frac{1}{n}})^{n^3} </math>
<math> c,\;\; \lim_{n\to\infty} \left(1-{\frac{1}{n}} \right)^{n^3} </math>


{{Rejtett
{{Rejtett
33. sor: 33. sor:
|szöveg=
|szöveg=


====a, feladat====
'''a, Feladat:'''


<math> a.\;\; \lim_{n\to\infty}(1+{\frac{1}{3*n^3}})^{n^3} </math>
<math> \lim_{n\to\infty}\left(1+{\frac{1}{3n^3}}\right)^{n^3} = \underline{\underline{e^{1/3}}} =  \underline{\underline{\sqrt[3]{e}}} </math>
 
Megoldás -- [[HanakRobert|Hanci]] - 2007.01.04.
 
<math> \lim_{n\to\infty}(1+{\frac{1}{3*n^3}})^{n^3} = \underline{\underline{e^{1/3}}} =  \underline{\underline{\sqrt[3]{e}}} </math>


A megoldás menete: nevezetes határértékre való visszavezetés
A megoldás menete: nevezetes határértékre való visszavezetés


<math> \lim_{n\to\infty}(1+{\frac{a}{n}})^n = e^a \;\; a\in\mathbb{R} ,a=konstans </math>
<math> \lim_{n\to\infty}\left(1+{\frac{a}{n}}\right)^n = e^a \;\; a\in\mathbb{R} ,a=konstans </math>


legyen m=n^3, n->végtelen, akkor n^3=m->végtelen
legyen m=n^3, n->végtelen, akkor n^3=m->végtelen


<math> \lim_{m\to\infty}(1+{\frac{1/3}{m}})^m = \underline{\underline{e^{1/3}}} =  \underline{\underline{\sqrt[3]{e}}} </math>
<math> \lim_{m\to\infty}\left(1+{\frac{1/3}{m}}\right)^m = \underline{\underline{e^{1/3}}} =  \underline{\underline{\sqrt[3]{e}}} </math>


====b, feladat====


<math> b.\;\; \lim_{n\to\infty}({\frac{1}{3}}-{\frac{1}{n}})^n </math>


Megoldás -- [[HanakRobert|Hanci]] - 2007.01.04.
'''b, Feladat:'''


<math> \lim_{n\to\infty}({\frac{1}{3}}-{\frac{1}{n}})^n = \underline{\underline{0}} </math>
<math> \lim_{n\to\infty} \left( \frac{1}{3}-\frac{1}{n} \right)^n = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{1}{3}-\frac{1}{3}*\frac{3}{n}  \right)^n </math>


A megoldás menete: a^n alakra visszavezetés
<math> \lim_{n\to\infty}a^n = 0 \;\; ,ha \;\; |a|<1 \;\; a\in\mathbb{R} ,a=konstans</math>
A hatványalap határértéke:
<math> \lim_{n\to\infty}({\frac{1}{3}-\frac{1}{n}}) = \frac{1}{3} < 1</math>
A hatványalap tart az 1/3-hoz , n->végtelen, (1/3)^n -> *0*


Kiemelve:


====b, feladat 2. megoldása (ha a 0*0 alak nem indefinite?!)====
<math> \lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{3} \right)^n* \left(1+\frac{-3}{n} \right)^n =0 </math>


Megoldás  -- [[PogonyiA|Pogo]] - 2007.01.04.


<math> \lim_{n\to\infty}(\frac{1}{3}-\frac{1}{n})^n = \lim_{n\to\infty}(1*\frac{1}{3}-\frac{1}{3}*\frac{3}{n})^n </math>
Mivel:  
Kiemelve:
<math> \lim_{n\to\infty}(\frac{1}{3})^n*(1+\frac{-3}{n})^n =0 </math>
Mivel: <math> \lim_{n\to\infty}(\frac{1}{3})^n = 0 </math> és <math> \lim_{n\to\infty}(1+\frac{-3}{n})^n=e^{-3}=\frac{1}{e^3}=0 </math>


<math> \lim_{n\to\infty}  \left(\frac{1}{3} \right)^n = 0 </math>


<math> \lim_{n\to\infty}  \left(1+\frac{-3}{n} \right)^n=e^{-3}=\frac{1}{e^3}=0 </math>


====c, feladat====


<math> c.\;\; \lim_{n\to\infty}(1-{\frac{1}{n}})^{n^3} </math>


Megoldás -- [[HanakRobert|Hanci]] - 2007.01.04.
'''c, Feladat:'''


<math> \lim_{n\to\infty}(1-{\frac{1}{n}})^{n^3} = \underline{\underline{0}} </math>
<math> \lim_{n\to\infty}\left(1-{\frac{1}{n}}\right)^{n^3} = \underline{\underline{0}} </math>


A megoldás menete: nevezetes határértékre való visszavezetés
A megoldás menete: nevezetes határértékre való visszavezetés


<math> \lim_{n\to\infty}(1-{\frac{1}{n}})^n = \frac{1}{e} </math>
<math> \lim_{n\to\infty}\left(1-{\frac{1}{n}}\right)^n = \frac{1}{e} </math>


A feladatban szereplő kifejezés felírható a köv. alakban:
A feladatban szereplő kifejezés felírható a köv. alakban:


<math> \lim_{n\to\infty}(1-{\frac{1}{n}})^{n^3} = \lim_{n\to\infty}((1-{\frac{1}{n}})^n)^{n^2} </math>
<math> \lim_{n\to\infty}\left(1-{\frac{1}{n}}\right)^{n^3} = \lim_{n\to\infty}\left(\left(1-{\frac{1}{n}}\right)^n\right)^{n^2} </math>


Mivel 1/e < 1
Mivel 1/e < 1


<math> \lim_{n\to\infty}(\frac{1}{e})^{n^2} = \underline{\underline{0}} </math>
<math> \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{e}\right)^{n^2} = \underline{\underline{0}} </math>


}}
}}
A lap eredeti címe: „https://vik.wiki/Matematika_A1_-_Vizsga:_2007.01.02”