Matematika A1 - Vizsga: 2007.06.07

Megoldások:

2. Oldja meg a $z^{2}={\overline {z}}^{2}$ egyenletet.

$z^{2}={\overline {z}}^{2}$

Átírjuk másik alakba:

$(a+bj)^{2}$=$(a-bj)^{2}$

$a^{2}$+$2abj$+$b^{2}$$i^{2}$=$a^{2}$$-2abj$+$b^{2}$$i^{2}$

"hosszas" rendezés után:

abj=0

Egy szorzat eredménye akkor és csak akkor zérus, ha valamely tagja a szoraztnak 0.

Tehát:

a=0 és "b" $\in$ R vagy b=0 és "a" $\in$ R vagy a és b is 0

(A tördelés kicsit csúnya, sajnos nem értek ehhez, kérlek ha nem fáradtság javítsd ki) (*A megoldásomban nem vagyok biztos, senki sem ellenőrizte. Ha ellenőrizted, kérlek töröld ezt a sort.*)

-- GAbika -- 2009.01.15.

Nekem az előző megoldás nem jelent meg érthetően, itt az enyém:

$z^{2}={\overline {z}}^{2}$

Írjuk ki z-t és z konjugáltat algebrai alakban:

$(a+bi)^{2}=(a-bi)^{2}$

Zárójelek felbontása után:

$a^{2}+2abi-b^{2}=a^{2}-2abi-b^{2}$

Kihúzzuk a közös tagokat, osztunk 2i-vel:

$ab=-ab$

Ez akkor lehetséges, ha $a=0\vee b=0$, az összes ilyen alakú szám megoldás.

-- MP - 2012.01.09.

3. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét: (a) $a_{n}=({\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}})^{3n^{2}}$ (b) ${\sqrt[{n}]{\frac {2n^{2}-1}{n^{2}+2}}}$

(a)

Először alkalmazzuk az OverLord féle algebrai trükköt, és a számlálót átalakítjuk:

$({\frac {n^{2}+2-2-1}{n^{2}+2}})^{3n^{2}}=({\frac {n^{2}+2}{n^{2}+2}}+{\frac {-3}{n^{2}+2}})^{3n^{2}}=(1-{\frac {3}{n^{2}+2}})^{3n^{2}}.$ A nevezőt alakítsuk úgy, hogy hasonlítson a kitevőhöz: $(1-{\frac {9}{3n^{2}+6}})^{3n^{2}}$

Felírjuk a kitevőt úgy, hogy nevezetes határértéket kapjunk, de ekkor persze még osztani is kell, hogy ne legyen csalás!

${\frac {(1-{\frac {9}{3n^{2}+6}})^{3n^{2}+6}}{(1-{\frac {9}{3n^{2}+6}})^{6}}}$ Látható, hogy a nevező 1-hez tart, így a határérték: ${\underline {\underline {e^{-9}={\frac {1}{e^{9}}}}}}$

-- Gyurci - 2008.01.14.

(b)

Először vizsgáljuk meg az n-edik gyökjelen belüli törtet: Egyszerűsítsük a törtet $n^{2}$-el: ${\frac {2n^{2}-1}{n^{2}+2}}={\frac {2-{\frac {1}{n^{2}}}}{1+{\frac {2}{n^{2}}}}}\rightarrow {\underline {2}}$ Azaz a gyökjelen belüli rész 2-höz tart végtelennél. Így pedig már egy nevezetes határértéket kapunk: ${\sqrt[{n}]{2}}\rightarrow {\underline {\underline {1}}}$

-- OverLord - 2008.01.14.

Troll vagyok, de ez a megoldás hibás. Nem szabad gyökjel alatt vizsgálni, ha a "gyök" művelet n-től függ! Tekintsük a nevezetes $(1+{\frac {a}{n}})^{n}=e^{a}$ határértéket: Ha belül vizsgálom, a tört kinullázódik, 1 hatványa 1. Ott a hiba.

Rendőrelvvel (alias csendőrelv, közrefogási elv) oldjuk meg. Azt tudjuk, hogy az n. gyök szig. mon. növekvő függvény, tehát kisebb szám n. gyöke kisebb mint egy nagyobb számé. A gyökjel alatt végezzünk algebrai átalakítást, átrendezhető:

${\sqrt[{n}]{2-{\frac {5}{n^{2}+2}}}}$

Látjuk, hogy mindegyik elem kisebb lesz, mint ${\sqrt[{n}]{2}}$, ez remek felső becslés, mert 1-hez tart. Az alsó becslés valamivel nehezebb. Az első elemnél ${\sqrt[{n}]{2-{\frac {5}{3}}}}$, ezzel a konstans értékkel alulról becsülhető, mármint a gyökön belüli rész, és így ezzel a függvénnyel alulról becsülhető a sorozatunk. Ennek is 1 a határértéke, sikeresen közrefogtuk. ^^

-- MP - 2012.01.09.

6.

(a) $\int {\frac {1}{x(x^{2}+1)}}dx$

Parciális törtekre bontjuk az integrandust: ${\frac {1}{x(x^{2}+1)}}={\frac {A}{x}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+1}}$

${\frac {1}{x(x^{2}+1)}}={\frac {A(x^{2}+1)+x(Bx+C)}{x(x^{2}+1)}}$

${\frac {1}{x(x^{2}+1)}}={\frac {Ax^{2}+A+Bx^{2}+Cx)}{x(x^{2}+1)}}$

$1=(A+B)x^{2}+Cx+A$

$A=1$

$(A+B)=0\Rightarrow B=-1$

$C=0$

${\frac {1}{x(x^{2}+1)}}={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{x^{2}+1}}$ Így már könnyű integrálni: $\int {\frac {1}{x(x^{2}+1)}}\;dx=\int {\frac {1}{x}}-{\frac {1}{2}}\int {\frac {2x}{x^{2}+1}}=ln|x|-{\frac {1}{2}}ln|x^{2}+1|+C$

-- OverLord - 2008.01.14.

(b) $\int {\frac {\sqrt {x}}{x{\sqrt {x}}+3}}\;dx$

${\frac {x^{\frac {1}{2}}}{xx^{\frac {1}{2}}+3}}={\frac {x^{\frac {1}{2}}}{x^{\frac {3}{2}}+3}}$ Mi is a nevező deriváltja? Jéé, az majdnem a számláló! Ennek örülünk :)

${\frac {2}{3}}\int {\frac {{\frac {3}{2}}x^{\frac {1}{2}}}{x^{\frac {3}{2}}+3}}\;dx={\frac {2}{3}}\;ln{|x^{\frac {3}{2}}+3|+C}$

-- OverLord - 2008.01.14.